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b 米. a 米. b 米. a 米. 数学故事. 从前有一位张老汉向地主租了一块 “ 十字型 ” 土地（尺寸如图）。为便于种植，他想换一块 相同面积 的 长方形 土地。同学们，你能帮助张老汉算出这块长方形土地的长和宽吗？. 平方差公式： (a+b)(a-b) = a ² - b ². 平方差公式反过来就是说： 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 整式乘法. a ² - b ² = (a+b)(a-b). 因式分解.

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  1. b米 a米 b米 a米 数学故事 从前有一位张老汉向地主租了一块 “十字型”土地（尺寸如图）。为便于种植，他想换一块相同面积的长方形土地。同学们，你能帮助张老汉算出这块长方形土地的长和宽吗？

  2. 平方差公式： (a+b)(a-b) = a² - b² 平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 整式乘法 a² - b² = (a+b)(a-b) 因式分解

  3. 我们知道，整式乘法与因式分解相反，因此，利用整式乘法与因式分解的这种关系，可以得到因式分解的方法.如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.我们知道，整式乘法与因式分解相反，因此，利用整式乘法与因式分解的这种关系，可以得到因式分解的方法.如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.

  4. 4.3用乘法公式 分解因式（1）

  5. 显然，在以上两个多项式中，不能找到公因式，因此不能使用提公因式法进行分解。显然，在以上两个多项式中，不能找到公因式，因此不能使用提公因式法进行分解。 能否将这两个多项式进行因式分解。 (1) x2 - 16 (2) 9m2 - 4n2 但是通过观察我们能够发现，两个多项式都能够写成平方差的形式，由此我们可以利用上一章刚学到的平方差公式进行分解。

  6. (1) x2 - 16 分析： 要用平方差公式把 x2 - 16 分解因式，只要 x2 - 16 具有平方差的形式。因为16 = 42，所以 x2 - 16=x2 - 42,它是 x 与 4 的平方差。既然 x2 - 16 确实具有平方差的形式，那么就能够运用平方差公式来分解

  7. （1） x2 - 16 利用平方差公式： x2 - 16 = x2 - 42 =( x + 4 ) ( x – 4 ) a2 - b2 =( a + b ) ( a - b )

  8. (2) 9m2 - 4n2 分析： 因为9m2 = ( 3m )2,4n2 = ( 2n )2,所以9m2-4n2=(3m)2-(2n)2,而(3m)2-(2n)2是m与2n的平方差，那么它能够运用平方差公式来分解因式

  9. (2) 9m2 - 4n2 化成平方差公式： 9m2 - 4n2 =（3m )2 - ( 2n )2 =( 3m + 2n)(3m - 2n) a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )

  10. 例： 16a2-1 学一学： a2-b2=(a+ b)(a- b) =(4a)2-12 =(4a+1)(4a-1) 下列多项式能否用平方差公式分解因式？ √ （1）4x2+y2 (2) 4x2-(-y)2 (3) -4x2-y2 (4) -4x2+y2 (5) a2-4 (6) a2+3 √ √ 能用平方差公式分解因式的多项式的特征： 1、由两部分组成； 2、两部分符号相反； 3、每部分都能写成某个式子的平方。

  11. 下列各式可以分别看成哪两式的平方差： (1) 4－x2＝( )2－ ( )2 (2) a2b4－9c2＝( )2－ ( )2 (3) 1.21－81c2＝( )2－ ( )2 (4) 4(a＋b)2－(a＋c)2 ＝( )2－ ( )2 x 2 ab2 3c 9c 1.1 2a＋2b a＋c

  12. 例1：把下列各式分解因式： ⑴ 解： ⑵ 解：

  13. 例1：把下列各式分解因式： ⑶ ⑷ 解：原式= 解：原式=

  14. 注 意 当公式中的a、b表示多项式时，要把这两个多项式看成两个整体，分解成的两个因式要进行去括号化简，若有同类项，要进行合并。

  15. 解：1.原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)] =(x+y+2z)(x-y) 解：3.原式=[(x+y+z)+(x-y-z)] ×[(x+y+z)- (x-y-z)] =2 x ( 2 y + 2 z) =4 x ( y + z ) 解：2.原式=[2(a+b)]²-[5(a-c)]² =[2(a+b)+ 5(a-c)][2(a+b)- 5(a-c)] =(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c) • 例2.把下列各式因式分解 • ( x + z )²- ( y + z )² • 4( a + b)² - 25(a - c)² • (x + y + z)² - (x – y – z )²

  16. 例3 分解因式: 提取公因式法 平方差公式法 解:原式= 依据什么? 依据什么? 注意： （1）如果多项式各项有公因式,那么先提公因式，再进一步分解 。 （2）因式分解,必须进行到每个多项式因式不能分解为止.

  17. 例3.把下列各式分解因式 ① x4 - 81y4② 2a³ - 8a （3) 0.5a²- 2 1.解:原式= (x²+ 9y²) (x²- 9y²) = (x²+ 9y²) (x+ 3y) (x- 3y) 2.解:原式=2a(a2- 4) =2a(a+2)(a-2) 平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b)

  18. 知识聚焦 对于分解复杂的多项式，我们应该怎么做？ 1.先提取公因式 2.再应用平方差公式分解 3.每个因式要化简，并且分解彻底

  19. 例4、用平方差公式进行简便计算: （1）38²-37² （2）213²-87² （3）229²-171² （4）91×89 （6）把9991分解成两个整数的积。

  20. 选一选： • 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ） • 4X²+y² B.4 x- (-y)² C.-4 X²-y³ D.- X²+ y² • -4a² +1分解因式的结果应是（ ） • -(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1) • -(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1) D D

  21. 3.x2-64因式分解为( ). • (x-16)(x+4); (B) (x-32)(x+32); • (C) (x+16)(x-4); (D) (x-8)(x+8). D 4. 64a8-b2因式分解为( ). (A) (64a4-b)(a4+b); (B) (16a2-b)(4a2+b); (C) (8a4-b)(8a4+b); (D) (8a2-b)(8a4+b). C

  22. 谈谈有何收获 分解因式的步骤： (1)优先考虑提取公因式法 (2)其次看是否能用公式法 （如平方差公式） (3)务必检查是否分解彻底了

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