第四章 : 实体三铰拱

1. 第四章: 实体三铰拱 • §４－１　概　述 • §４－2 三铰拱的内力计算 • §４－3 拱的合理拱轴简介

2. §４－１　概　述 一、拱的概念　拱的轴线一般是曲线形状，实体拱指由充满密实材料的杆构成的拱。拱的受力特征是，在竖向荷载作用下可产生水平支座反力（水平推力)。具有这类受力特征的结构称为有推力结构。

3. 二、拱的分类１、按具有的铰的数量分类：　　　三铰拱、两铰拱、无铰拱。２、按几何组成（或计算方法）分类：　　　静定拱：三铰拱、带拉杆三铰拱；　　超静定拱：　两铰拱、无铰拱。二、拱的分类１、按具有的铰的数量分类：　　　三铰拱、两铰拱、无铰拱。２、按几何组成（或计算方法）分类：　　　静定拱：三铰拱、带拉杆三铰拱；　　超静定拱：　两铰拱、无铰拱。

4. §4-2　三铰拱的内力计算 三铰拱的构造及各部名称，及相应于拱的简支梁（相应简支梁）。 一、　三铰拱的支座反力（一）、三铰拱的支座反力　三铰拱的支座反力和三铰刚架支座反力的计算方法完全相同，即以其中两个铰分别建立力矩平衡方程，集中计算剩下的一个铰的两个约束力的方法。

5. 当三铰拱的两个底铰在一条水平线上时，其支座反力的计算常采取如下步骤： １、由拱的整体平衡条件求两个竖向支座反力；２、由拱顶铰C任一侧的平衡条件，求在这一侧上的水平支座反力；３、再由拱的整体平衡条件，求另一水平支座反力。

6. 1、∑MA=0FByl–FP1a1–FP2a2–FP3a3 =0FBy=(FP1a1+FP2a2+FP3a3)/l FBy= F0By (↑) (a)　 ∑MB=0 FAyl– FP1b1–FP2b2FP3b3=0FAy=(FP1b1+FP2b2+FP3b3)/l FAy = F0Ay(↑) (b)２、∑MC=0 FByl2–FBxf–FP3(l2–b3)=0FBx=[FByl2–FP3(l2–b3)]/f FH=M0C/f 。 　　(←) (c)３、∑Fx=0 FBx–FAx=0 FAx=FBx=FH (d)

7. 说明：上述计算底铰在一条水平线上的三铰拱支座反力的方法和步骤，适用于任意荷载作用下的情况。但两个底铰的水平反力相同仅是在只有竖向荷载作用的情况下。（二）、三铰拱与相应简支梁的几个关系式：　相应简支梁，指与拱的跨度、荷载相同的简支梁。容易得知三铰拱与相应简支梁的如下几个关系式：FAy = F0Ay FBy= F0By FH=M0C/f 。 (4-2-1) 这三个关系式仅在只有竖向荷载作用下成立。　由第三式分析，在拱上作用的荷载和拱的跨度不变的条件下，M0C是一个常数，此时拱的推力FH与它的高跨比 f / l 有关，即当高跨比f / l越小（越大）, 则水平推力FH越大（越小）。

8. 二、拱的内力计算　拱的任一截面上一般有三个内力（M, FQ, FN），内力计算的基本方法仍是截面法。与直杆件不同的是拱轴为曲线时，截面法线角度不断改变，截面上内力（FQ , FN）的方向也相应改变。例4-2-1 已知图示三铰拱的拱轴方程为y(x)=4fx(l－x)/l2　，求支座反力及K截面的内力。解：（１）求支座反力由拱的整体平衡条件：∑MA = 0FBy×16 –10×12–2×8×4= 0 FBy = 11.5 kN (↑) ∑MB = 0 FAy×16 –10×4–2×8×12= 0 FAy = 14.5 kN (↑)

9. 取铰Ｃ以右部分的平衡条件： ∑MC = 0 FH ×4–FBy×8 + 10×4= 0 FH = 13 kN (←)

10. （２）求Ｋ截面的内力　取Ｋ截面以左部分：截面各内力均按正方向画（注意：规定拱的轴力以受压为正；剪力和弯矩的规定仍同前）。确定Ｋ截面位置参数yK和αK：　将Ｋ截面坐标 x = 4m 代入: y(x)=4fx(l－x)/l2和tanαK=dy/dx=4f(l－2x)/l2　得：yK=3m tanαK=0.5 则有: αK=26.57° sinαK=0.447 cosαK =0.894建立隔离体的平衡方程，求Ｋ截面的内力：　以截面Ｋ的外法线n和切向τ的方向分别建立投影方程，求FNK和FQK：

11. ∑Fn=0FNK–(14.5–2×4)sinαK –13cosαK=0 FNK = 14.528 kN ( FNK = F0QK sinαK +FHcosαK)

12. ∑Fτ=0FQK–(14.5–2×4)cosαK+13sinαK=0 FQK = 0 ( FQK = F0QKcosαK–FH sinαK)

