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GRAPH THEORY 圖 論

GRAPH THEORY 圖 論. 第二組 晏彩霞 陳弘益 王文斕. Contents. 圖論的起源 + 圖的基本概念 一些特殊的圖 在電腦上表示圖的方法 一些圖論的應用. 什麼是圖？. 圖論中所謂的圖是由一些 點 (vertices) ，和一些連接兩點的 邊 (edges) 所形成的. 圖論的起源. 哥尼斯堡七橋問題 : 要如何走過每座橋恰一次，再返回出發點？. 普瑞格爾河. 一筆畫問題. 哥尼斯堡七橋問題可以看成是：對這樣一個封閉的圖形，是否可以一筆畫完成它並且回到原點.

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GRAPH THEORY 圖 論

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Presentation Transcript

  1. GRAPH THEORY 圖論 第二組 晏彩霞 陳弘益 王文斕

  2. Contents • 圖論的起源+圖的基本概念 • 一些特殊的圖 • 在電腦上表示圖的方法 • 一些圖論的應用

  3. 什麼是圖？ • 圖論中所謂的圖是由一些點(vertices)，和一些連接兩點的邊(edges)所形成的

  4. 圖論的起源 • 哥尼斯堡七橋問題: 要如何走過每座橋恰一次，再返回出發點？ 普瑞格爾河

  5. 一筆畫問題 • 哥尼斯堡七橋問題可以看成是：對這樣一個封閉的圖形，是否可以一筆畫完成它並且回到原點 數學家歐拉(Euler, 1707-1783) 於1736年嚴格地證明了上述哥尼斯堡七橋問題無解，並且由此開創了圖論的典型思維方式及論證方式

  6. 圖的基本概念

  7. 圖的定義 • 我們用 G=(V,E) 來表示一個圖，其中 • V為圖的點所形成的集合 • E為圖的邊所形成的集合 • 相鄰(adjacent):由一邊所連接的兩個點稱相鄰 • 獨立(independent):兩點沒有邊相連 V={a, b, c} E={e1, e2} ={ac, ab} a is adjacent to b and c b and c are independent

  8. 一些基本的圖形 Graph (無向圖) Digraph (有向圖) loop Multigraph (多圖) Pseudograph loop

  9. Path and Cycle • 路徑(path):是一個有限非空的點和邊的交錯序列，其中的點兩兩不相同 • 迴圈(cycle):起點和終點相同的路徑 E.g. 路徑P=fdabce 迴圈C=abca

  10. 連通性 connectivity • 對於圖中的任意兩點x,y 皆存在(x,y) 路徑 這是一個由兩個連通子圖所構成的非連通圖

  11. 加權圖 weighted graph • 加權圖(weighted graph):對每一個邊賦以一個實數的權值

  12. 分集合 Partite sets • A graph G is m-partite if it can be partitioned into m partite sets such that each edge of G joins two vertices in different partite sets This graph can be partitioned into 3 partite sets V1={A,B} V2={C} V3={D} 每一個邊所連到的點都在不同的分集合!

  13. Isomorphism • G is isomorphic to H (G~H) if: • G上的每一點在H上都只有一個對應的點，使得在G上相鄰的兩個點在H上面也是相鄰的 The three graphs above are isomorphic 這三個圖表示相同的概念

  14. 生活中的一些例子

  15. 台大網路架構圖

  16. 一些特殊的圖

  17. 完整的圖 Complete graphs • 任意兩點之間都有一個邊與其相連的圖稱為完整的圖，以Kn來表示，n為點數，邊數為

  18. 樹狀圖 Trees • 樹(tree):一個連通的無圈無向圖 • 若有n個點，則有n-1條邊 • 任兩點間僅有一條路徑 • 生成樹 (spanning tree):包括圖中所有的頂點，並且是一顆樹 tree A connected graph G Spanning trees of G

  19. 雙分圖 Bipartite graphs • A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite • It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and vice-versa The graph is bipartite Complete bipartite graph K2,3

  20. 平面圖 Planar graphs • A planar graph is a graph that can be embedded in a plane so that no edges intersect Planar: = NOT Planar:

  21. 在電腦上表示圖的方法 • Incident list • Incident matrix • Adjacency list • Adjacency matrix

  22. Adjacency list and adjacency matrix A:B B:A,C,D C:B,D D:B,C adjacency list adjacency matrix

  23. 圖論的應用及演算法

  24. 連通性問題(Connectivity) • Question : 判斷一個圖形是否具有連通性 • Main Algorithms: • 深度搜尋法(Depth-first search) • 廣度搜尋法(Breadth-first search)

  25. 深度搜尋法(Depth-first search) • Example: a graph with 10 vertices (1) (2) (8) (3) (9) (10) 完成! (5) (4) (7) (6)

  26. 廣度搜尋法(Breadth-first search) Check A B D E C H J F G I Queue A BDE DEC EC C HJFG JFGI FGI GI I (0) (1) (3) (2) (4) (1) (1) (3) (3) (3) 完成!

  27. 日常生活中的例子： • 深度搜尋法(Depth-first search)

  28. 一筆畫問題 (Euler Tour) • Question : 判斷圖形可否一筆畫完，亦即筆尖不離開 紙面，而且每條線都只畫一次而不重複. • 已知一圖形,我們能否將它所有的邊排成一連續路徑(稱為Euler Tour) • 一筆畫定理：一個圖形是一筆畫的 iff 它是連通且奇頂點(odd vertex)的個數等於0 或2

  29. 一筆畫問題 (Euler Tour) • 哥尼斯堡(Konigsberg)七橋問題

  30. 一筆畫問題 (Euler Tour) • 中國郵路問題 可以一筆畫 不能一筆畫

  31. 更複雜的一筆畫問題 • 哈密頓（Hamilton）環遊世界問題 • 如何一次歷遍二十個城市而不重覆？ 這是一個NP Complete的問題

  32. References • Graph Theory, Ronald Gould • 圖論演算法, 黃國卿 • 沿著歐拉的足跡──圖論初探 • http://www.all-science-fair-projects.com/science_fair_projects_encyclopedia/

  33. 報告完畢！

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