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优化模型与 LINDO/LINGO 优化软件

优化模型与 LINDO/LINGO 优化软件. 温罗生 重庆大学数理学院 Tel:13594173719 Email:wenluosheng@tom.com. 1 ，从 Lindo 到 Lingo. 线性规划是优化方法中最基本，也是最重要的方法，最根本的原因是模型的规范性以及求解的高效率。其最基本的形式如下：. 当问题比较简单是，利用 Lindo 可以方便的求解。比如下面的问题 max 2x1+3x2 s.t. x1+x2 ≤ 2 x1-2x2≤1/2

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优化模型与 LINDO/LINGO 优化软件

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  1. 优化模型与LINDO/LINGO优化软件 温罗生 重庆大学数理学院 Tel:13594173719 Email:wenluosheng@tom.com

  2. 1，从Lindo到Lingo 线性规划是优化方法中最基本，也是最重要的方法，最根本的原因是模型的规范性以及求解的高效率。其最基本的形式如下：

  3. 当问题比较简单是，利用Lindo可以方便的求解。比如下面的问题当问题比较简单是，利用Lindo可以方便的求解。比如下面的问题 max 2x1+3x2 s.t. x1+x2 ≤ 2 x1-2x2≤1/2 x1,x2非负 按照Lindo的语法，写成 max 2x1+3x2 s.t. x1+x2 ≤ 2 x1-2x2≤1/2 end 更多的例子可以参见程序部分

  4. “>”（或“<”）号与“>=”（或“<=”）功能相同“>”（或“<”）号与“>=”（或“<=”）功能相同 变量与系数间可有空格(甚至回车), 但无运算符 变量名以字母开头，不能超过8个字符 变量名不区分大小写（包括LINDO中的关键字） 目标函数所在行是第一行，第二行起为约束条件 行号(行名)自动产生或人为定义。行名以“）”结束 行中注有“!”符号的后面部分为注释。如: ! It’s Comment. 在模型的任何地方都可以用“TITLE” 对模型命名（最多72个字符），如： TITLE This Model is only an Example 使用LINDO的一些注意事项

  5. 变量不能出现在一个约束条件的右端 表达式中不接受括号“( )”和逗号“,”等任何符号, 例: 400(X1+X2)需写为400X1+400X2 表达式应化简，如2X1+3X2- 4X1应写成 -2X1+3X2 缺省假定所有变量非负；可在模型的“END”语句后用“FREE name”将变量name的非负假定取消 可在 “END”后用“SUB” 或“SLB” 设定变量上下界 例如： “sub x1 10”的作用等价于“x1<=10” 但用“SUB”和“SLB”表示的上下界约束不计入模型的约束，也不能给出其松紧判断和敏感性分析。 14. “END”后对0-1变量说明：INT n或 INT name 15. “END”后对整数变量说明：GIN n或 GIN name 使用LINDO的一些注意事项

  6. 状态窗口（LINDO Solver Status） • 当前状态：已达最优解 • 迭代次数：18次 • 约束不满足的“量”(不是“约束个数”)：0 • 当前的目标值：94 • 最好的整数解：94 • 整数规划的界：93.5 • 分枝数：1 • 所用时间：0.00秒（太快了，还不到0.005秒） • 刷新本界面的间隔:1(秒)

  7. 选项设置 • Preprocess：预处理(生成割平面)； • Preferred Branch：优先的分枝方式： “Default”（缺省方式）、 “Up”（向上取整优先）、 “Down”（向下取整优先）； • IP Optimality Tol：IP最优值允许的误差上限（一个百分数，如5%即0.05）； • IP Objective Hurdle：IP目标函数的篱笆值，即只寻找比这个值更优最优解（如当知道当前模型的某个整数可行解时，就可以设置这个值）； • IP Var Fixing Tol：固定一个整数变量取值所依据的一个上限（如果一个整数变量的判别数（REDUCED COST）的值很大，超过该上限，则以后求解中把该整数变量固定下来）。 Nonzero Limit： 非零系数的个数上限； Iteration Limit： 最大迭代步数； Initial Contraint Tol： 约束的初始误差上限； Final Contraint Tol： 约束的最后误差上限； Entering Var Tol： 进基变量的REDUCED COST的误差限； Pivot Size Tol： 旋转元的误差限

