ŠKOMAM CUP

1. ŠKOMAM CUP Anketa (dvojitě anonymní) Bude tato přednáška nudná? Hoďte korunou a pětikorunou a zapamatujte si, výsledek hodu („rub“/ „líc“). • Pokud Vám na koruně padl „líc“, napište odpověď na anketní otázku (ANO/NE). • Pokud Vám na koruně padl „rub“, napište, zda Vám na pětikoruně padl „líc“ (ANO/NE). Kolik procent posluchačů si myslí, že přednáška bude nudná? (výsledky ankety se dozvíte na konci přednášky)

2. Pravděpodobnost je…Martina LitschmannováŠKOMAM 2014

3. Počátky teorie pravděpodobnosti – 17. století Jak rozdělit spravedlivě bank mezi hráče, byla-li série hazardních her ukončena předčasně? Blaise Pascal (1623 – 1662) zdroj: http://cs.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal Pierre de Fermat (1601 – 1665) zdroj: kids.britannica.com

4. Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus – děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně za určitých, stejně nastavených, počátečních podmínek. X Deterministické pokusy Náhodné pokusy Pro určité počáteční podmínky existuje množina možných výsledků, přičemž jeden z nich nastane. Za určitých počátečních podmínek se dostaví vždy stejný výsledek.

5. Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou

6. Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Stanovení množství cholesterolu v krvi

7. Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Měření počtu požadavků za určité období

8. Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Padne šestka.

9. Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Padne sudé číslo.

10. Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Stanovení množství cholesterolu v krvi Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Zjištěná hodnota cholesterolu bude odpovídat normě. Pro laika v oboru nutno specifikovat!!!

11. Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Měření počtu požadavků za určité období Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Během jedné hodiny bude vytvořeno více než 300 funkčních požadavků.

12. Základní pojmy • Náhodný pokus– konečný děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá • Náhodný jev– tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o jehož pravdivosti můžeme po ukončení pokusu rozhodnout (značíme A, B, X, Y, …) • Elementární jev ω– jednotlivý výsledek náhodného pokusu (nelze jej vyjádřit jako sjednocení dvou různých jevů) • Základní prostor Ω– množina všech elementárních jevů • Náhodný jev (jinak) – libovolná podmnožina základního prostoru

13. Typy jevů Padne „7“. Padne „6“. Padne méně než „7“. Jev nemožný Jev náhodný Jev jistý 

14. Vybrané vztahy mezi jevy sjednocení jevů AaB doplněk jevu A průnik jevů AaB jevy disjunktní úplná množina vzájemně disjunktních jevů

15. Co je to pravděpodobnost? Číselné vyjádření šance, že při náhodném pokusu daný jev nastane. Jak pravděpodobnost definovat?

16. Klasická definice pravděpodobnosti(Pierre Simon de Laplace, 1812) Založena na předpokladu, že náhodný pokus může mít nrůzných, avšak rovnocenných výsledků. Nechť je množina nrovnocených elementárních jevů. Pravděpodobnost jevu A, jenž je složen z m těchto elementárních jevů je: Mějme „férovou“ hrací kostku. Jaká je pravděpodobnost, že padne „6“? Označme: A … padne „6“, pak

17. Statistická definice pravděpodobnosti(Richard vonMises, počátek 20. století) Počet realizací pokusu příznivých jevu A Počet všech realizací pokusu Jaká je pravděpodobnost padnutí „6“ na hrací kostce, nevíme-li, zda je tato kostka „férová“?

18. Statistická definice pravděpodobnosti Relativní četnost jevu "padne 6"

19. Geometrická pravděpodobnost Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledků náhodného pokusu je nespočetný. V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je: Jaká je pravděpodobnost, že meteorit dopadl na pevninu?

20. Kolmogorovův axiomatický systém(Andrej Nikolajevič Kolmogorov, 1933) • Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. • Pravděpodobnost každého jevu A je reálné číslo mezi 0 a 1 (včetně). • Pravděpodobnost, že nějaký jev nastane (pravděpodobnost jevu jistého) je rovna 1. • Pravděpodobnost, že nastane některý z navzájem se vylučujících jevů, je rovna součtu jejich pravděpodobností. A to pro každých spočetně mnoho jevů.

21. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

22. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

23. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

24. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

25. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

26. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

27. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

28. Podmíněná pravděpodobnost tj. pravděpodobnost jevu, za předpokladu, že nastal určitý jiný jev. , P(A|B) čti „pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B“

29. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

30. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

31. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

32. Podmíněná pravděpodobnost tj. pravděpodobnost jevu, za předpokladu, že nastal určitý jiný jev. , Jestliže výskyt jevu A nezávisí na výskytu jevu B a zároveň výskyt jevu B nezávisí na výskytu jevu A, pak říkáme, že jevyAaB jsou nezávislé. Pak platí: . P(A|B) čti „pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B“

33. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

34. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

35. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

36. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich.

37. Vybrané vlastnosti pravděpodobnosti Nechť množina obsahuje n elementárních jevů, nechť Pje pravděpodobnost na této množině, AaBjevy. Potom platí : • A, B … disjunktní jevy • A, B … nezávisléjevy

38. Pan OndraHypochtakdlouhoobtěžoval lékaře, ažmu lékař napsalprášky.V příbalovém letáku se Ondra dočetl, že mají dva možné nežádoucí účinky:a) vypadání zubů (15%),b) upadnutí palců na rukou (20%).Zároveň je v letáku napsáno, že nebyla prokázána závislost mezi výskytem jednotlivých typů nežádoucích účinků. S jakou pravděpodobností se bude moci Ondra po ukončení léčby kousnout do palce? (dle: Luboš Pick; přednáška „Dirichletovyšuplíčky“ na semináři OSMA)

39. Věta o úplné pravděpodobnosti

40. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 70% 30%

41. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 70% 30% 80% 20%

42. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 10% 90% 70% 30% 80% 20%

43. Pravoúhlý Vennův diagram 10% 90% 70% 30% 80% 20%

44. 0,07 0,63 0,24 0,06

45. DV DV CH D KV KV Délka vlasů Pohlaví Studenti Rozhodovací strom

46. DV DV CH D KV KV Délka vlasů Pohlaví Studenti

47. Bayesův teorém Thomas Bayes (1702 – 1761) zdroj: http://cs.wikipedia.org/wiki/Thomas_Bayes

48. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. A) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 70 % Apriorní pravděpodobnost

49. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? Aposteriorní pravděpodobnost

50. DV DV CH D KV KV Výsledek testu Daný stav Studenti