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3.2 解的延拓

3.2 解的延拓. 主要内容. 1 、为什么研究解的延拓； 2 、目的； 3 、解延拓的几何意义； 4 、解的延拓定理。. 由解的存在唯一性定理有：在一定条件下，它的解在区间 上存在唯一，其中 。根据经验，如果 的存在区域 R 越大，则解的存在区间也应该越大。但是定理的结果，可能出现这样的情况，即随着 的存在区域 R 增大，能肯定的解存在区间反而缩小。. 1 、为什么研究解的延拓.

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3.2 解的延拓

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Presentation Transcript

  1. 3.2 解的延拓 主要内容 1、为什么研究解的延拓； 2、目的； 3、解延拓的几何意义； 4、解的延拓定理。

  2. 由解的存在唯一性定理有：在一定条件下，它的解在区间 上存在唯一，其中 。根据经验，如果 的存在区域R越大，则解的存在区间也应该越大。但是定理的结果，可能出现这样的情况，即随着 的存在区域R增大，能肯定的解存在区间反而缩小。 1、为什么研究解的延拓 问题的提出：对于Cauchy问题

  3. 例如，对于Cauchy问题 当取定义域 时，有 当取定义域 时，有 正因为如此，前面所介绍的解的存在唯一性也叫做解的局部存在唯一性定理。这种局部性是我们感到非常不满意。而且实践上也要求解的存在区间能尽量扩大。这样就需要讨论解延拓的问题。

  4. 2、局部Lipschitz条件

  5. 3、解的延拓与饱和解

  6. 定理1：对于定义在平面 上一个区域G中的微分方程（3.1），设 f(x,y)在G内连续且关于 y 满足局部Lipschitz条件。如果 为(3.1)的定义在闭区间 上的一个解，则 在 上必可延拓。

  7. 4、问题 由定理可知，一个由存在唯一性定理得到的解总是可以向左、右两边延拓，现在的问题是： 是否任意一个解都可以延拓为饱和解呢？

  8. 进一步问：如何判别一个给定的解 是否为饱和解？ 5、解的延拓定理

  9. 过点 的解为 ，这个解的存在区间为 . 过点 的解为 ，这个解的存在区间为 . 6、例题分析 分析 在xoy平面上满足解的存在唯一性及解的延拓定理的条件. 原方程的通解为

  10. 例2：讨论微分方程 的满足条件y(1)=0的解的饱和区间. 过点 的解为 ，这个解的存在区间为 . 分析： 属于推论中（2）的第二种情况。 饱和区间为开区间。

  11. 7、小结 一阶微分方程的解在适当条件下，总是可以延拓成饱和解的！

  12. 8、补充思考题

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