有効座席 ( 出席と認められる座席 )

1. 有効座席(出席と認められる座席) 左 列 中列 右列

2. 第2章　空間運動　演習 進むには 0 キー Enter 又は、マウス左クリック 1 戻るには 又は キー 2 を押す Back space 3 ページに跳ぶには をクリック 4 各ページからここに戻るには 5 各ページ右下　　　をクリック　　　　　　 目 終了には キー 各章のファイルは 又は スライド Esc マウス右メニューで終了を選ぶ フォルダから開いてください。

3. 座標 r = (x, y, z) - g - g 「第2章 空間運動」 要点 速度 加速度 (v0x , v0y) 等加速度運動 初速度 初期座標(x0, y0) a0 加速度 ax= ay= 0 (a0は定数) 地表付近の 放物運動では v0x 速度 vx= a0t + v0y vy= v0xt+x0 座標 x = y = - g a0= v0y v0 y 最高点の条件 vy =0 y0 v0x a 落下点の条件 y=0 目 x0 x 0

4. ２章　演習１　最高点、落下点 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　地上 10 mの高さから砲丸を速さ20m/sで仰角30°の方向に打ち出す。最高点と最高点までの水平距離を求めよ。また、何秒後に水平距離何メートル前方に落下するか。空気抵抗は無視する。 最高点 y v0 解　投射点直下の地上の点を原点、 鉛直上方にy軸、初速度の水平方向に x軸をとり、時間t、速度(vx , vy)とする。　 θ x y0 0 30° 初速度の大きさ v0= 仰角θ= 20m/s 落下点 即ち、初速度(v0x , v0y) =(,) v0y v0 sinθ v0 cosθ v0 (数値) (v0 ,θで) =(,)m/s θ v0x 鉛直下方に 重力加速度g= 0 10m 初期座標(x0, y0)=(, )、 9.8m/s2 0 加速度 (ax, ay)=(, )の　　　　　　　　運動。 –g 等加速度 目 1

5. ２章　演習１　最高点、落下点 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　地上 10 mの高さから砲丸を速さ20m/sで仰角30°の方向に打ち出す。最高点と最高点までの水平距離を求めよ。また、何秒後に水平距離何メートル前方に落下するか。空気抵抗は無視する。 最高点 y v0 解　投射点直下の地上の点を原点、 鉛直上方にy軸、初速度の水平方向に x軸をとり、時間t、速度(vx , vy)とする。　 θ x y0 0 加速度は鉛直だから 30° 初速度の大きさ v0= 仰角θ= 20m/s 落下点 速度水平成分は不変 即ち、初速度(v0x , v0y) =(,) v0y v0 sinθ v0 cosθ v0 vxは初速度と同じ (数値) (v0 ,θで) =(,)m/s θ v0x 鉛直下方に 重力加速度g= 0 10m 初期座標(x0, y0)=(, )、 9.8m/s2 0 加速度 (ax, ay)=(, )の　　　　　　　　運動。 –g 等加速度 vy= 0 落下時の速度鉛直成分の記述なし 最高点時刻の記述なし y= 0 (x , y )=(,) 未知 未知 最高点t = (vx , vy)=(,), 未知 v0x 0 目 落下点t = (vx , vy)=(,), 未知 v0x 未知 (x , y )=(,) 未知 0 1

6. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　地上 10 mの高さから砲丸を速さ20m/sで仰角30°の方向に打ち出す。最高点と最高点までの水平距離を求めよ。また、何秒後に水平距離何メートル前方に落下するか。空気抵抗は無視する。 ２章　演習１　最高点、落下点 vy= 0 最高点 y v0 解　投射点直下の地上の点を原点、 鉛直上方にy軸、初速度の水平方向に x軸をとり、時間t、速度(vx , vy)とする。　 θ x y0 0 30° 初速度の大きさ v0= 仰角θ= 20m/s y= 0 落下点 即ち、初速度(v0x , v0y) =(,) v0y v0 sinθ v0 cosθ v0 (数値) (v0 ,θで) =(,)m/s θ v0x 鉛直下方に 重力加速度g= 0 10m 初期座標(x0, y0)=(, )、 、 (x0, y0)=(0, 10m)、 g=9.8m/s2 (v0x , v0y) =( , )m/s =( , )m/s =( , )m/s 9.8m/s2 (x , y )=(,) (x , y )=(,) 未知 未知 未知 未知 (vx , vy)=(,), (vx , vy)=(,), 未知, 未知, v0x v0x 最高点 t = 最高点 t = 0 0 0 加速度 (ax, ay)=(, )の　　　　　　　　運動。 –g 等加速度 、 (x0, y0)=(0, 10m)、 g=9.8m/s2 (v0x , v0y) (x , y )=(,) 未知 未知 最高点t = (vx , vy)=(,), 未知 v0x 0 (x , y )=(,) (vx , vy)=(,), 0 未知 v0x 未知 落下点　t = 未知, 未知 落下点t = (vx , vy)=(,), 未知 v0x 未知 (x , y )=(,) 0 、 (x0, y0)=(0, 10m)、 g=9.8m/s2 (v0x , v0y)

