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第六章 時間序列分析方法

第六章 時間序列分析方法. 時間序列分析方法. AR 模式 MA 模式 ARMA 模式 ARIMA 模式. AR （ AutoRegressive ）模式. 若變數 X t 服從 AR(1) 模型，指變數除了受誤差項 (ε t ) 影響外，還受前一期 (X t-1 ) 所影響，且誤差項 (ε t ) 符合 white noise ： X t ～ AR(1) X t =α*X t-1 +ε t (1). White noise 的定義. 誤差項的期望值為零，即 E(ε t )=0 誤差項的變異數一致且相同。

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第六章 時間序列分析方法

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Presentation Transcript

  1. 第六章時間序列分析方法

  2. 時間序列分析方法 • AR模式 • MA模式 • ARMA模式 • ARIMA模式

  3. AR（AutoRegressive）模式 • 若變數Xt服從AR(1)模型，指變數除了受誤差項(εt)影響外，還受前一期(Xt-1)所影響，且誤差項(εt)符合white noise： Xt～AR(1) Xt=α*Xt-1+εt (1)

  4. White noise的定義 • 誤差項的期望值為零，即E(εt)=0 • 誤差項的變異數一致且相同。 • 誤差項的自我共變異數(Autocovariance)為零，即Cov(εt,εs)=0，其中t≠s。

  5. AR（AutoRegressive）模式 • 若α=0時，表示Xt只受εt影響，即無自我相關。同理，Xt-1、Xt-2、Xt-3、……..為： Xt-1=α*Xt-2+εt-1 (2) Xt-2=α*Xt-3+εt-2 (3) Xt-3=α*Xt-4+εt-3 (4) ： ： ： ：

  6. AR（AutoRegressive）模式 • 將(4)代入(3)、將(3)代入(2)、再將(2)代入(1)，Xt可整理成： • 將上式取期望值，可知

  7. AR程序穩定的條件：|α|<1 • 在|α|<1之下，變數Xt之非條件期望值(unconditional mean)、變異數(variance)及自我共變異數(autocovariance)都為常數。

  8. AR程序穩定的條件：|α|<1主要的原因： • 1. 兩邊取期望值 經過整理，且|α|<1時

  9. AR程序穩定的條件：|α|<1主要的原因： • 2. 若α≧１且 時， 發散，所以|α|應該小於1。

  10. AR程序穩定的條件：|α|<1主要的原因： • 在|α|<1時，

  11. AR程序穩定的條件：|α|<1主要的原因： • 3. (for every t, k) 此條件是說明自共變異函數 (autocovariance coefficients)，即 • 所以一般式可表示如下：

  12. 自我相關函數（ACF） • 自相關函數(Autocorrelation coefficients, ACF)定義如下： • 所以一般對AR(1)過程其自我相關函數可如下表示：

  13. AR(1)的ACF圖(α=0.8) 遞延期數k值

  14. AR(1)的ACF圖(α=-0.8) 遞延期數k值

  15. 遞延運算元(lag operator) • 定義遞延運算元L： • LXt=Xt-1 表示變數X的前一期 • L2Xt=L(L Xt)=L(Xt-1)=Xt-2 表示變數X的前二期 • LsXt=Xt-s 表示變數X的前s期 • (1-L)Xt=Xt-Xt-1=δXt 表示變數X當期和前 一期的差異 • L(1-L)Xt=Xt-1-Xt-2=δXt-1 表示變數X前一期和 前二期的差異

  16. 遞延運算元(lag operator) • L必須表達於變數之前，在AR(1)過程(process)中 • 所以

  17. AR(2) • AR(2)表示變數(Xt)和前兩期(Xt-1,Xt-2)相關，關係分別為α1和α2，表示如下： • 兩邊同取期望值之後，得到

  18. AR(2) • 所以 • g 0 =sx2= a1g1+a2g2+se2 • g k =E(Xt , Xt-k) =a1g k-1+a2gk-2k=1,2,3,… • 利用Yule-Walker方程組解出r1和r2如下： • r1=a1/(1-a2) • r2 =[a12/(1-a2)]+a2

  19. 偏自我相關函數(PACF) • 考慮 和 之間的自相關程度，計算如下： • 對一個參數值為α的AR(1)過程而言，其第k階偏自我相關系數如下： 當k>1 • 由於 ，在給定 之資訊後， 對 的影響便不存在了，故

  20. AR(1)的PACF圖(α=0.8) qkk值 k 值

  21. AR(1)的PACF圖(α=-0.8) qk k值 k 值

  22. AR(2)的qkk計算結果和PACF圖型 • q11=a1/(1-a2) • q22=a2 • qkk=0 當k>2

  23. AR(2)的PACF圖(α2=0.8) qk k值 k 值

  24. AR(2)的PACF圖(α2=-0.8) qk k值 k 值

  25. AR(p) • 當我們有一組資料，利用AR(p)配適模型時，若第k階的qkk顯著，則可稱此資料符合AR(k)模型。結論： • qkk ≠0 若k=p 但k<p時，則不一定顯著 • qkk＝0 若k>p • 則ACF圖型中，k=p時，PACF圖會有截斷(cuts off)的現象。

