单一群体模型

1. 单一群体模型

2. 设 p(t) 表示一种给定物种在时刻 t 的总数，r(t,p) 表示该物种出生率和死亡率之差。如果这个群体是孤立的．即不出现净迁出或迁入．那么总数的变化率dp/dt就等于rp．在大多数简化了的模型中，假定r是常数，即它不随时间或总数而变。于是 这个线性方程被称作群体增长的马尔萨斯律。 如果所给物种在t0时刻的总数p0，则p(t)满足初值问题 这个初值问题的解是

3. 1961年地球上的人口总数为3.06×109而在以后的t 年中。人口总数以每年2%的速度增长。这样 用过去的人口总数可以检验这个公式的结果。 1700──1961年间的人口总数每35年就翻了一番，而方程预测每34.6年地球的人口总数将翻一番。 预测25l0年： 2,000,000亿； 9.3ft2/人； 2635年：18,000,000亿； 1ft2/人； 2670年：36,000,000亿；踩着肩膀站成两层。 地球表面积约为18,600,000亿ft2（其中80%被水覆盖）

4. 只要群体规模不很大，群体增长的线性模型就是令人满意的。不过，当群体异常地庞大时，这些模型就不会很准确了，因为它们不能反映这样的事实，即个体成员相互间要为有限的生存空间、自然资源以及可以得到的食物而进行竞争。这样，我们必须给我们的线性微分方程加上一个竞争项。因为每单位时间两个成员发生冲突的次数的统计平均与p2成比例，这样、这个竞争项的一个合适的选择就是 -bp2，其中b是一个 常数。因此，我们考虑改进的方程 这个方程被称作群体增长的逻辑律，数字a、b称为群体的生命系数。这个方程是由荷兰数学生物学家Verhulst在1837年第一个引进的。一般地，常数b与a相比将是非常微小酌，所以如果p不是很大，那么-bp2这一项与ap相比将是微不足道的，群体将指数地增长。然而，当p很大时，-bp2这一项就不能忽略了，它将减慢群体迅速的增长率。一个国家的工业化程度越高，它的生活空间就越大，食物就越丰富，系数b就越小。

6. 数学生物学家G．F．Gause对属于原生动物门的草履虫做了一个实验．证实了这些预测。把五只草履虫个体放入一个很小的试管中，管内盛有0.5cm3的培养基，每天计算一下个体的数量．共持续六天。结果发现，当数量不大时．这种草届虫以每天230.9%的速度增长。最初个体的数量迅速地增加，后来就比较慢了，到了第四天使达到375的最高水平，虫体占满了试管。从这个数据我们得出结论，如果草履虫依照逻辑律dp/dt＝ap-bp2增长，那么a＝2.309，b＝2.309/375；因此，逻辑律预测数学生物学家G．F．Gause对属于原生动物门的草履虫做了一个实验．证实了这些预测。把五只草履虫个体放入一个很小的试管中，管内盛有0.5cm3的培养基，每天计算一下个体的数量．共持续六天。结果发现，当数量不大时．这种草届虫以每天230.9%的速度增长。最初个体的数量迅速地增加，后来就比较慢了，到了第四天使达到375的最高水平，虫体占满了试管。从这个数据我们得出结论，如果草履虫依照逻辑律dp/dt＝ap-bp2增长，那么a＝2.309，b＝2.309/375；因此，逻辑律预测

7. 啮齿动物的增长 月数 0 2 6 l0 观察到的P 2 5 20 109 计算出的P 2 4.5 22 109.1

8. 某些生态学家已经估算出a的正常值是0.029．我们还知道，当人口总数为(3.06)×109时，人类人口以每年2%的速率增长。因为(1/p)/(dp/dt)＝a-bp，我们看到某些生态学家已经估算出a的正常值是0.029．我们还知道，当人口总数为(3.06)×109时，人类人口以每年2%的速率增长。因为(1/p)/(dp/dt)＝a-bp，我们看到 0.02＝a-b(3．06)×109 因此，b＝2．941×10-12．这样，根据群体增长的逻辑律．地球上的人类人口将趋于极限值 作为对群体增长的逻辑律的另一种验证，考虑方程 它是由Pearl和Reed作为美国人口模型提出的。这个模型是由下面的方式推导出的。首先，利用1790年、1850年和1910年的人口普查数据，Pearl和Reed求出a＝0.03134以及b＝ (1.5887)×10-10然后简化，他们其出人口到1931年4月达到它的极限人口a/b＝197273000的一半．

9. 1790—1950年美国人口 年 实际数 预测数 误差 百分比 1790 3929000 3929000 0 0 1800 5308000 5336000 28000 0.5 1810 7240000 7228000 -12000 -0.2 1820 9638000 9757000 119000 1.2 1830 12866000 13109000 243000 1.9 1840 17069000 17506000 437000 2.5 1850 23192000 23192000 0 0 1860 31443000 30412000 -1031000 -3.3 1870 38558000 39372000 814000 2.1 1880 50156000 50177000 21000 0.0 1890 62948000 62769000 -179000 -0.3 1900 75995000 76870000 875000 1.2 1910 91972000 91972000 0 0 1920 105711000 107559000 1848000 1.7 1930 122775000 123124000 349000 0.3 1940 131669000 136653000 4984000 3.8 1950 150697000 149053000 -1844000 -1.1

