三角形的外心

三角形的外心 鄭安舜

　　右圖是某縣的地圖，為了籌辦臺灣區運動大會，縣政府爭取到一筆經費，打算建造一座大型體育中心。在選址過程中有人建議：該體育中心應與該縣的三大城市中心（右圖中以 P、Q、R 表示）等距離。依據這個建議，與三個城市中心等距的點 O 會存在嗎？如果存在的話，該如何找？因為要求 OP＝OQ＝OR，所以點 O 必須分別在 PQ、QR、RP 的中垂線上，但三中垂線會相交於同一個點嗎？

OP=OQ=OR

已知：如右圖，AM＝BM，PM⊥AB。 求證：PA＝PB。分析：想證明 PA＝PB，可先證明△PMA  △PMB。要證明△PMA  △PMB，請想想看：(1) 「已知條件」有哪些？ (2) 依據哪一個「全等三角形的判別性質」？證明：(1) 在△PMA 與△PMB 中因為　＝（已知）　　　 ∠PMA＝∠PMB＝90° （已知）＝（公用邊）所以 △PMA △PMB（全等性質） (2) 由　　 △PMA △PMB推知　＝（對應邊相等） AM BM PM PM SAS PA PB 中垂線性質

問題 1、三角形三邊的中垂線是否交於同一點？ Ans: 三角形三邊的中垂線交於同一點（此點為三角形的外心）。 2 、三中垂線交點有什麼特性？ Ans: 外心到三個頂點的距離相等

△ABC 之三邊的中垂線交於同一點 O ，以 O 為圓心，OA為半徑畫一圓，此圓會通過三個頂點 A、B、C，我們稱此圓為△ABC 的外接圓（△ABC 稱為此圓的內接三角形），點 O 就是外接圓的圓心，簡稱為△ABC 的外心。

外接圓 內接三角形

銳角三角形的外心

1. 直角三角形的外心在斜邊的中點上。 2. 直角三角形外接圓的半徑 R＝　（斜邊長）。 12 直角三角形的外心

鈍角三角形的外心

歸納 • 銳角三角形的外心在三角形 _內部_ • 直角三角形的外心在三角形 • 斜邊中點 • 鈍角三角形的外心在三角形 • _外部_

三角形外心與三頂點所成的角 圓O為銳角△ABC的外接圓 ∠AOC ＝2∠ABC 同理∠BOC ＝2∠BAC ∠AOB ＝2∠BCA

若O為銳角△ABC的外心，∠AOC＝　 ∠ABC ＝－。 1 2 故∠AOC＝2∠ABC

三角形外心與三頂點所成的角 圓O為鈍角△ABC的外接圓 ∠BOC ＝360°－2∠ABC

求三角形外心與三頂點所成之角 設 O 是△ABC 的外心，∠BAC＝65°， ∠ACB＝55°。求∠AOB、∠BOC、的度數。解：∠AOB ＝2∠ACB ＝2 × 55°＝110°， ∠BOC ＝2∠BAC ＝2 × 65°＝130°，

如右圖，O 為鈍角△ABC 的外心， 其中∠A＝110°，試計算∠BOC 的度數。答： ∠BOC＝BAC＝360°－BC ＝360°－2∠A ＝360°－2 × 110° ＝140°

三角形的外心

三角形的外心

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