  26. AR(p)的ACF及PACF圖 rk k值

  27. AR(p)的ACF及PACF圖 • ACF圖型中，k=p時，PACF的圖型中，會有截斷的現象。 qk k值

  28. MA模式 • MA(Moving Average)模式是指變(Xt)與變數前期的誤差項(εt-1、εt-2、…)有一定的關係，以下就針對MA(1)來說明之：

  29. MA(1) • 若模型符合MA(1)時，指變數(Xt )除了和當期的誤差項(εt )之外，還與變數前一期的誤差項(εt-1)有一定的關係，表示的模型如下：

  30. 因為誤差項符合white noise，所以E(Xt)=0 • 所以，在MA(1)中，g1≠0，但g2以上皆為0： 當k=1 當k>1

  31. 比較 • AR(1)模型為： 表示變數(Xt)和變數前一期(Xt-1)相關 • MA(1)模型為： 表示變數(Xt)和前一期的誤差項(εt-1)相關

  32. AR與MA的關係 • 若p=∞，且αi(i=1,2,…,∞)皆相同且小於1時，AR(∞)的模型如下： • Xt =-αXt-1-α2Xt-1- α3Xt-3-…+εt • →Xt +αXt-1+α2Xt-1+α3Xt-3+…=εt • →Xt +(αL)Xt + (αL)2Xt+……=εt • →Xt /(1-αL)= εt • →Xt=(1-αL)εt • →Xt=εt-αεt-1

  33. AR與MA的關係 • 同理，AR(1)模型如下： →也就是MA(∞) • 結論：AR與MA的互換

  34. MA(q) • 可得下面結果： 其中

  35. MA(q)的ACF及PACF圖 r k值

  36. MA(q)的ACF及PACF圖 • ACF圖型中，k=q時，在ACF的圖型中，會有截斷的現象，此與AR(p)的圖型情況相反 qk k值

  37. ARMA模式 • 若一變數(Xt)同時與其前期(Xt-1,Xt-2,Xt-3,…)和誤差項的前期(εt-1,εt-2,εt-3,…)之間相關的話，稱之為ARMA(p,q)模式，以下就ARMA(1,1)加以說明。

  38. ARMA(1,1) • 或是寫成如下的格式 • 兩邊同時取期望值之後，令 ，得到 • 其ACF如下：

  39. ARMA(1,1)的ACF及PACF圖 r k值

  40. qk k值

  41. ARIMA(p,d,q) • 若資料ARMA(p,q)無法配適時，我們利用差分進行配適，稱為ARIMA。若取d次差分後，可用ARMA(p,q)配適的話，則可稱此模型為ARIMA(p,d,q)，以下就以ARIMA(1,d,1)說明：

  42. 若資料為δXt～ARMA(1,1) • 則稱Xt ～ARIMA(1,1,1) • 其中δXt=Xt-Xt-1 • 若資料為δ2 Xt ～ARMA(1,1)時 • 則稱Xt ～ ARIMA(1,2,1) • 其中δ2 Xt=δXt-δXt-1 • =(Xt-Xt-1)(Xt-1-Xt-2) • =Xt-2 Xt-1 + Xt-2

  43. ARIMA模式之認定、估計與偵測 • 認定(Identification) • 是否定態(單根檢定)→差分 • DF單根檢定 • ADF單根檢定 • PP單根檢定 • 估計(Estimation) • 決定p、q的序次→估計參數值(最大概似法) • 若是AR模式，亦可用OLS估計 • 偵測(Diagnosis) • 檢查(εt)是否仍有序列相關 (是否為white noise)

  44. ARIMA範例說明

  45. 若P=5(也就是AR(5))的模式如下：5Yt=ΣαiYt-i+εti=1若我們認為真正對變數Yt有影響的，只有遞延1,2,5期： Yt=α1Yt-1+α2Yt-2+α5Yt-5+ εt在SAS估計時，可利用小括號將要估計的期數寫入。可少估計兩個參數，增加兩個自由度。

  46. AR(1)估計實例

  47. GARCH模型 • 可描述市場波動常有的群聚現象 • 解釋股票報酬多有肥尾的現象 • 股票報酬的平方有較明顯的自我相關

  48. 台積電日報酬及報酬平方項之自我相關係數

  49. ARCH(q)模式 估計一組資料 誤差項 其中 代表給定過去資訊下， 的條件變異數： 誤差項的變異數和誤差項的前期相關

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