我們在國小五年級時，曾利用量角器量過一個三角形三內角度數和為 180° ，也曾利用下面操作的方式來理解一個三角形的三內角度數和為 180° 。

2. 我們在國小五年級時，曾利用量角器量過一個三角形三內角度數和為180°，也曾利用下面操作的方式來理解一個三角形的三內角度數和為180°。

3. 剪下附件(五)中△ABC 的三個內角，將頂點對齊，邊與邊拼在一起，如下圖所示，可以發現它們排成一直線。

4. 如右圖，△ABC中，∠1＝80°，∠2＝60°，求∠3的角度。 ∠3＝∠ACB＝180°－∠1－∠2　 ＝180°－80°－60°＝40°

5. 我們知道三角形的內角和是180°，那麼四邊形的內角和是多少度呢？ (2) 因為△ABC 和△ACD 的內角和都是180°， 所以四邊形 ABCD 的內角和 ＝（∠1＋∠2）＋∠B＋（∠3＋∠4）＋∠D＝（∠1＋∠B＋∠3）＋（∠4＋∠D＋∠2） ＝△ABC 的內角和＋△ACD 的內角和 ＝180°＋180°＝360°（＝180°×（4－2））

6. 五邊形的內角和又是多少度呢？ (2) 因為△ABC、△ACD 和△ADE 的內角和都是180°， 所以五邊形 ABCDE 的內角和 ＝(∠1＋∠2＋∠3)＋∠B＋(∠4＋∠5)＋(∠6＋∠7)＋∠E ＝(∠1＋∠B＋∠4)＋(∠2＋∠5＋∠6)＋(∠7＋∠E＋∠3) ＝△ABC 的內角和＋△ACD 的內角和＋△ADE 的內角和 ＝180°＋180°＋180°＝540°（＝180°×（5－2））

7. 6 720°

8. 內角和定理：n邊形的內角和為180°×（n－2）。 由上面的討論可以推知n 邊形可用通過其一頂點的（n－3）條對角線分割成（n－2）個三角形，再利用「三角形的內角和為180°」， 即可推得：

9. 由內角和求內角 如右圖，已知 ABCDE 為五邊形，∠A＝110°，∠B＝100°，∠C＝110°，∠D＝130°，求∠E 的角度。 五邊形內角和＝180°×（5－2）　　　　　　＝540°∠E＝540°－（110°＋100°＋110°＋130°） ＝540°－450°　 ＝90°

10. 已知六邊形 ABCDEF 中，∠B＝120°，∠C＝150°，∠D＝95°，∠E＝120°，∠F＝125°，求∠A 的角度。 所求＝180°× （6－2）－（120°＋150°＋95°＋120°＋125°）＝720°－610°＝110°

11. 正多邊形是所有邊的長度都相等，而且所有內角的角度都相等的多邊形，因此：

12. 由內角和求內角

14. 阿寶陪爺爺去公園散步，他們到達公園後，依逆時針方向繞著一個三角形步道，自P 點出發沿著 P→A→B→C→P 的路線走一圈後回到 P 點，如右圖。 他們在 A 點時，由原先朝 D 點的方向轉成朝 B 點的方向，因此在 A 點所轉的角是∠1；同理，他們在 B點所轉的角是∠2，在 C 點所轉的角是∠3。

15. ∠1、∠2 與∠3 分別稱為△ABC 三內角∠CAB、∠ABC 與∠BCA 的外角。此時，因為∠CAD 為平角，所以∠1 跟∠CAB 互為補角，亦即 ∠1＋∠CAB＝180°；同理，∠2＋∠ABC＝180°； ∠3＋∠BCA＝180°。 為了顯示∠1、∠2 與∠3 是繞△ABC 走一圈時，在三頂點處所轉的角，我們稱它們為△ABC 的一組外角。

