Wykład 25

1. Wykład 25 20.3.1 Równanie telegrafistów 20.4 Zjawisko naskórkowości. 20.5 Fale elektromagnetyczne w izolatorze. 20.6 Wektor Poyntinga 20.7 Dyspersja i absorbcja fal elektromagnetycznych Reinhard Kulessa

2. I+dI I A B  V V+dV D C  cos t x+dx x 20.3.1 Równanie telegrafistów Rozważmy układ dwóch przewodów podłączony do generatora wysokiej częstości. Układ taki nazywamy linią Lehera. Potencjał V i natężenie prądu I , czyli wektory E i B zmieniają się periodycznie w funkcji położenia. 1). Rozważmy zmianę ładunku na odcinku dx w czasie dt. Reinhard Kulessa

3. Z drugiej strony odcinek x tworzy kondensator o pojemności C*dx, czyli I (20.13) 2). Rozważmy zmianę indukcji na odcinku dx. Oznaczmy przez R* wartość oporu przypadającego na jednostkę długości przewodnika i zastosujmy prawo indukcji elektromagnetycznej dla kontury ABCD. Reinhard Kulessa

4. . Mamy więc: I II (20.14) Następnie biorąc z I równania pochodną /t a z równania II pochodną /x otrzymujemy po eleminacji drugich pochodnych mieszanych i skorzystaniu z równania I; (20.15a) Reinhard Kulessa

5. Następnie biorąc z I równania pochodną /x a z równania II pochodną /t otrzymujemy po eleminacji drugich pochodnych mieszanych; (20.15b) Otrzymaliśmy więc dwa identyczne równania na potencjał i natężenie prądu. Są to tzw. równania telegrafistów. Jeśli do linii Lehera przyłożymy zmienne napięcie typu Veit, wtedy Równanie (20.15a) przyjmie wtedy postać: Reinhard Kulessa

6. Mamy tu do rozważenia dwa przypadki: a). Można wtedy zaniedbać w równaniu (20.15a) człon z drugą pochodną cząstkowa po czasie i wtedy: (20.16) Równanie to ma charakter równania dyfuzyjnego. Jeśli znika L* linia Lehera da się przedstawić jako łańcuch R-C. Reinhard Kulessa

7. V1 V2 V1 V2 R o z m y c i e t t b). Można wtedy zaniedbać człon z pierwszą pochodną czasową, V/t. Dla idealnego przewodnika R* = 0. Wtedy; (20.17) Jest to równanie falowe, przy czym; Reinhard Kulessa

8. (20.18) , Gdzie vfaz jest prędkością fazową fali. Ogólnym rozwiązaniem równania (20.15) są wyrażenia; . W wyrażeniu na zespolone natężenie prądu dodaliśmy dla bezpieczeństwa fazę. Stała k jest równa: Wstawiając odpowiednie pochodne do równania (20.13), otrzymamy: Reinhard Kulessa

9. Po podstawieniu tych wartości otrzymujemy, . (20.19) Ostatnie równanie ma postać prawa Ohma. Wyrażenie ma znaczenie impedancji. Impedancja ta jest rzeczywista, czyli natężenie i napięcie prądu są w fazie, co oznacza, że =0. Wyrażenie przedstawia sobą opór falowy. Reinhard Kulessa

10. 20.4 Zjawisko naskórkowości. Wróćmy do równania (20.3) i zastanówmy się jakie człony w tym równaniu będą istotne w przypadku, gdy przewodnikiem będzie miedź. Wyrażenie /0 odpowiada częstości 8 1016 s-1. Odpowiada to długości fali w próżni =3.7 10-7 cm co odpowiada podczerwieni. Częstości, które możemy realizować technicznie, przy pomocy generatorów wysokich częstości są rzędu 1010 Hz. Wynika stąd, że /0>>, czyli od częstości naszego źródła prądu. Czyli w równaniu (20.4)dominować będzie człon z /t, tak, że . (20.20) Reinhard Kulessa

11. z x    j, E Załóżmy, że mamy następującą sytuację. Mamy więc: Po podstawieniu do wzoru (20.20) otrzymujemy: Reinhard Kulessa

