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8.3 双射函数与集合的基数

8.3 双射函数与集合的基数. 主要内容 集合的等势及其性质 重要的等势或不等势的结果 集合的优势及其性质 集合的基数 可数集. 集合的等势. 定义 8.8 设 A , B 是集合 , 如果存在着从 A 到 B 的双射函数 , 就称 A 和 B 是 等势 的 , 记作 A ≈ B . 如果 A 不与 B 等势 , 则记作 A ≉ B. 集合等势的实例 例 6 (1) Z≈N. 则 f 是 Z 到 N 的双射函数 . 从而证明了 Z≈N. 集合等势的实例 : N×N≈N. N×N≈N. N×N 中所有的元素排成有序图形.

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8.3 双射函数与集合的基数

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Presentation Transcript

  1. 8.3 双射函数与集合的基数 • 主要内容 • 集合的等势及其性质 • 重要的等势或不等势的结果 • 集合的优势及其性质 • 集合的基数 • 可数集

  2. 集合的等势 • 定义8.8设A, B是集合, 如果存在着从A到B的双射函数, 就称 • A和B是等势的, 记作A≈B. 如果A不与B 等势, 则记作A≉B. • 集合等势的实例 • 例6 (1) Z≈N. 则 f 是Z到N的双射函数. 从而证明了Z≈N.

  3. 集合等势的实例: N×N≈N N×N≈N. N×N中所有的元素排成有序图形

  4. 集合等势的实例: N≈Q • N≈Q. 双射函数 f:N→Q, 其中f(n)是[n]下方的有理数. [18] [5] [4] [0] [1] [10] [11] -3/1 -2/1 -1/1 0/1 1/1 2/1 3/1 … [17] [3] [2] [12] -3/2 -2/2 -1/2 0/2 1/2 2/2 3/2 … … [6] [7] [8] [9] -3/3 -2/3 -1/3 0/3 1/3 2/3 3/3 … … [16] [15] [14] [13] -3/4 -2/4 -1/4 0/4 1/4 2/4 3/4 … … … PLAY

  5. 实数集合的等势 (4) (0,1)≈R. 其中实数区间 (0,1)={x| x∈R∧0<x<1}. 令 (5) [0,1]≈(0,1). 其中(0,1)和[0,1]分别为实数开区间和闭区间. 令 f : [0,1](0,1) • 对任何a, b∈R, a<b, [0,1]≈[a,b]，双射函数 f:[0,1]→[a,b], • f(x)=(ba)x+a • 类似地可以证明, 对任何a, b∈R, a<b, 有(0,1)≈(a,b).

  6. 实例 • 例7设A为任意集合, 则P(A)≈{0,1}A. • 证 如下构造从P(A) 到 {0,1}A的函数 •  f:P(A)→{0,1}A, f(A')=A', A'∈P(A). • 其中A‘是集合A’的特征函数. 易证 f 是单射的. • 对于任意的 g∈{0,1}A, 那么有 g:A→{0,1}. 令 • B={ x| x∈A∧g(x)=1} • 则BA, 且B=g, 即B∈P(A), f(B)=g. 从而证明了f 是满射的. • 由等势定义得 P(A)≈{0,1}A.

  7. 等势的性质 • 定理8.6设A, B,C是任意集合， • (1) A≈A • (2) 若A≈B，则B≈A • (3)若A≈B，B≈C，则A≈C. • 证明思路：利用等势的等义. • (1) IA是从A到A的双射 • (2) 若 f:AB是双射，则f 1:BA是从B到A的双射. • (3) 若 f:AB，g:BC是双射，则fg:AC是从A到C的双射

  8. 有关势的重要结果 • 等势结果 • N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N • 任何实数区间都与实数集合R等势 • 不等势的结果: • 定理8.7 (康托定理) • (1) N ≉ R；(2)对任意集合A都有A≉P(A) • 证明思路： • (1) 只需证明任何函数 f:N→[0,1]都不是满射的. • 任取函数 f:N→[0,1], 列出 f 的所有函数值，然后构造一个[0,1]区间的小数b，使得b与所有的函数值都不相等. • (2) 任取函数 f:AP(A)，构造BP(A)，使得B与 f 的任何函 • 数值都不等.

