Par Denis BERDJAG Encadrement Pr. Vincent COCQUEMPOT Dr. Cyrille CHRISTOPHE

1. Soutenance de thèse Méthodes algébriques pour la décomposition de modèles comportementaux : Application à la détection et à la localisation de défaillances Par Denis BERDJAG Encadrement Pr. Vincent COCQUEMPOT Dr. Cyrille CHRISTOPHE équipe SFSD–LAGIS

2. Contexte de la thèse Constat : • Techniques de surveillance à base de modèles: • 2 communautés (SEC, SED). • Modèles et outils différents • Des outils mathématiques (algébriques) permettent une abstraction élevée • Algèbre des paires : Hartmanis & Stearns (1966) • Algèbre des fonctions : Zhirabok & Shumsky (1987  )

3. Contexte de la thèse Objectif : • Comprendre et rendre accessibles les outils algébriques • Approfondir l’utilisation de ces outils. • Grâce au niveau élevé d’abstraction : • Étendre des concepts des SEC vers les SED. • Proposer une méthodologie de surveillance indépendante du type de modèle.

5. Notions de surveillance à base de modèle Défauts Perturbations Processus Entrée commande Sorties capteurs Défaut ? OUI ou NON Synthèse Modélisation Commande Indicateur de défauts Module de décision Module détecteur de défauts Modèle mathématique du processus Sorties

6. Types de représentations Modèle mathématique du processus Représentation temporelle Représentation événementielle • Système d’équations différentielles • Système d’équations aux différences • Machines séquentielles • Réseaux de Petri 1 4 2 3

7. Quelques techniques de surveillance à base de modèle Modèle temporel • Filtres & observateurs • Beard • Frank • Massoumnia • Isidori & al • Espace de parité • Willsky • Staroswiecki • Leuschen • Estimation de paramètres • Isermann • Fliess & al Modèle événementiel • Diagnostiqueur • Sampath & al • Ushio • Zad • Larsson • Redondance • Hadjicostis • Contraintes temporelles • Bouyer • Ghazel Problématique commune mais… Méthodes / Outils différents

8. Défaut Perturbations Principe de la surveillance (SEC) Processus • L’Indicateur doit être: • Nul en fonctionnement idéal • Robuste aux perturbations • Sensible aux défauts Sorties capteurs Commande Module détecteur de défauts Indicateur

9. Décomposition pour la détection Entrées Inconnues 1 2 Estimation des sorties Commandes 3 4 Synthèse Synthèse Synthèse Synthèse Synthèse Indicateur 1 Module détecteur Commandes MD1 MD2 MD3 MD4 Indicateur Indicateur 2 Sorties Indicateur 3 Indicateur 4

10. Structure du module détecteur Synthèse Commandes Bloc d’élimination des conditions initiales Sorties Injection de sorties Bloc de comparaison Indicateur Sortie mesurable MD1

11. