FEYNMANOV TRIKOTNIK

1. FEYNMANOV TRIKOTNIK Mentor: Kandidatka: Doc. dr. Bojan Hvala Maja Juričinec Maribor, 27.3.2007

2. POGLAVJA 1. FEYNMANOV TRIKOTNIK 2. SEDEM DOKAZOV 3. SORODNI REZULTATI FEYNMANOVEGA TIPA

3. 1. FEYNMANOV TRIKOTNIK IZREK 1. 1: Imamo nek poljuben trikotnik ABC v ravnini. Točke X, Y, Z naj ležijo na tretjinah stranic BC, CA in AB trikotnika ABC. Potem je ploščina trikotnika, ki ga določajo daljice AX, BY, CZ, natanko ena sedmina ploščine prvotnega trikotnika ABC. Presečišča daljic smo označili takole:

4. 2. SEDEM DOKAZOV • Dokaz z razčlembo trikotnika na manjše trikotnike • Dokaz z uporabo Menelajevega izreka • Dokaz po Dougu Frenchu • Dokaz z afino geometrijo • Dokaz z analitično geometrijo v trilinearnih koordinatah • Dokaz s ploščinskimi koordinatami • Dokaz z vektorji

5. DOKAZ Z UPORABO MENELAJEVEGA IZREKA Spomnimo se, kaj pravi znani Menelajev izrek: Naj bodo A’, B’ in C’ točke na nosilkah stranic BC, CA in AB trikotnika ABC. Točke A’, B’ in C’ so kolinearne: Pri tem oznaka (AB) označuje usmerjeno dolžino daljice AB. Uporabimo zdaj ta izrek na trikotniku ZBC in daljici AX iz spodnje slike.

6. Dobimo: nato vstavimo razmerja in dobimo, da je , torej je . Za ploščini trikotnikov AZC in ABC velja: ,zato podobno velja tudi . Zanima nas le še kolika je ploščina trikotnika AUC glede na ploščino prvotnega trikotnika ABC, zato zgornjo enačbo pomnožimo z eno tretjino in dobimo

7. Enako velja za ploščini trikotnikov ABV in BCW : . Vsota trikotnikov AUC, ABV in BCW znaša torej . Iz tega je razvidno, da je ploščina trikotnika kar smo tudi želeli dokazati.

8. 3. SORODNI REZULTATI FEYNMANOVEGA TIPA • Trikotnik • Razmerje ploščin trikotnikov XYZ in ABC • Paralelogram • Razmerje ploščin paralelogramov A’B’C’D’ in ABCD • Ploščina osem-kotnika znotraj paralelograma

9. TRIKOTNIK V tem razdelku je predstavljena posplošitev Feynmanovega rezultata, ki se še vedno nanaša na trikotnik, s tem da sedaj točke X, Y, Z delijo stranice AB, BC in CA v razmerju 1:(p - 1). S pomočjo podobnosti trikotnikov BCY, CAZ in ABX, s trikotniki CWY, AUZ in BVX ugotovimo, da razmerje ploščin trikotnikov UVW in ABC znaša

10. RAZMERJE PLOŠČIN TRIKOTNIKOV XYZ IN ABC To poglavje je nadaljevanje prejšnjega, torej so stranice trikotnika razdeljene na p enakih delov, le da tokrat kot zanimivost izračunamo razmerje ploščin trikotnikov XYZ in ABC. Afina geometrija nam omogoča formulirati izrek. IZREK 3. 2: Imamo točke X, Y, Z, ki delijo stranice BC, CA in AB trikotnika ABC v razmerju 1:(p - 1), pri čemer je p >2. Ploščina tako določenega trikotnika XYZ predstavlja ploščine trikotnika ABC.

11. PARALELOGRAM V tem delu poglavja se seznanimo s posplošitvijo Feynmanovega tipa, ki se nanaša na paralelogram. Imamo nek poljuben paralelogram ABCD v ravnini. Točke A’, B’, C’, D’, delijo stranice BC, CD, DA in AB v razmerju 1:(p - 1)kot kaže slika, pri čemer je p >2. Če ponovno izhajamo iz podobnosti trikotnikov zlahka dokažemo, da razmerje ploščin paralelogramov EFGH in ABCD znaša

12. RAZMERJE PLOŠČIN PARALELOGRAMOV A’B’C’D’ IN ABCD V tem razdelku tretjega poglavja diplomske naloge sem namesto ploščine paralelograma EFGH opazovala in izračunala razmerje ploščin paralelogramov A’B’C’D’ in ABCD. Ponovno lahko s pomočjo afine geometrije formuliramo izrek. IZREK 3. 4: Imamo poljuben paralelogram ABCD v ravnini. Točke A’,B’,C’,D’ delijo stranice BC, CD, AD in AB paralelograma ABCD v razmerju 1:(p - 1), pri čemer je p > 2. Ploščina tako določenega paralelograma A’B’C’D’ predstavlja ploščine paralelograma ABCD .

13. PLOŠČINA OSEM-KOTNIKA ZNOTRAJ PARALELOGRAMA Zadnji zastavljen problem diplomske naloge je bil natančno določiti ploščino osenčenega osem-kotnika (slika), ki nam predstavlja del ploščine poljubnega kvadrata ABCD ali paralelograma ABCD. Za kvadrat pridemo do ugotovitve, da ploščina osenčenega 8-kotnika predstavlja ploščine prvotnega kvadrata. Ploščina tako dobljenega 8-kotnika pa pri paralelogramu zajema natanko ploščine začetnega paralelograma.