相似三角形的性质（ 3 ）

1. 相似三角形的性质（3）

2. B D A C 复习 相似三角形的性质（3） 如图，已知：Rt△ABC中 ，CD⊥AB ，D为垂足，已知AC＝8cm ，BC＝6cm，试用三种方法求△BCD的周长. 解法1：利用相似三角形的周长的比等于相似比求解 解法2：利用面积公式求解 AC = 8 BC = 6 勾股定理 可证明 解法3：利用相似三角形的对应边成比例求解 AC = 8 BC = 6 AB = 10 △ABC∽△CBD 勾股定理 由面积公式得 AB = 10 AB ·CD = AC ·BC AC = 8 BC = 6 相似三角形对应边成比例 勾股定理 可证明 相似三角形性质 可求 △ABC∽△CBD AB = 10 △BCD的周长 可求 Rt△BCD中 可求 CD BD △BCD的周长 CD BD 可求 可求 △BCD的周长

3. 1、如图AD、 A′D′分别是锐角△ABC和锐角△A′B′C′ 的高，且 ，∠C＝∠C′.试判断△ABC与 △A′B′C′是否相似？并证明你的猜想. A A′ C C′ B B′ D D′ 相似三角形的性质（3） 猜想

4. 2、如图， △ABC 中，PQ∥BC，AD⊥BC 交 PQ 于点 E，D 为 垂足.试问： 吗？为什么？ P Q E A C B D 相似三角形的性质（3） 猜想 分析： PQ∥BC △APQ ∽△ABC AD⊥BC

5. 例1、已知：如图，AD、BE 是 △ABC 的高， A′D′、B′E′ 是 △A′B′C′ 的高，且 , ∠C = ∠C′. 求证： AD · B′E′ = A′D′· BE. A E B C D A′ E′ B′ C′ D′ 相似三角形的性质（3） 例题 证明： 分析： ∵∠ADB = ∠A′D′B′= 90°， AD · B′E′ = A′D′· BE （等积式） ∴ △ABD ∽ △A′B′D′. （比例式） △ABC ∽ △A′B′C′ （四条线段所在的三角形相似） ∴ ∠ABD = ∠A′B′D′. 又∵ ∠C = ∠C′. ∠C = ∠C′ ∠ABD = ∠A′B′D′ ∴ △ABC ∽ △A′B′C′. 证明等积式的一般思路： Rt△ABD ∽ Rt△A′B′D′ （相似三角形对应高的比等于相似比） 转化为 证明 等积式 比例式 两三角形相似 （判定直角三角形相似的条件） ∴ AD · B′E′ = A′D′· BE . （已知）

6. A A A N E P P N P N B C B C B C D Q M Q M Q M 相似三角形的性质（3） 例题 例2 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC = 120mm ，高AD = 80 mm . 要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别 在 AB 、AC 上 . 这个正方形零件的边长是多少？ 解：设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边 QM在BC上，顶点P、N分别在AB、AC上. △ABC的高AD与边PN相交于点E.设正方形的 边长为x mm. ∵PN∥BC， ∴△APN∽ △ABC. （相似三角形对应高的比等于相似比） 解得 x = 48（mm) 答：加工成的正方形零件的边长为48mm.

7. A E P N C B Q D M 相似三角形的性质（3） 练习 1、设AD、BE 和CF是△ABC的三条高.求证：AD · BC = BE · CA = CF · AB（用比例线段证明）.（分△ ABC是锐角三角形、直 角三角形和钝角三角形三种情况）. 2、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC = 120mm ，高 AD = 80 mm . 要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上 . 且PN = 2PQ ，求 PN 的长度是多少？

8. C′ C A D E B A′ D′ E′ B′ 相似三角形的性质（3） 练习 3、如图，△ABC∽ △A′B′C′，CD和 C ′D ′分别是 △ABC和△A′B′C′的高，CE和 C ′E ′分别是△ABC 和△A′B′C′的中线，求证： △CED∽△C′E′D′.

9. 相似三角形的性质（3） 小结 在运用相似三角形的有关知识解实际问题时，要读懂题意， 画出从实际问题中抽象出来的几何图形，构建简单的数学模型， 然后运用已学的相似三角形的有关知识（相似三角形的判定、相 似三角形的性质等）列出有关未知数的方程，解方程，求出所求的结论.

10. 作业： 再见