13. 以Ｋ点为矩心的力矩平衡方程，求MK：　∑MK=0 MK + 2×4×2 + 13×3–14.5×4 = 0得：　　MK = 3 kNm ( 下侧受拉 ) ( MK = M0K–FH yK )

14. 说明： 对照上述计算拱内力的三个方程式，可以写出如后面括号中三个内力表达式，即：FNK = F0QK sinαK +FHcosαKFQK = FQKcosαK–FH sinαK（4-2-2）MK = M0K–FH yK上式可作为拱内力的计算公式用，特别是在作拱的内力图时。但须注意以下几点： １、式（4-2-2）要在以拱的左底铰为原点的平面直角坐标中应用，并仅考虑了竖向荷载的作用。２、式中αK为所计算K截面外法线n（或K截面处拱轴切线）与水平x坐标的夹角。如果取αK是与水平方向的锐角考虑，则K截面在左半拱时为正，在右半拱时为负。

15. ３、带拉杆的三铰拱，其支座反力可由整体的平衡条件完全求得；水平推力由拉杆承受。可将顶铰和拉杆切开，取任一部分求出拉杆中的轴力。３、带拉杆的三铰拱，其支座反力可由整体的平衡条件完全求得；水平推力由拉杆承受。可将顶铰和拉杆切开，取任一部分求出拉杆中的轴力。 三、 拱的内力图特征１、拱的内力图特征FNK = F0QK sinαK +FHcosαKFQK = FQKcosαK–FH sinαK（4-2-2）MK = M0K–FH yK由上式分析可知，当拱轴为曲线时。有： （１）不管拱轴区段上是否有分布荷载，拱的各内力图在区段上均为曲线形状；

16. （２）在竖向集中力FP作用点两侧截面，拱的轴力和剪力有突变，突变值分别为　FP sinαK 和FP cosαK，弯矩图在该点转折；在集中力偶Ｍ作用点两侧截面，弯矩有突变，突变值为Ｍ，轴力和剪力不受影响。（３）由于水平推力对拱的弯矩的影响，拱的弯矩与相应的简支梁的弯矩比较大大的减小。 ２、拱的内力图的制作方法　原则上是将拱沿其跨度平分成若干等份区段，分别计算出每个等分点截面的内力值，然后将各点内力竖标顺序连以光滑曲线即可。但要注意各内力图上的突变和转折特征。　当只有竖向荷载作用时，拱轴上各等分点截面的内力计算，可利用式（4-2-2）制作适当的表格后，再进行由表格表示的各项的计算。

17. §4-3　拱的合理拱轴简介 由于拱的水平推力的作用，拱的弯矩与相应的简支梁相比大大减小，所以拱是以受压为主的结构。一、拱的合理拱轴概念：　在某一荷载作用下，沿拱轴所有截面上均无弯矩时的拱轴线称之。二、在竖向荷载下的合理拱轴线　根据拱的合理拱轴的概念，在竖向荷载下的合理拱轴线可由式（4-2-2）中的弯矩式得出，即由　　　　MK=M0K–FH yK 并令　　MK =０　得： 　 yK= M0K/FH（4-3-1）

18. 例4-3-1　求图示三铰拱的合理拱轴线方程，并分析其合理拱轴的形状。例4-3-1　求图示三铰拱的合理拱轴线方程，并分析其合理拱轴的形状。

19. 解：（１）求支座反力　由整体的平衡条件　　∑MB = 0　　得：FAy×8－FH×2－20×6－10×4×2=0　由Ｃ铰以左部分的平衡　∑MC = 0　得： FAy×4－FH×4－20×2=0 联立上两式： 4FAy－FH－100=0 FAy－FH－10=0 解得：　FAy=30kN (↑) FH=20kN (→)

20. （２）建立以Ａ支座为原点的直角坐标，由式y=M0/FH 分段写出拱的合理拱轴线方程:(0≤x≤2) y=(30/20)x=3x/2 (2≤x≤4) y=[30x－20(x－2)]/20=x/2＋2 (4≤x≤8) y=[(30x－20(x－2) －10(x－4)2/2]/20 =－x2/4＋5x/2－2 上式即为竖向荷载作用下的合理拱轴线方程。

21. 说明：由本例结果可知，三铰拱在竖向集中荷载作用下的的无荷载区段上，合理拱轴是一条直线，并在集中荷载作用点出现转折；在均布荷载作用区段上，合理拱轴是一条抛物线。　拱的合理拱轴线的形状与相应的简支梁的弯矩图相似。说明：由本例结果可知，三铰拱在竖向集中荷载作用下的的无荷载区段上，合理拱轴是一条直线，并在集中荷载作用点出现转折；在均布荷载作用区段上，合理拱轴是一条抛物线。　拱的合理拱轴线的形状与相应的简支梁的弯矩图相似。

22. 静定拱　小结 一、、要求了解拱的受力特点；重点掌握两个底铰在一条水平线上的三铰拱的支座反力的计算，及拱轴上指定截面的内力计算；了解拱的内力图的特征及制作方法。二、应掌握拱在任意荷载下的计算，即不限于仅有竖向荷载的情况。所以。拱的内力计算应建立在牢固掌握截面法的基础之上，而不只是运用公式。