16. 計算外角及外角和 如右圖，若△ABC 的三個內角分別為∠A＝30°，∠B＝50°，∠C＝100°，則其外角各為多少度？一組外角和是多少度？ 因為外角與內角互為補角，因此∠A 的外角為 180°－30°＝150°，∠B 的外角為 180°－50°＝130°，∠C 的外角為 180°－100°＝80°，故△ABC 的一組外角和是 150°＋130°＋80°＝360°。

17. 若△ABC 的三個內角分別為∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝80°，則其外角各為多少度？△ABC 的一組外角和是多少度？ ∠A 的外角＝180°－60°＝120°，∠B 的外角＝180°－40°＝140°，∠C 的外角＝180°－80°＝100°，一組外角和＝120°＋140°＋100°＝360°。

18. 阿寶和爺爺兩人依逆時針方向繞三角形步道 ABC 走一圈，可得一組外角∠1、∠2 與∠3。如果阿寶和爺爺兩人是依順時針方向繞三角形步道 ABC 繞一圈，可得到另外一組外角∠4、∠5 與∠6，如下圖。 事實上，∠1 與∠6、∠2 與∠5、∠3 與∠4 都是對頂角，所以∠1＝∠6，∠2＝∠5，∠3＝∠4，因此可知△ABC 共有兩組外角，且其和相同。

19. 一般而言，若沒有特別說明，三角形的外角和指的是其中一組外角和。 由例題 3 及其隨堂練習，可以發現某些三角形的一組外角和是 360°，請問任意三角形的外角和都是360°嗎？

20. 剪下附件(五)，將△ABC 三個外角的頂點對齊，邊與邊拼在一起，這三個角不能重疊，看看這三個外角是否恰好圍成一圈。 是。 上面這個結果也可以從「三角形的內角和為 180°」推導如下：因為每一個內角與其外角互補，即∠1＋∠CAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°， ∠3＋∠BCA＝180°，

21. 三角形的一組外角和為360°。 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠CAB ＋∠ABC＋∠BCA＝540°。又　∠CAB＋∠ABC＋∠BCA＝180°，故△ABC 的一組外角和＝∠1＋∠2＋∠3＝540°－180°＝360°。 由此可知：

22. 求三角形的外角 如右圖，△ABC 中，∠A 的外角為 110°，∠B 的外角為 120°，則∠C 的外角是多少度？ 因為三角形的外角和為 360°，所以∠C 的外角＝360°－110°－120°＝130°。 正三角形的每個外角各是多少度？ 正三角形的三內角相等三外角亦相等，360°÷3＝120°各是120°。

23. 因為∠B＋∠C＋∠CAB＝180°，以及∠BAD＋∠CAB＝180°，所以∠BAD＝∠B＋∠C，即∠CAB 的外角恰為其內對角∠B 與∠C 之和。可知∠BAD＞∠B；∠BAD＞∠C。

24. 1. 三角形的外角定理： 三角形的外角為其兩個內對角之和。2. 三角形的外角大於其內對角。 因此我們可得： 利用外角定理求角度 如右圖，△ABC 中，已知∠A 的外角為130°，∠B＝50°，求∠C 的角度。 由三角形的外角定理，得知130°＝∠B＋∠C，又∠B＝50°，因此∠C＝130°－50°＝80°。

25. △ABC 中，若∠A 的外角為 144°，且∠B＝∠C，求∠C 的角度。 ∠A 的外角＝∠B＋∠C＝144°， 又∠B＝∠C，故∠C＝144°÷ 2＝72°。

26. 五角星形的內角和 右圖為五角星形 ABCDE，求 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的角度和。 因為∠1 是△BDQ 的一個外角， ∠B 和∠D 是它的內對角， 所以∠1＝∠B＋∠D。 因為∠2 是△PAC 的一個外角， ∠A 和∠C 是它的內對角， 所以∠2＝∠A＋∠C。