  8. Report/Statistics ROWS= 5 VARS= 4 INTEGER VARS= 2( 0 = 0/1) QCP= 4 NONZEROS= 19 CONSTRAINT NONZ= 12( 6 = +-1) DENSITY=0.760 SMALLEST AND LARGEST ELEMENTS IN ABSOLUTE VALUE= 0.300000 277.000 OBJ=MIN, NO. <,=,>: 2 0 2, GUBS <= 1 VUBS >= 0 SINGLE COLS= 0 REDUNDANT COLS= 0 第一行：模型有5行（约束4行），4个变量，两个整数变量（没有0-1变量），从第4行开始是二次规划的实际约束。 第二行：非零系数19个，约束中非零系数12个(其中6个为1或-1)，模型密度为0.760(密度=非零系数/[行数＊(变量数＋１)])。 第三行的意思：按绝对值看，系数最小、最大分别为0.3和277。 第四行的意思：模型目标为极小化；小于等于、等于、大于等于约束分别有２、０、２个；广义上界约束（GUBS）不超过１个；变量上界约束（VUBS）不少于０个。所谓GUBS，是指一组不含有相同变量的约束；所谓VUBS，是指一个蕴涵变量上界的约束，如从约束X1+X2-X3=0可以看出，若X3=0，则X1=0，X2=0（因为有非负限制），因此X1+X2-X3=0是一个VUBS约束。 第五行的意思：只含１个变量的约束个数=０个；冗余的列数=０个

  9. 但是当问题的规模扩大时，前面的方法显得非常不方便甚至是致命的。主要的原因是所含的变量和约束个数太多。另一方面，规划问题本身很有规律，所以我们希望使用循环来实现。引入如下的两个数组（或者向量），但是当问题的规模扩大时，前面的方法显得非常不方便甚至是致命的。主要的原因是所含的变量和约束个数太多。另一方面，规划问题本身很有规律，所以我们希望使用循环来实现。引入如下的两个数组（或者向量）， C=(c1,c2,…,cn), X=(x1,x2,…,xn), b=(b1,b2,…,bm)，

  10. 我们可以得到下面的对应关系 s=0 for i=1:n s=s+c(i)*x(i) end c1x2+c2x2+…+cnxn

  11. for i=1:m for j=1:n s(i)=s(i)+a(i,j)*x(j) end s(i)<b(i) end a11x1+a12x2+…+a1nxn<b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn<b2 。。。 。。。 am1x1+am2x2+…+amnxn<bm 右边是程序语言的一个比喻写法，为实现循环结构，Lingo中引入了几个循环语句：@for(),@sum(),@min(),@max.

  12. 为此，需要定义一个数组（向量）的结构，在Lindo中称之为集合。表征数组的维数的量在循环中有非常重要的作用。在Lindo中如下定义数组。为此，需要定义一个数组（向量）的结构，在Lindo中称之为集合。表征数组的维数的量在循环中有非常重要的作用。在Lindo中如下定义数组。 sets: setname/下标起数..下标止数/:数组名； endsets 比如，要实现前面例子的目标函数部分，只要写如下的代码： 集合段部分： sets: cargo/1..2/:c,x; endsets 目标函数段： max=@sum(cargo(i):c(i)*x(i)); 其中i为循环变量，cargo指出循环变量变化的范围。

  13. 对于约束，可以类似的处理如下： 集合部分： sets: cargo/1..n/:c,x,a1,a2,…,am; rhs/1..m/:b; endsets 程序部分： @sum(cargo(i):a1(i)*x(i))<b(1); @sum(cargo(i):a2(i)*x(i))<b(2); … … @sum(cargo(i):am(i)*x(i))<b(m);

  14. 可以看到，当m的值比较大时，书写还是感到麻烦，所有，可以考虑在利用循环实现。可以看到，当m的值比较大时，书写还是感到麻烦，所有，可以考虑在利用循环实现。 要实现二重循环，并且其中可以将系数作出一个矩阵（二维数组），所有定义 这是矩阵A的行列数是m和n,可以看成由向量X和b派生。

  15. 于是为得到约束条件，可以如下的定义集合段和约束部分。于是为得到约束条件，可以如下的定义集合段和约束部分。 集合部分： sets: cargo/1..n/:c,x; rhs/1..m/:b; mat(rhs,cargo):a; endsets 程序部分： @for(rhs(j):@sum(cargo(i):a(j,i)*x(i))<b(j)); j为循环变量，rhs指出需要循环的次数。