12. W nawiasie kwadratowym ostatniego równania występuje wektor gęstości prądu j0(x). Gdzie1/2 = /0c2.. Z równania tego widać, że j0(x) musi mieć postać; . Na wartość wektora gęstości prądu otrzymujemy więc: . (20.21) Płynący w przewodniku prąd zmienny nie wnika więc głęboko do wnętrza przewodnika. Dla miedzi (mm)=66.7/(Hz)1/2.. Otrzymujemy więc 9.5 mm dla prądu o częstości 50 Hz. Reinhard Kulessa

13. Głębokość penetracji fali do wnętrza przewodnika miedzianego pokazane jest na poniższym rysunku. Reinhard Kulessa

14. 20.5 Fale elektromagnetyczne w izolatorze. W izolatorze wiadomo, że =0. Zgodnie z równaniem (20.3) znika w nim człon z /t. (20.22) . Rozpatrzmy falę płaską rozchodząca się w kierunku x: E(x,t), H(x,t). Załóżmy, że |E| = Ey, czyli ma kierunek prostopadły do założonego kierunku x. Pytanie jest następujące, czy istnieje wtedy wektor H i jak jest on ewentualnie skierowany.Równania falowe redukują się do: , Reinhard Kulessa

15. oraz, . Pamiętamy, że w izolatorze  = 0, a również j = 0, wtedy I równanie Maxwella ma postać: . Założyliśmy, że wektor natężenia pola elektrycznego E ma tylko składową Ey, wobec tego Zgodnie z naszym założeniem musi znikać pierwszy człon po prawej stronie. Reinhard Kulessa

16. Mamy więc, . Dla wektora H pozostaje tylko składowa z-towa. Widzimy z tego, że fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną. Wektory E i H zmieniają amplitudę w kierunku prostopadłym do kierunku prędkości fazowej vfaz, oraz są do siebie prostopadłe. H E vfaz Reinhard Kulessa

17. E0y Reinhard Kulessa

18. H E A k Vfaz ·dt 20.6 Wektor Poyntinga Fala elektromagnetyczna poruszając się w izolatorze transportuje energię. Ile energii transportuje fala przez powierzchnię A w czasie dt. Transportuje tej energii tyle, ile zawiera cylinder o objętości A·vfaz·dt. Reinhard Kulessa

19. Wiadomo również, że odpowiednie gęstości energii są równe; Dla fali harmonicznej zachodzi następująca zależność: . Otrzymujemy więc, Reinhard Kulessa

20. Wynika stąd, że . Gęstość strumienia energii definiujemy jako Ze względu na to, że kierunek transportu energii jest prostopadły do wzajemnie prostopadłych wektorów E i H, możemy S wyrazić jako wektor. Reinhard Kulessa

21. (20.23) Korzystając z równania (20.9) podającego wektor natężenia pola elektrycznego i wektor indukcji magnetycznej dla drgającego dipola, otrzymujemy na energię promieniowania dipola wartość; Rozkład kątowy energii emitowanej przez grgający dipol jest przedstawiony na następnym rysunku. Reinhard Kulessa

22.  Reinhard Kulessa

23. 20.7 Dyspersja i absorbcja fal elektromagnetycznych Współczynnik załamanie światła jest zdefiniowany jako; Wiemy, że prędkość fazowa . Stąd znajdziemy związek pomiędzy optycznymi a elektrycznymi stałymi materiałowymi. (20.24) Dla izolatorów =1. Dyspersja światła w pryzmacie wskazuje na to, że współczynnik załamania światła n zależy od długości fali, czyli również (). Odpowiednie zależności można znaleźć w oparciu o model rozpraszania światła na atomach(elektronach) Reinhard Kulessa

24. Padająca fala o częstości  indukuje wtórny moment dipolowy w atomie. Moment ten uzyskuje dla pewnej częstości wartość maksymalną. W oparciu o takie rozważania otrzymujemy na współczynnik załamania wyrażenie; , (20.25) gdzie N oznacza liczbę atomów/cm3, e - ładunek elektronu, m – masę elektronu, 0 – częstość rezonansową, a Współczynnik załamania przyjmuje więc postać (20.26) . n0() przedstawia rzeczywisty współczynnik załamania odpowiedzialny za rozszczepienie światła, Reinhard Kulessa

25. ()jest odpowiedzialny za tłumienie amplitudy fali. Prawo absorbcji fali elektromagnetycznej ma postać: . (20.27) Reinhard Kulessa