  9. Cantor定理的证明 • 证 (1) 规定[0,1]中数的表示. 对任意的x∈[0,1], 令 •  x = 0. x1 x2 … , 0 ≤ xi≤ 9 • 规定在 x 的表示式中不允许在某位后有无数个1的情况. • 设 f: N→[0,1]是任何函数，列出 f 的所有函数值： • f(0) = 0.a1(1)a2(1)…f(1) = 0.a1(2)a2(2)… • … • f(n1) = 0.a1(n)a2(n)… • … • 令 y 的表示式为0.b1b2…, 并且满足bi ≠ ai(i), i=1,2,…, 那么 • y[0,1], 且y与上面列出的任何函数值都不相等. 这就推出 • yranf, 即 f 不是满射的.

  10. Cantor定理的证明 • (2) 我们将证明任何函数 g:A→P(A)都不是满射的. • 设 g:A→P(A)是从A到P(A)的函数, 如下构造集合B： B={x| x∈A∧xg(x)} • 则B∈P(A), 但对任意x∈A都有 • x∈B xg(x) • 从而证明了对任意的 x∈A都有 B≠g(x). 即Brang. • 注意：根据Cantor定理可以知道N≉P(N)，N≉{0,1}N.

  11. 集合的优势 • 定义8.9 (1) 设A, B是集合, 如果存在从A到B的单射函数, 就 • 称B优势于A, 记作A≼B. 如果B不是优势于A, 则记作A⋠B. • (2) 设A, B是集合, 若A≼B 且 AB, 则称 B 真优势于A, 记作 • A≺B. 如果 B 不是真优势于A, 则记作A⊀B. • 实例 N≼N, N≼R, A≼P(A), • R⋠N • N≺R, A≺P(A), 但N⊀N • 定理8.8设 A, B, C是任意的集合, 则 • (1) A≼A • (2) 若A≼B且B≼A, 则A≈B • (3) 若A≼B且B≼C, 则A≼C

  12. 应用：证明等势 • 例8证明 {0,1}N≈[0,1). • 证 设x[0,1), 0. x1x2… 是 x 的二进制表示. 规定表示式中不 • 允许出现连续无数个1. 对于x，如下定义 f:[0,1)→{0,1}N, • f(x) = tx, 且 tx:N→{0,1}, • tx(n) = xn+1, n = 0,1,2,… • 例如 x = 0.1 0 1 1 0 1 0 0…, 则对应于x 的函数 tx是： • n  0 1 2 3 4 5 6 7… • tx(n) 1 0 1 1 0 1 0 0… • tx∈{0,1}N, 且对于x,y∈[0,1), x≠y, 必有tx≠ty, 即 f(x)≠f(y). • 这就证明了f:[0,1)→{0,1}N是单射的.

  13. 构造另一个单射 • 考虑 t∈{0,1}N, 其中 • t(0)=0, t(n)=1, n=1, 2, …. • 按照 f 的定义, 只有 x = 0.011… 才能满足 f(x)=t. 但根据规定, • 这个数 x 记为0.100…, 所以根本不存在 x∈[0,1), 满足 f(x)=t. • 定义函数 g:{0,1}N→[0,1). g的映射法则恰好与 f 相反. 即t∈{0,1}N, • t：N→{0,1}, g(t)=0. x1x2…, 其中xn+1=t(n). • 将0. x1x2… 看作数 x 的十进制表示. 这样就避免了形如 • 0.0111…和0.1000….在二进制表示中对应了同一个数的情 • 况，从而保证了g的单射性. • 根据定理有{0,1}N≈[0,1). 再使用等势的传递性得{0,1}N≈R.

