מתמטיקה בדידה

1. מתמטיקה בדידה תרגול 3

2. אינדוקציה • אקסיומת האינדוקציה: • טענה: לכל n, בהינתן קבוצת סוסים בגודל n, לכולם אותו הצבע. • "הוכחה": הטענה ברורה כאשר n=1. • נניח הטענה נכונה לכל קבוצה בגודל k. "נוכיח" עבור קבוצה בגודל k+1. נוציא מהקבוצה סוס, וניוותר עם קבוצה בגודל k. • נניח צבע כל הסוסים הוא לבן. • נחזיר את הסוס שהוצאנו, ונוציא סוס אחר. שוב לפנינו קבוצה בגודל k. • לכן צבע כל הסוסים שוב לבן. • כלומר צבע הסוסים בקבוצה בגודל k+1 הוא לבן.

3. אינדוקציה (המשך) • הרמאות בהוכחה הזאת היא במעבר בין k=1 ל – k=2. כשנוציא סוס מהקבוצה, נישאר עם קבוצה בגודל אחד. לכל הסוסים אותו הצבע אמנם, אבל כשאנחנו חוזרים על התהליך פעמיים, הצבע של שתי קבוצות הסוסים בגודל אחד לא בהכרח זהה. • אם היה נתון לנו שהטענה נכונה עבור k=2, כלומר שלכל זוג סוסים בעולם יש אותו הצבע, אז באמת היה נובע שבכל קבוצת סוסים בגודל כלשהי, צבע הסוסים זהה

4. כללי דה-מורגן למספר רב של משתנים • טענה: לכל : • הוכחה באינדוקציה: עבור n=2 כבר הראינו שהטענה נכונה. נניח הטענה נכונה עבור k. נוכיח עבור k+1.

5. כללי דה-מורגן ושלילת פסוק עם כמתים • קיים קשר בין כללי דה-מורגן לבין שלילת פסוק עם כמתים. • נניח נתון לנו . נניח גם ש – X קבוצה סופית, כלומר: . אזי את הפסוק ניתן גם להציג כ - . על-פי כללי דה-מורגן, שלילתו של פסוק זה היא , שהינו שקול לפסוק.

6. קבוצות - הגדרות • שייך. למשל , • אם"ם • אין חשיבות לסדר איברים 2. אין כפילות • הכלה: • הכלה ממש: • הקבוצה הריקה: הקבוצה שכל האיברים לא שייכים אליה. זו הקבוצה שאין בה איברים.

7. קבוצות - דוגמאות • קבוצה ריקה: :

8. קבוצות – הגדרות (המשך) • לכל קבוצה: • איחוד: • חיתוך: • משלים: • הפרש: • הפרש סימטרי:

9. קבוצות - תכונות • דיאגרמות ואן – טוב לאינטואיציה אבל לא להוכחה. • אסוציאטיביות • דיסטריבוטיביות • קומוטטיביות. • דה מורגן:

10. קבוצות - דוגמאות • טענה: • הוכחה:

11. קבוצות - כלל β • כלל β לקבוצות מגדיר את אחד הסימונים לקבוצות: כאשר Ψ היא איזושהי נוסחא שבה המשתנה x הוא חופשי. הסימון מימין מיצג את הביטוי Ψ כאשר מחליפים בו את המופעים החופשיים של x ב –.t • דוגמא: אם ורק אם כיוון ש זה אמת אזי גם אמת. • דוגמה:

12. קבוצות – דוגמא (1) • שאלה: הוכח או הפרך: • דוגמא נגדית: מתקיים:

13. קבוצות – דוגמא (2) • האם • פתרון: נבדוק אם כלומר נבדוק אם נראה שזה שקר ע"י הוכחת השלילה שלו: זה פסוק אמת. הוכחה y=3 לכן שלילתו היא שקר. ו4 לא שייך לקבוצה.

14. קבוצת החזקה • קבוצת כל הקבוצות החלקיות של של A זו קבוצת החזקה של A: • תמיד מתקיים וגם . • דוגמא: • דוגמא:

15. קבוצת החזקה (המשך) • תרגיל: אם אז . הוכחה: כמו כן לכן . הגדרה: עבור קבוצה סופית, העוצמה של הקבוצה הוא מספר האיברים בה. אם בקבוצה k איברים, אז בקבוצת החזקה שלה יש איברים.

16. מכפלה קרטזית • הגדרה: מכפלה קרטזית של הקבוצות אוסף הזוגות הסדורים • למשל: • למשל: אם העוצמה של A היא n, והעוצמה של B היא m, אז העוצמה של AXB היא nm.

17. מכפלה קרטזית הוכח או הפרך: 1) הטענה לא נכונה 2) הטענה לא נכונה

18. המשלים של קבוצה • המשלים של קבוצה A ביחס לקבוצה E, , הוא : הקבוצה E מכונה הקבוצה האוניברסלית. • דוגמה : אם והקבוצה האוניברסלית היא קבוצת הממשיים, אז תמיד מתקיים: , ,

19. דוגמה (1) הוכח כי: הוכחה באינדוקציה: עבור n=1 נניח הטענה נכונה עבור n : נראה שהטענה נכונה עבור+ 1n : אגף ימין:

20. דוגמה (2) • הוכחת חוק דה מורגן הראשון:

21. דוגמה (3) • הוכח

22. דוגמה (4) • הוכח

23. תרגיל בית - 1 • שאלה 3ג: