9. Diszkrét wavelet transzformáció, szűrők, sokskálás felbontás, operátor tömörítés

1. 9. Diszkrét wavelet transzformáció, szűrők, sokskálás felbontás, operátor tömörítés Speciálkurzus 2009 tavasz

2. CWT és DWT kapcsolata • Folytonos wavelet transzformáció (CWT) • Történetileg korábbi mint a DWT • Jel analízishez hasznos • Diszkrét wavelet transzformáció (DWT) • Szűrőcsoportok, tükörszűrők • Sokskálás analízis (MRA) • Jel feldolgozáshoz (rekonstrukció, szintézis) hasznos • Sokskálás felbontás (MRA, multiresolution analysis)

3. Ortogonális diszkrétizáció CWT: számítjuk az f(t) függvény ψab(t) leány waveletekkel (b: eltolás, a: skála) vett konvolúcióját: Mikor lehet az f jelet tökéletesen visszaállítani a mintavételezett folytonos wavelet spektrumból? Legyen a mintavételezés diadikus:

4. Diszkrét wavelet felbontás Az f(t) függvény ψmn(t) bázisfüggvényekkel (n: eltolás, m: skála) történő felbontása, esetében Coifman és Meyer (1986) szerint létezik olyan teljes ortonormált ψmn(t) bázis, melyre

5. Hogyan konstruálhatók alkalmas ψmnbázisfüggvények? A választ a sokskálás felbontás (MRA) adja meg: Ha a ψ(t) wavelet függvény beilleszthető egy MRA-ba, akkor a diadikus diszkretizációja (a = 2-j, b = 2-jk) elvezet a diszkrét wavelet transzformációhoz (DWT) Ha viszont nincsen ilyen MRA az adott ψ(t) wavelethez, akkor ez a diszkretizáció nem ad lehetőséget egyszerű rekonstrukcióra. Az MRA szoros kapcsolatban van a szűrőcsoportokkal

6. Kettős tükörszűrők (QMF) Quadrature Mirror Filters Croisier, Esteban és Galand (1976): Lehetséges egy kettős szűrővel szétosztott és lemintavételezett jelet tökéletesen visszaállítani még akkor is, ha a szűrők nem ideálisak. szintézis analízis

7. Kettős tükörszűrő példa konvolúciós szűrők a legegyszerűbb szűrő: a konvolúció mátrixa:

8. A konvolúció mátrixa A szűrt jelből az eredetit nem lehet visszaállítani Mi szükséges ahhoz, hogy a szűrés megfordítható legyen?

9. A szűrés megfordítása Az egymás melletti számok átlaga mellett a különbségükre is szükség van a megfordításhoz A különbség képzés az alábbi konvolúciós szűrést jelenti: Most már valóban megfordítható a szűrés. Ha akkor

10. A szűrőpár viselkedése A H és G szűrők alul- és felüláteresztők: H G

11. A szűrés és megfordítása A H és G szűrőkkel végzett szűrés megfordítható.

12. A szűrés megfordítása Az inverzió redundáns – nem kell az összesyn, zn érték xn visszaállításához! y2, z2 pl. elhagyható: Sőt, H és G minden második sora fölösleges – alulmintavételezünk

13. A transzformáló mátrix Ha akkor az eredmény az alábbi mátrix:

14. A transzformáló mátrix inverze A mátrix inverze egyszerű, mert

15. Ha -et -vel szorozzuk, ortogonális lesz. Ortogonalizáció A transzformáló mátrix már majdnem ortogonális:

16. xn xn Diszkrét Haar wavelet transzformáció A WN elnevezése: Diszkrét Haar wavelet transzformáció A Haar szűrő: A h és g kettős tükör szűrő, mert xn torzítás nélkül visszaállítható, a szűrés tökéletesen megfordítható.

17. Szűrőcsoport, FTW A szűrés és lemintavételezés ciklikusan ismételhető. Ez a gyors wavelet transzformáció (FWT)

18. Sokskálás felbontás, MRA Egy L2(R)-ben adott jelet egymásba ágyazott Vj alterekben fokozatosan közelítünk. Ezeket az altereket egyetlen φ(t) skálázó függvény eltolt és átskálázott változatai generálják. Ha V0 a szakaszonként konstans függvények lineáris tere, Z-ben ugrásokkal, a φ(t) = χ[0,1)(t) karakterisztikus függvény és eltolt változatai V0 ortonormális bázisa.

19. Nyújtási egyenlet Ha V1 a szakaszonként konstans függvények lineáris tere, ½Z-ben ugrásokkal, akkor V0 V1 és a √2 φ(2t – k) függvények V1 ortonormális bázisa. skálázó függvény nyújtási egyenlete: Ortogonális komplementer tér

20. Wavelet A wavelet olyan ψ(t) függvény, amely a Wj ortogonális komplementer terek bázisát adja, például V0 ortogonális komplementer terét V1 -ben. Haar wavelet esetében: wavelet függvény nyújtási egyenlete:

21. 2D Wavelet transzformáció Van egy N x N-es méretű A mátrixunk (N páros)Mi lesz A wavelet transzformáltja? Ha WNA-t számítjuk, a DHWT-t A oszlopaira alkalmazzuk

22. 2D Wavelet transzformáció Mit kell tennünk, hogy Asorait is transzformáljuk? Válasz: WNAWNT-t számítjuk

23. 2D Wavelet transzformáció Blokkonként: B: átlagolás soronként és oszloponkéntV: átlagolás oszloponként és különbség soronkéntH: átlagolás soronként és és különbség oszloponként D: különbség soronként és oszloponként

24. Iteráció Első iteráció:A(200x200) Kumulatív jel energia A: piros, transzformált: barna

25. További iterációk Ha N páros, az iteráció folytatható Kumulatív jel energiák: tömörítés...

26. Közelítés, tömörítés Egy tipikus jel esetében a szomszédos minták erősen korreláltak Ez esetben a felüláteresztő G szűrő eredményeként előálló wavelet együtthatók kicsik lesznek és nagy részük sok esetben el is hagyható. Kézenfekvő alkalmazás teljesen kitöltött mátrixú egyenletrendszerek megoldása wavelet prekondicionálással, vagy integrál operátorok közelítése.

27. Lineáris egyenletrendszerek Teljesen kitöltött mátrixú rendszer A wavelet transzformáció mátrixa:

28. Transzformált együttható mátrix A transzformáció: A transzformált mátrix:(8 transzform. szint,10-4 küszöbérték)

29. A permutált mátrix Átrendezés után: átlósan domináns alakra történő átrendezés

30. Operátor tömörítés Integrál egyenlet: Megoldás Galerkin-módszerrel: f közelítő fn megoldását nem a H, hanem a közelítő Hn alterében keressük meg:

31. Galerkin-módszer A közelítő megoldás maradéka, ortogonális Hn-re: A Galerkin-egyenleteket kell megoldani αi-re.

32. Galerkin-módszer A közelítő megoldás maradéka, ortogonális Hn-re: A Galerkin-egyenleteket kell megoldani αi-re.

33. Konjugált gradiens módszer A CG módszer konvergencia sebessége a μmax. és λ min. sajátértékektől függ: Ha ez közel van 1-hez, a konvergencia igen lassú Wavelet bázissal a megoldás javítható.

34. Példa Az alábbi integrál egyenletet oldjuk meg:

35. Példa Az alábbi integrál egyenletet oldjuk meg:

36. Wavelet prekondicionálás

37. Konvergencia