  16. 从上面的例子大家看出引入集合的作用以及基本的用法，下面的部分给出Lingo的整体结构和更复杂的例子。从上面的例子大家看出引入集合的作用以及基本的用法，下面的部分给出Lingo的整体结构和更复杂的例子。

  17. 一个规划问题，包括下面的一些内容：变量、常量、目标、约束。还是以前面的例子，说明最基本的程序构成。一个规划问题，包括下面的一些内容：变量、常量、目标、约束。还是以前面的例子，说明最基本的程序构成。 model: linear programming sets: cargo/1..n/:c,x; rhs/1..m/:b; mat(rhs,cargo):a; endsets data c=2,3; b=2,1/2; A=1,1,1,-2; enddata max=@sum(cargo(i):c(i)*x(i)); @for(rhs(j):@sum(cargo(i):a(j,i)*x(i))<b(j)); 2，Lingo程序的结构和语法

  18. 前面是两个循环语句的用法，函数以“@”开头，里面是循环变量以及界定循环变量的变化范围，后面是循环体。还有另外的两个循环函数：@min和@max，其用法相类似。前面是两个循环语句的用法，函数以“@”开头，里面是循环变量以及界定循环变量的变化范围，后面是循环体。还有另外的两个循环函数：@min和@max，其用法相类似。 从一维数组派生二维数组在数学上是常用的，比如运输问题，由顶点集可以派生边，大家可以使用本方法产生标准的运输问题的Lingo程序。可以参考例子。

  19. LINGO模型 —例：选址问题 某公司有6个建筑工地，位置坐标为(ai, bi) (单位：公里),水泥日用量di(单位：吨） 假设：料场和工地之间有直线道路

  20. 决策变量：ci j (料场j到工地i的运量）~12维 线性规划模型 用例中数据计算，最优解为 总吨公里数为136.2

  21. 选址问题：NLP 2）改建两个新料场，需要确定新料场位置(xj,yj)和运量cij，在其它条件不变下使总吨公里数最小。 决策变量： ci j，(xj,yj)~16维 非线性规划模型 location

  22. LINGO模型的构成：4个段 集合段（SETS ENDSETS） 数据段（DATA ENDDATA） LP：移到数据段 初始段（INIT ENDINIT） 目标与 约束段 局部最优：89.8835(吨公里)

  23. 边界

  24. 上面讲到图的问题，但是实际中的图往往是稀疏图，这样的问题尽管可以用前面的方法处理，但是计算量往往非常的大，是不实际的。下面讲由顶点集派生边集的例子。上面讲到图的问题，但是实际中的图往往是稀疏图，这样的问题尽管可以用前面的方法处理，但是计算量往往非常的大，是不实际的。下面讲由顶点集派生边集的例子。 6 6 6 5 5 7 8 6 3 8 6 7 3 9 4 S C1 B1 C2 B2 A1 A2 A3 T

  25. 前图是有九个顶点组成的图，连线代表顶点之间的边，其上的数字代表边的长度。要求得到所有顶点到顶点T的最短距离。分析Lingo程序。前图是有九个顶点组成的图，连线代表顶点之间的边，其上的数字代表边的长度。要求得到所有顶点到顶点T的最短距离。分析Lingo程序。 从这个例子得到的知识有：顶点的编号；产生边集（稀疏图）；动态规划的思想；循环语句的使用。 程序中出现了“i #GT# 1:”在循环语句中，这实际上是常见的，也就是我们希望对满足条件的执行循环，否则不执行，称之为逻辑语句。

  26. 运算符的优先级 三类运算符： 算术运算符 逻辑运算符 关系运算符

  27. 匹配问题的例子（说明逻辑运算符） 某班8名同学准备分成4个调查队（每队两人）前往四个地区进行社会调查，假设这8位同学两两之间组队的效率如表所示（由于对称性，只列出严格上三角部分），问如何组队可以使总效率最高？

  28. 将效率矩阵记为benefit,用match(si,sj)=1表示同学si和同学sj组成一个队，而match(si,sj)=0表示不组队，由对称性，只考虑i<j共28个0－1变量。将效率矩阵记为benefit,用match(si,sj)=1表示同学si和同学sj组成一个队，而match(si,sj)=0表示不组队，由对称性，只考虑i<j共28个0－1变量。 目标函数为：benefit(si,sj)*match(si,sj)对I,j求和；约束条件为每个同学只能在某一组。得到规划问题：