7. y y0 0 x v0y2 ― g 2 v0y ― g v0y ― g v0y2 ― g v0y2 ― g 、 (x0, y0)=(0, 10m)、 g=9.8m/s2 (v0x , v0y) =( , )m/s (x , y )=(,) 未知 未知 (vx , vy)=(,), 未知, v0x 最高点 t = 0 (a)最高点の時刻 最高点 方針 公式より vy= 0 =- gt + v0y 0 (数値代入) (計算) (有効数字2桁) (解く) / ・・・・・ g ( 10m/s) / 1.02s v0y (9.8m/s2) g ∴t = g t = 答 1.0s = = (b)最高点の高さ 未知数 tは 既知になった は(a)の時刻 t のy の値　 (計算) (数値代入) 公式 (式代入) 15m =・・・・・ = y= = 答 １未知数の式から解く は(a)の時刻のx の値。 (c)投射点から最高点までの水平距離 公式 目 未知 2 x = v0xt +x0 =・・・・

8. y y0 (a)最高点の時刻 最高点 公式より vy= 0 0 =- gt + v0y 0 x (数値代入) (計算) (有効数字2桁) (解く) / ( 10m/s) / 1.02s v0y (9.8m/s2) g t = 答 1.0s = = は(a)の時刻 tのy の値　 (b)最高点の高さ (計算) (数値代入) 公式 (式代入) v0y ― g 15m = y= = 答 、 (x0, y0)=(0, 10m)、 g=9.8m/s2 (v0x , v0y) =( , )m/s は(a)の時刻のx の値。 (c)投射点から最高点までの水平距離 (x , y )=(,) 未知 未知 (vx , vy)=(,), 未知, v0x 最高点 t = 0 公式 x = v0xt +x0 (式代入) (数値代入) 目 (計算) (2桁) 2 = 18m = 17.7m = 答

9. 、 =( , )m/s =( , )m/s (x , y )=(,) 未知 未知 (vx , vy)=(,), 未知, v0x 最高点 t = 0 、 (x0, y0)=(0, 10m)、 g=9.8m/s2 (v0x , v0y) (x , y )=(,) (vx , vy)=(,), 0 未知 v0x 未知 落下点　t = 未知, (x0, y0)=(0, 10m)、 g=9.8m/s2 (v0x , v0y) y y0 (a)最高点の時刻 最高点 公式より vy= 0 0 =- gt + v0y 0 x (数値代入) (計算) (有効数字2桁) (解く) / ( 10m/s) / 1.02s v0y (9.8m/s2) g t = 答 1.0s = = は(a)の時刻 tのy の値　 (b)最高点の高さ (計算) (数値代入) 公式 (式代入) 15m = y= = 答 は(a)の時刻のx の値。 (c)投射点から最高点までの水平距離 (式代入) (数値代入) 公式 (計算) x = v0xt +x0 = 18m = 17.7m = 答

10. y 落下点 y= 0 y0 x 0 =( , )m/s 、 (x0, y0)=(0, 10m)、 g=9.8m/s2 (v0x , v0y) (x , y )=(,) (vx , vy)=(,), 0 未知 v0x 未知 落下点　t = 未知, (d)落下点に達する時間 方針 公式より ∴t = ・・・・・ １未知数の式から解く は(d)の時刻のx の値。 (e)投射点から落下点までの水平距離 公式 目 x = v0xt + x0 =・・・ 3 未知

11. 2次方程式の解 (d)落下点に達する時間 y 落下点 公式より +2gy0 y= 0 y0 (-g/2) = x y0 0 = -g/2 = v0y ∴t = =( , )m/s １未知数の式から解く は(d)の時刻のx の値。 (e)投射点から落下点までの水平距離 v0y v0y 公式 x = 、 v0xt + x0 (x0, y0)=(0, 10m)、 g=9.8m/s2 (v0x , v0y) =・・・ (x , y )=(,) (vx , vy)=(,), 0 未知 v0x 未知 落下点　t = 未知, 未知 (2次方程式の解) ∴t = 目 3

12. (d)落下点に達する時間 y 落下点 公式より y= 0 y0 x 0 √ 296 = 17.2 (2次方程式の解) ∴t = =( , )m/s は(d)の時刻のx の値。 (e)投射点から落下点までの水平距離 公式 x = 、 v0xt + x0 (x0, y0)=(0, 10m)、 g=9.8m/s2 (v0x , v0y) =・・・ (x , y )=(,) (vx , vy)=(,), 0 未知 v0x 未知 落下点　t = 未知, 未知 (数値代入) = ∴t = = (有効数字2桁) (計算) – 0.735s 2.8s 負の値は題意に適さないので 答 2.78s = , 目 3

