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§1.4 可逆矩阵

§1.4 可逆矩阵. 定义 设 A 是 n 阶方阵。若存在 n 阶方阵 B ，使 AB = BA = I 则称 A 是 可逆矩阵 ，称 B 是 A 的 逆矩阵 。. 例 讨论 n 阶零方阵 0 与 n 阶单位矩阵 I 的可逆性。. 例 初等矩阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵也 是初等矩阵。. 例 设方阵 A 满足 ，证明 都可逆。. 证明 由已知得. 且. 于是有.

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§1.4 可逆矩阵

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Presentation Transcript

  1. §1.4 可逆矩阵

  2. 定义 设A是n阶方阵。若存在n阶方阵B，使 AB = BA = I 则称A是可逆矩阵，称B是A的逆矩阵。 例 讨论n阶零方阵0与n阶单位矩阵I的可逆性。 例 初等矩阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵也 是初等矩阵。 例 设方阵 A满足 ，证明 都可逆。

  3. 证明 由已知得 且 于是有 由(1)得 可逆，且 ； 由(2)得 可逆，且 。 ▌

  4. 定理 设A是方阵，则A是可逆矩阵的充分必要条 件是A满秩。 例 设 则当 时，A可逆，并且

  5. 设矩阵A可逆，则存在若干个初等矩阵 使 …………① ①式两边同时右乘 ，又得 …………② ①、②式表明：把 A 化为 I 的初等行变换同时 把I 化为 A–1。由此得求逆矩阵的又一种方法：

  6. 例 求矩阵A的逆矩阵 解

  7. 所以， ▌

  8. 推论 设A是n阶方阵，若存在n阶方阵B使 AB=I 或 BA=I，则 A 可逆且 。 性质 （1）若A可逆，则 也可逆，且 （2）若A可逆，则 也可逆，且 （3）若A与B是同阶可逆矩阵，则 AB也可逆，且 例 设B是n阶可逆矩阵，且

  9. 令 证明：当 时，A可逆，且 证明 因

  10. 故A可逆，且 ▌

  11. 例 设A与B是同阶方阵，且A、B、A+B都可逆， 证明： 也可逆。 证明 因为A与B都可逆，故存在 与 使 ， 于是，

  12. 又 均可逆，故 也可逆，且 ▌ 定理 设A是n阶方阵，则齐次线性方程组AX=0有 非零解的充分必要条件是A不可逆。

  13. 矩阵方程： AX = C， XB = D， AXB = F 其中A、B、C、D、F均为已知矩阵，而X为未知矩阵。 当系数矩阵A、B都是可逆矩阵时， AX = C XB = D AXB = F

  14. 例 解矩阵方程 例 解矩阵方程

  15. 例 已知矩阵A、B、X满足下述关系 其中 求 X 。

  16. 解 由 可得

  17. ▌

  18. 例 设矩阵X 满足 ， 其中 (1) 证明： 可逆；(2) 求X。 解（1） ∵

  19. ∴ 满秩 由此得 可逆。 （2）由 可得 ，故

  20. （另法） （1）由 得 整理后可得 于是 可逆。 （2）由上式得

  21. ▌

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