  14. 自然数的集合定义 • 定义8.10设a为集合, 称a∪{a}为a的后继, 记作a+, • 即 a+=a∪{a}. • 如下定义自然数： • 0= • 1=0+=+ = {}={0} • 2=1+= {}+ = {}{{}}={,{}}={0,1} • 3=2+={,{}}+= {,{},{,{}}}= {0,1,2} … • n={0, 1, …, n1} • … 自然数的相等与大小，即对任何自然数 n和m，有 m=n mn ， m<n mn

  15. 有穷集和无穷集 • 定义8.11 • (1) 一个集合是有穷的当且仅当它与某个自然数等势； • (2) 如果一个集合不是有穷的, 就称作无穷集. • 实例： • (1) {a,b,c}是有穷集, 因为3={0,1,2}, 且 {a,b,c}≈{0,1,2}=3 • (2) N和R都是无穷集, 因为没有自然数与N和R等势 • 利用自然数的性质可以证明：任何有穷集只与惟一的自然数 • 等势.

  16. 集合基数的定义 • 定义8.12 • (1) 对于有穷集合A, 称与A等势的那个惟一的自然数为A的基数, 记作cardA (也可以记作|A|) • cardA = n A ≈ n • (2) 自然数集合N的基数记作0, 即 •  cardN=0 • (3) 实数集R的基数记作, 即 cardR=

  17. 基数的相等和大小 • 定义8.13设A, B为集合, 则 • (1) cardA=cardB A≈B • (2) cardA≤cardB A≼B • (3) cardA<cardB  cardA≤cardB∧cardA≠cardB • 根据上一节关于势的讨论不难得到：card Z= card Q = card N×N=0 card P(N) = card 2N= card [a,b] = card (c,d) =0< • card A<card P(A) • 其中2N= {0,1}N

  18. 基数的大小 • 不存在最大的基数. 将已知的基数按从小到大的顺序排列就 • 得到： • 0, 1, 2, …, n, …, 0, , … • 其中： • 0, 1, 2…, n, … 是全体自然数, 是有穷基数. • 0, , … 是无穷基数, 0是最小的无穷基数, 后面还 • 有更大的基数, 如cardP(R)等.

  19. 可数集 • 定义8.14设A为集合, 若cardA≤0, 则称A为可数集或可列集. • 实例： • {a,b,c}, 5, 整数集Z, 有理数集Q, N×N等都是可数集, • 实数集 R不是可数集, 与R等势的集合也不是可数集. • 对于任何的可数集, 它的元素都可以排列成一个有序图形. 换 • 句话说, 都可以找到一个“数遍”集合中全体元素的顺序. • 可数集的性质： • 可数集的任何子集都是可数集. • 两个可数集的并是可数集. • 两个可数集的笛卡儿积是可数集. • 可数个可数集的笛卡儿积仍是可数集. • 无穷集A的幂集P(A)不是可数集

  20. 实例 • 例9求下列集合的基数 • (1) T={x | x是单词“BASEBALL”中的字母} • (2) B={x | x∈R∧x2=9∧2x=8} • (3) C=P(A), A={1, 3, 7, 11} • 解 (1) 由T={B, A, S, E, L}知 cardT=5 • (2) 由B=, 可知 cardB=0. • (3) 由|A|=4 可知 cardC=cardP(A)=|P(A)|=24=16.

  21. 实例 • 例10设A, B为集合, 且 cardA=0, cardB=n, n是自然数, n≠0. • 求card A×B. • 解 方法一 构造双射函数 • 由cardA=0, cardB=n, 可知 A, B都是可数集. 令 • A={a0,a1,a2,…}, B={b0,b1,b2,…,bn1} • 对任意的<ai,bj>, <ak,bl>∈A×B有  <ai,bj>=<ak,bl> i=k∧j=l • 定义函数 f :A×B→N f(<ai,bj>)=in+j, i=0,1,…, j=0,1,…,n1 • 易见f是A×B到N的双射函数, 所以 card A×B=cardN = 0

  22. 实例 • 方法二 直接使用可数集的性质求解. • 因为 card A=0, card B=n, 所以A, B都是可数集. • 根据性质(3) 可知 A×B也是可数集, 所以 • card A×B≤0 • 显然当 B≠时, • card A card A×B, • 这就推出 • 0 card A×B • 综合上述得到 • card A×B=0.

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