  29. @ABS( X) This returns the absolute value of X. @COS( X) This returns the cosine of X, where X is an angle in radians. @EXP( X) This returns e (2.718281...) raised to the power X. @FLOOR( X) This returns the integer part of X. To be specific, if X ?0, @FLOOR returns the largest integer, I, such that I ?X. If X is negative, @FLOOR returns the most negative integer, I, such that I ?X. @LGM( X) This returns the natural (base e) logarithm of the gamma function of X (i.e., log of (X - 1)!). It is extended to noninteger values of X by linear interpolation. @LOG( X) This returns the natural logarithm of X. @MOD( X,Y) This returns the value of X modulo Y, or, in other words, the remainder of an integer divide of X by Y.

  30. @POW( X,Y) This returns the value of X rasied to the Y power. @SIGN( X) This returns -1 if X < 0. Otherwise, it returns +1. @SIN( X) This returns the sine of X, where X is the angle in radians. @SMAX( X1, X2,..., XN) This returns the maximum value of X1, X2, ..., and XN. @SMIN( X1, X2,..., XN) This returns the minimum value of X1, X2, ..., and XN. @SQR( X) This returns the value of X squared. @SQRT( X) This returns the square root of X. @TAN( X) This returns the tangent of X, where X is the angle in radians

  31. @BIN( variable) This restricts variable to being a binary (0/1) integer value. @BND( lower_bound, variable, upper_bound) This limits variable to being greater-than-or-equal-to lower_bound and less-than-or-equal-to upper_bound. @FREE( variable) This removes the default lower bound of zero on variable, allowing it to take any positive or negative value. @GIN( variable) This restricts variable to integer values (e.g., 0,1,2, ...).

  32. 例 钢管下料 原料钢管:每根19米 客户需求 6米20根 8米15根 4米50根 5米10根 问题1. 如何下料最节省 ? 节省的标准是什么？ 问题2. 客户增加需求： 由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？

  33. 切割模式 4米1根 6米1根 余料1米 8米1根 4米1根 6米1根 余料3米 6米1根 8米1根 8米1根 余料3米 钢管下料 按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。 合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸

  34. 合理切割模式 模式 4米钢管根数 6米钢管根数 8米钢管根数 余料(米) 1 4 0 0 3 2 3 1 0 1 3 2 0 1 3 4 1 2 0 3 5 1 1 1 1 6 0 3 0 1 7 0 0 2 3 钢管下料问题1 为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？ 两种标准 1. 原料钢管剩余总余量最小 2. 所用原料钢管总根数最少

  35. 模 式 4米 根数 6米 根数 8米 根数 余 料 1 4 0 0 3 2 3 1 0 1 3 2 0 1 3 4 1 2 0 3 5 1 1 1 1 6 0 3 0 1 7 需 求 0 50 0 20 15 2 3 决策变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量） 约束 满足需求 整数约束： xi 为整数 最优解：x2=12, x5=15, 其余为0； 最优值：27 cut1a 按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米

  36. xi 为整数 钢管下料问题1 目标2（总根数） 约束条件不变 最优解：x2=15, x5=5, x7=5, 其余为0； 最优值：25。 按模式2切割15根，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共25根，余料35米 与目标1的结果“共切割27根，余料27米” 相比 作业:将该问题进行编程 虽余料增加8米，但减少了2根 当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标

  37. 钢管下料问题2 增加一种需求：5米10根；切割模式不超过3种。 现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。 对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式 决策变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3) r1i, r2i, r3i, r4i ~ 第i 种切割模式下，每根原料钢管生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量

  38. 钢管下料问题2 目标函数（总根数） 模式合理：每根余料不超过3米 约束条件 满足需求 整数约束： xi ,r1i, r2i, r3i, r4i (i=1,2,3)为整数 整数非线性规划模型

  39. 钢管下料问题2 增加约束，缩小可行域，便于求解 需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根 每根原料钢管长19米 原料钢管总根数下界： 特殊生产计划：对每根原料钢管 模式1：切割成4根4米钢管，需13根； 模式2：切割成1根5米和2根6米钢管，需10根； 模式3：切割成2根8米钢管，需8根。 原料钢管总根数上界：31 模式排列顺序可任定