13. y 落下点 y= 0 y0 x 0 √ 296 = 17.2 =( , )m/s 、 (x0, y0)=(0, 10m)、 g=9.8m/s2 (v0x , v0y) (x , y )=(,) (vx , vy)=(,), 0 未知 v0x 未知 落下点　t = 未知, (d)落下点に達する時間 公式より (2次方程式の解) (数値代入) = ∴t = = (有効数字2桁) (計算) – 0.735s 2.8s 負の値は題意に適さないので 答 2.78s = , は(d)の時刻のx の値。 (e)投射点から落下点までの水平距離 (計算) 公式 (t代入、数値代入) 目 x = () + 2.78s 48.2m v0xt + x0 = 0 = =・・・ 3 (有効数字2桁) 48m 答

14. 地上 0 mの高さから砲丸を速さ14m/sで打ち出す。前方10mの地点に落下させるにはいくらの仰角で打ち出したらよいか。発射何秒後に落下するか。空気抵抗は無視する。 ２章　演習２　指定点落下のための投射角 落下時の速度鉛直成分の記述なし 解　投射点直下の地上の点を原点、 鉛直上方にy軸、初速度の水平方向に x軸をとり、時間t、速度(vx , vy)とする。　 v0 y θ x 0 y= 0 落下点 0m 0m 初期座標(x0, y0)=(, )、 v0y v0 初速度の大きさ v0 = 未知 14m/s 仰角θ= θ 即ち、初速度(v0x , v0y) =(,) v0 sinθ v0 cosθ v0x (v0 ,θで) 9.8m/s2 鉛直下方に重力加速度g= 目 等加速度 0 –g 加速度 (ax, ay)=(, )の　　　　　　　 運動。 4 落下点t = (vx , vy)=(,), 未知 10m v0x 未知 (x , y )=(,) 0

15. (v0x , v0y) =(v0cosq, v0sinq), v0=14m/s,q 未知, (x0, y0)=(0, 0) v0 y θ 0 x 落下点 t =未知, (vx, vy)=(v0x,未知), (x , y )=(10m, 0 ) g= 9.8m/s2, 落下点 y= 0 v0 y θ x 0 y= 0 落下点 0m 0m 初期座標(x0, y0)=(, )、 v0y v0 初速度の大きさ v0 = 未知 14m/s 仰角θ= θ 即ち、初速度(v0x , v0y) =(,) v0 sinθ v0 cosθ v0x 9.8m/s2 鉛直下方に重力加速度g= 目 等加速度 0 –g 加速度 (ax, ay)=(, )の　　　　　　　 運動。 4 落下点t = (vx , vy)=(,), 未知 10m v0x 未知 (x , y )=(,) 0

16. (v0x , v0y) =(v0cosq, v0sinq), v0=14m/s,q 未知, (x0, y0)=(0, 0) v0 y θ 0 x 落下点 t =未知, (vx, vy)=(v0x,未知), (x , y )=(10m, 0 ) g= 9.8m/s2, 落下点 y= 0 未知 v0sinq 0 0 v0sinq v0cosq 目 5

17. (v0x , v0y) =(v0cosq, v0sinq), v0=14m/s,q 未知, (x0, y0)=(0, 0) v0 y θ 0 x 落下点 t =未知, (vx, vy)=(v0x,未知), (x , y )=(10m, 0 ) g= 9.8m/s2, 落下点 1未知数の式　ない　　 y= 0 x,yの公式から t を消去　　 未知 v0sinq = 移項 0 (解く) = t v0sinq v0cosq (下式に代入してt 消去) この2式から t を消去 2 x = v0xt = = = sin2q • (2倍角の公式) 目 5

18. (v0x , v0y) =(v0cosq, v0sinq), v0=14m/s,q 未知, (x0, y0)=(0, 0) v0 y θ 0 x 落下点 t =未知, (vx, vy)=(v0x,未知), (x , y )=(10m, 0 ) g= 9.8m/s2, 落下点 1未知数の式　ない　　 y= 0 x,yの公式から t を消去　　 未知 v0sinq 0 (解く) = t v0sinq v0cosq (下式に代入してt 消去) 2 x = v0xt = = (解く) 10m 9.8m/s2 目 答 5 14m/s 9.8m/s2 t = 答

19. 第2章　空間運動　演習　終り　 前で1章演習レポートを提出し、 3章講義課題 返却物 再チャレンジの説明 を受け取ってください。