27. 五角星形的內角和 右圖為五角星形 ABCDE，求 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的角度和。 因為△EPQ 的內角和是 180°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E ＝（∠A＋∠C）＋（∠B＋∠D）＋∠E ＝∠2＋∠1＋∠E＝180°

28. 如右圖，已知∠1＝40°，∠2＝60°，求下列的角度和：如右圖，已知∠1＝40°，∠2＝60°，求下列的角度和： (1) ∠BAC＋∠B (2) ∠CAD＋∠D (3) ∠B＋∠BAD＋∠D ∠BAC＋∠B＝∠1＝40°。 ∠CAD＋∠D＝∠2＝60°。 ∠B＋∠BAD＋∠D＝（∠B＋∠BAC）＋（∠CAD＋∠D） ＝40°＋60°＝100°

29. 任意畫出一個多邊形，若以逆時針（或順時針）方向沿著此多邊形繞一圈，在每個頂點所轉的角稱為此多邊形的外角，且與內角互為補角。

30. 因此任意四邊形的一組外角和為360°。 前面我們曾利用操作的方式以及「三角形的內角和為 180°」推知三角形的一組外角和為 360°。利用類似的方法，我們可以推知 n 邊形的一組外角和也是360°（n≥3）。例如：圖3-1中，∠1、∠2、∠3 和∠4 為四邊形 ABCD 的一組外角，我們若將這組外角的頂點對齊，邊與邊拼在一起，如圖 3-2，可以發現它們圍成一圈。 圖3-1 圖3-2

31. 這個結果可用「四邊形的內角和為360°」導出：這個結果可用「四邊形的內角和為360°」導出： 因為∠1＋∠DAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°， 　　∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDA＝180°， 將這四個式子相加，可得 ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠DAB＋∠ABC＋ ∠BCD＋∠CDA＝720°， 由於四邊形的內角和為 360° ，即 ∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360° ， 所以 ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝720°－360°＝360°。

32. 利用五邊形的內角和為 540°，推導出五邊形的一組外角和是 360°。 • 2. 正五邊形的每個內角是多少度？每個外角是多少度？ 五邊形的一組外角和＝180°× 5－540°＝360°。 利用類似的方法，可以推得：

33. 由外角和求外角 已知一個五邊形的一組外角中四個外角的度數分別為63°、57°、58°、74°，請問這一組外角中另一個外角的度數為多少？ 因為一個五邊形的一組外角和為 360°，所以另一個外角的度數為360°－63°－57°－58°－74°＝108° 。

34. 如右圖，已知四邊形 ABCD 的一組外角中三個外角的度數分別為 115°、100°與 50°，求這一組外角中另一外角的度數。 所求＝360°－115°－100°－50°＝95°。

35. 1. 三角形內角和 　 三角形的內角和是180°。

36. 3. 三角形的外角 (1) 三角形的外角定理：三角形的外角為其兩個內對角之和。 (2) 三角形的外角大於其內對角。

37. 1. 下列各組角中，哪一個可為三角形的三內角？ (A) 80°、80°、10°(B) 40°、60°、80° (C) 70°、70°、70°(D) 30°、100°、40° 　答：1 (B) 2. 如右圖，求 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 的角度和。 所求＝△ACE 內角和＋△BDF 內角和 　　＝180°× 2＝360°

38. 3. 如右圖，已知∠1＝85°、 ∠D＝45°、∠A＝63°， 　求∠ABD、∠ACD的角度。 ∠1＝∠A +∠ABD ∠ABD＝85°－ 63°＝22° ∠1＝∠D +∠ACD  ∠ACD＝85°－ 45°＝40°

39. 4. 如右圖，小美依逆時針方 向繞四邊形公園 ABCD 散 步，她由P 點出發，經過 B、C 兩點到達 Q 點，那 麼她至少轉了多少度？ （180°－60°）＋（180°－100°） ＝120°＋80°＝200°

40. 5. 若正 n 邊形的每個內角都是 156°， 請問 n 是多少？

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