  40. LINGO求解整数非线性规划模型 Local optimal solution found at iteration: 12211 Objective value: 28.00000 Variable Value Reduced Cost X1 10.00000 0.000000 X2 10.00000 2.000000 X3 8.000000 1.000000 R11 3.000000 0.000000 R12 2.000000 0.000000 R13 0.000000 0.000000 R21 0.000000 0.000000 R22 1.000000 0.000000 R23 0.000000 0.000000 R31 1.000000 0.000000 R32 1.000000 0.000000 R33 0.000000 0.000000 R41 0.000000 0.000000 R42 0.000000 0.000000 R43 2.000000 0.000000 作业:将代码改写成矩阵生成器的形式 模式1：每根原料钢管切割成3根4米和1根6米钢管，共10根； 模式2：每根原料钢管切割成2根4米、1根5米和1根6米钢管，共10根； 模式3：每根原料钢管切割成2根8米钢管，共8根。 原料钢管总根数为28根。 cut2

  41. 30 290 S7 S4 160 S3 320 20 160 20 690 70 S2 30 690 70 S6 A15 1200 170 110 500 720 520 88 62 420 A14 462 10 202 S5 A13 70 S1 210 1100 10 42 220 A12 20 12 480 A11 195 300 A10 31 3060 A9 680 1150 201 A8 10 5 600 10 A7 194 205 450 A6 80 A5 606 750 2 A4 3 A3 301 104 A2 A1 钢管运输问题（CUMCM-2000B) 铁路运价表

  42. 常用解法: 二次规划 先计算最小运费矩阵 两种运输方式（铁路／公路）混合最短路问题 是普通最短路问题的变种，需要自己设计算法 钢管运输问题（CUMCM-2000B)

  43. 钢管运输问题（CUMCM-2000B) fi表示钢厂i是否使用；xij是从钢厂i运到节点j的钢管量 yj是从节点j向左铺设的钢管量；zj是向右铺设的钢管量 steerpipe LINDO/LINGO得到的结果比matlab得到的好

  44. 值班人员的工作安排问题 我们考虑一组约束，它们表示值班人员的工作安排要满足预估计的按小时计算的需要量，因为人员必须安排在某种类型的班里全时值班，假定有许多不同类型的班，我们发现，一般情况下，不可能精确的安排每个时段所需要的值班人员的人数。因为每个时段的需要都在改变，我们会发现有的时段值班人员太多，有的时段值班人员太少，也有值班人员总数正好满足需要的时段。这个问题的目标是，希望把人员安排到各种类型的班，使得超员和缺员的总和最小。

  45. 我们举例说明这个问题，设有五个时段和六个类型的值班的组合，用下表给出：我们举例说明这个问题，设有五个时段和六个类型的值班的组合，用下表给出：

  46. 例如，上表的x1这一列说明安排在第一班值班的人员在第一时段上班工作，第二时段不上班第三和第四时段继续工作，在第五时段开始时就离开，变量bi表示安排在第i班工作的人数。我们用A表示值班矩阵，用x表示变量向量，用b表示 人员需要向量，乘积Ax的第i个分量，即指定在第i个时段值班的人数可以大于、小于或者等于向量b的对应分量bi。这是一个最优化问题，我们如何建立这一模型呢？对每行i我们定义一个符号不受限制的变量ci，它表示 bi与第i个左端分量的离差可以是正的、负的或者零，用 c 表示这些变量的 列向量。

  47. 通过加入松弛变量的方法，则规划问题是： 这种类型的规划问题统称为绝对值优化问题，本身属于非线性规划问题。通常 情况下可以用以下方式转化为线性规划。因为任意实数可以写成两个非负数之差，故令 ci=yi-zi,其中yi≥0，zi≥0且c=y-z。因此我们有线性规划问题：

  48. 利用Lindo，代入相应数据，运行即可得到 结果。（见例子） assignment

  49. 有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去，包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t,以厘米计）及重量(w,以公斤计)是不同的。下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（象面包片那样），载重为40吨。由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7厘米。试把包装箱（见下表）装到平板车上去使得浪费的空间最小。有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去，包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t,以厘米计）及重量(w,以公斤计)是不同的。下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（象面包片那样），载重为40吨。由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7厘米。试把包装箱（见下表）装到平板车上去使得浪费的空间最小。 两辆铁路平板车的装货问题MCM1988B

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