10. 1、证明对于 是正的。 2、选择三个时间 ， 且 证明根据 可以唯一确定 3、1879年1881年人们在新泽西用拖网捕获了大量周岁左右的欧洲鲈鱼。把它们装进水箱里用火车运送，穿过大陆，放入旧金山海湾养殖。经过这两次艰苦的旅行，活下的有条纹欧洲鲈鱼总共只剩下435尾。然而，到1899年，仅商业净捕获量就有1234000 (lb)因为这种群体的增长这么快。有理由假设它服从马尔萨斯律；外假设一条欧洲鲈鱼的平均质量是3(lb)，并且1899年捕获整整十分之一的欧洲鲈鱼。求出a的一个下界。 4、一群体按逻辑律增长，极限总数是5x108。个个体。当群体总数较少时，每40min翻一番。在下列每一种初值情况下，2h 后群体总数将是多少。a)108 b)109

11. 5、在阿拉斯加海湾附近生活着一种大马哈鱼，它们服从马尔萨斯的群体增长律dp/dt＝0.003p(t)．其小t以分钟度量。在t＝0时一群鲨鱼来到达些海域栖身并开始捕捉这里的大马哈鱼。鲨鱼吞食大马哈鱼的速度是0.001p2(t)，其中p(t)为t时刻大马哈鱼的总数，而且，由于不受欢迎的成员进入到它们的领域，每分钟有0.002条大马哈鱼离开阿拉斯加海域。5、在阿拉斯加海湾附近生活着一种大马哈鱼，它们服从马尔萨斯的群体增长律dp/dt＝0.003p(t)．其小t以分钟度量。在t＝0时一群鲨鱼来到达些海域栖身并开始捕捉这里的大马哈鱼。鲨鱼吞食大马哈鱼的速度是0.001p2(t)，其中p(t)为t时刻大马哈鱼的总数，而且，由于不受欢迎的成员进入到它们的领域，每分钟有0.002条大马哈鱼离开阿拉斯加海域。 a) 修改马尔严斯的群体增长律使之将这两个因素包含进去。 b) 设t=0时有一百万条大马哈鱼。观察群体总数在t →∞时会发生什么情况?

12. 6、如果不考虑大量移民以及高杀人率，纽约城的人口将满足逻辑律（其中t以年度量） 6、如果不考虑大量移民以及高杀人率，纽约城的人口将满足逻辑律（其中t以年度量） a) 修改这个方程，使之包含：每年有6000人从该城市迁出，有4000人被杀这些因素。 b) 假设1970年纽约城的人口为8,000,000，求出在未来任意时刻的人口。 t →∞时会发生什么情况？

13. 7、假设一群体对流行病很敏感。我们可以用下面的方式建立它的模型。设该群体最初受逻辑律7、假设一群体对流行病很敏感。我们可以用下面的方式建立它的模型。设该群体最初受逻辑律 控制，并且一旦p达到某个小于极限总数a/b的特定值Q，流行病便开始传播。在此阶段中生命系数A<a，B<b，且(1)被

14. 所代替。假设Q＞A/B。于是群体开始减少。当群体减少到某一值q＞A/B时，就达到一个特定时刻。在这个时刻流行病停止传播。群体又开始遵循(1)而增长。直到新的流行病发生。这样在q与Q之间发生周期性波动。现在我们要指出如何计算这些波动的周期。所代替。假设Q＞A/B。于是群体开始减少。当群体减少到某一值q＞A/B时，就达到一个特定时刻。在这个时刻流行病停止传播。群体又开始遵循(1)而增长。直到新的流行病发生。这样在q与Q之间发生周期性波动。现在我们要指出如何计算这些波动的周期。 a) 证明当p从q增加到Q时，周期的第一部分T1为 b) 证明当p从Q减倒到q时，周期的第二部分T2为

15. 8、据观察．每当老鼠过多时在鼠群中就会出现瘟疫。而且，密度的局部增加将会引起捕食者蜂拥而来。由于这两个因素。在两到三个星期内，一个小啮齿动物群体的97%到98%就会被吞食掉。尔后，它的密度降到疾病不能传播的水平。待减少到最高值的2%时。鼠群便从被大量捕食的困境中解脱出来。食物丰富了。于是，鼠群又开始增长，直到达到另—次疾病传播和捕食者高峰的水平。老鼠的繁殖速度如此之快。因此，我们可以在练习7的(1)中置b=0。恰恰相反．在周期的第二部分，A与B相比却非常小，故在(2)中可忽略A。8、据观察．每当老鼠过多时在鼠群中就会出现瘟疫。而且，密度的局部增加将会引起捕食者蜂拥而来。由于这两个因素。在两到三个星期内，一个小啮齿动物群体的97%到98%就会被吞食掉。尔后，它的密度降到疾病不能传播的水平。待减少到最高值的2%时。鼠群便从被大量捕食的困境中解脱出来。食物丰富了。于是，鼠群又开始增长，直到达到另—次疾病传播和捕食者高峰的水平。老鼠的繁殖速度如此之快。因此，我们可以在练习7的(1)中置b=0。恰恰相反．在周期的第二部分，A与B相比却非常小，故在(2)中可忽略A。 a) 在这些假设下．证明 b) 设T1近似地为4y．Q/q近似地为50．证明a近似地为1，顺便说一下，a 的这个值非常符合老鼠在自然环境中的繁殖率。