Download
1 / 24
240 likes | 440 Views
VEKTORER. AM 2006. B. A. |AB|. |a|. a. o. Definitioner m.m. En vektor er en samling af pile med samme længde og samme retning. Vektorer betegnes fx a eller AB. Vektorer med parallelle retninger er ensrettede. eller modsat rettede. Længden af en vektor betegnes med |.. |.
E N D
VEKTORER AM 2006
B A |AB| |a| a o Definitioner m.m. En vektor er en samling af pile med samme længde og samme retning Vektorer betegnes fx a eller AB Vektorer med parallelle retninger er ensrettede eller modsat rettede Længden af en vektor betegnes med |.. | En vektor med længden 0 kaldes nulvektoren og betegnes og har ingen retning. Alle andre vektorer kaldes egentlige vektorer
Hvor mange repræsentanter er der for vektoren ? Nu har jeg fattet det
Hvor mange repræsentanter var der for vektoren ? Klik dit svar! 1 2 3 4 5 6 7
Hvor mange forskellige vektorer er repræsenteret her? Nu ved jeg det!
UPS – det var forkert! Prøv igen!
Klik dit svar! 1 2 3 4 5 6 7
Pilen fra ’s basis til ’s spids er en repræsentant for sumvektoren Tegn en repræsentant for + Tegn en repræsentant for r r r r r r r r r r + + + + + b a a b a b b b a a Anbring en repræsentant for en repræsentant for med start i spidsen af Den kommutative lov: Trekantsuligheden: Addition af vektorer Overvej, at trekantsuligheden gælder – hvornår gælder ”=”? Overvej, at de to trekanter er kongruente ”Kræfternes parallelogram”:
r r + a b a + (b + c) I begge tilfælde går vektoren fra ’s start til ’s spids, altså (a + b) + c b+c a + b + c Den associative lov: (”plusparenteser” kan bare slettes)
Hvad tror du 0 skal betyde? Giv et bud på betydningen af t generelt, hvis t er positiv (længde og retning) t og er ensrettede og Giv et bud på betydningen af t generelt, hvis t er negativ (længde og retning) Hvad tror du 2 skal betyde? ta t og er modsat rettede og Vektoren drejet 180 - samme længde, men modsat rettet, idet vi så får Hvad tror du - skal betyde? a a a a Multiplikation af vektorer med et tal t = 0 Havde du luret den? Hvilken længde og retning får den? t >0 Nemlig! t< 0 .
Subtraktion af vektorer Har du et velkvalificeret gæt på, hvad det skal betyde? Har du også et bud på, hvordan man skal finde en repræsentant for denne differensvektor? Overbevis dig selv om, at den sidste metode også giver en repræsentant for differensvektoren.
Distributive love (”gange ind i parentes”) – Uden bevis! Øvelse 2 Tegn over på et stykke papir Passer det med reglerne – hvornår er 1., 2. og 3. i anvendelse?
Vektor er nu blevet opløst i de to Komposanter og , der har de to givne retninger = + Opløsning af en vektor efter to givne (ikke-parallelle) retninger Indtegn de to Komposanter, dvs. de to vektorer, som den oprindelige vektor er Resultant (sumvektor) for Tag en repræsentant for vektoren Tegn to linier med den ene retning gennem hhv. vektorens basis og spids - gentag med den anden retning Derved fremkommer et ”kræfternes parallelogram” Retning 2 Retning 1
Opløsningens entydighed Sætning Opløsning af en vektor i komposanter efter to givne retninger er entydig Beviset gider jeg ikke se!
Hvilken betydning får det for , når de to retninger ikke er parallelle (og de to vektorer er ens)? Overvej, at l og l l og, at m og m m = + = + = + = + Bevis for entydighed af opløsning Lav to opløsninger efter de to retninger Overvej at nedenstående gælder Retning 1 Retning 2 m l Dvs. at de to opløsninger er én og samme.
En ortonormeret basis er et vektorpar ,hvor og er enheds-vektorer (normeret), der står vinkelret på hinanden (orto). r a r r r r Û = × = a | | b a t b , t r hvor b Hvis en vektor opløses efter retningen af to andre vektorer og , gælder Hvis en vektor opløses efter retningen af to andre vektorer og , kan skrives som? = + Vigtige småting En enhedsvektor er en vektor med længden 1 En enhedsvektor er? Ortonormeret basis betyder? Når to egentlige vektorer er parallelle gælder?
Opløs i komposanter efter retningerne af og Opløs i komposanter efter retningerne af og Opløs i komposanter efter retningerne af og Opløs i komposanter efter retningerne af og = + = + = + Øvelse 3
Skriv på formen s + t Skriv på formen s + t Skriv på formen s + t Bestem tallene s og t, så = s + t = 2.1 - 3 = - + 0.7 = - + 0.7 = + = -0.9 + 0.25 Linearkombinationer Øvelse 4
Tag en ortonormeret basis Opløs efter de to basisretninger a1 kaldes 1.koordinaten og a2 kaldes 2.koordinaten for vektoren Koordinater for vektorer
Øvelse 5 Bestem koordinatsættet for vektoren Øvelse 6 Indlæg en ortonormeret basis og bestem koordinatsættet for alle vektorerne i Øvelse 1 & Øvelse 2 Fik du en smaddergod idé?
Regler for regning med koordinater t er en konstant Sætning Bevis Def. på koord.sæt! Kommutativ lov Def. på koord.sæt! Associativ lov Distr. love 1. & 3. Def. på koord.sæt! Distr. lov 1 Distr. lov 3
Øvelser Øvelse 5 Check koordinatsættene for vektorerne i Øvelse 1 (dias 12) og Øvelse 2 (dias 14) ved koordinatregning! Øvelse 6 Indlæg en ortonormeret basis. Bestem koordinatsættene for vektorerne i Øvelse 4 (dias 20). Check ved koordinatregning, om de aflæste linearkombina-tioner passer nogenlunde.
