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§1.4 可逆矩阵. 定义 设 A 是 n 阶方阵。若存在 n 阶方阵 B ,使 AB = BA = I 则称 A 是 可逆矩阵 ,称 B 是 A 的 逆矩阵 。. 例 讨论 n 阶零方阵 0 与 n 阶单位矩阵 I 的可逆性。. 例 初等矩阵都是可逆矩阵,且它们的逆矩阵也 是初等矩阵。. 例 设方阵 A 满足 ,证明 都可逆。. 证明 由已知得. 且. 于是有.
E N D
定义 设A是n阶方阵。若存在n阶方阵B,使 AB = BA = I 则称A是可逆矩阵,称B是A的逆矩阵。 例 讨论n阶零方阵0与n阶单位矩阵I的可逆性。 例 初等矩阵都是可逆矩阵,且它们的逆矩阵也 是初等矩阵。 例 设方阵 A满足 ,证明 都可逆。
证明 由已知得 且 于是有 由(1)得 可逆,且 ; 由(2)得 可逆,且 。 ▌
定理 设A是方阵,则A是可逆矩阵的充分必要条 件是A满秩。 例 设 则当 时,A可逆,并且
设矩阵A可逆,则存在若干个初等矩阵 使 …………① ①式两边同时右乘 ,又得 …………② ①、②式表明:把 A 化为 I 的初等行变换同时 把I 化为 A–1。由此得求逆矩阵的又一种方法:
所以, ▌
推论 设A是n阶方阵,若存在n阶方阵B使 AB=I 或 BA=I,则 A 可逆且 。 性质 (1)若A可逆,则 也可逆,且 (2)若A可逆,则 也可逆,且 (3)若A与B是同阶可逆矩阵,则 AB也可逆,且 例 设B是n阶可逆矩阵,且
令 证明:当 时,A可逆,且 证明 因
故A可逆,且 ▌
例 设A与B是同阶方阵,且A、B、A+B都可逆, 证明: 也可逆。 证明 因为A与B都可逆,故存在 与 使 , 于是,
又 均可逆,故 也可逆,且 ▌ 定理 设A是n阶方阵,则齐次线性方程组AX=0有 非零解的充分必要条件是A不可逆。
矩阵方程: AX = C, XB = D, AXB = F 其中A、B、C、D、F均为已知矩阵,而X为未知矩阵。 当系数矩阵A、B都是可逆矩阵时, AX = C XB = D AXB = F
例 解矩阵方程 例 解矩阵方程
例 已知矩阵A、B、X满足下述关系 其中 求 X 。
例 设矩阵X 满足 , 其中 (1) 证明: 可逆;(2) 求X。 解(1) ∵
∴ 满秩 由此得 可逆。 (2)由 可得 ,故
(另法) (1)由 得 整理后可得 于是 可逆。 (2)由上式得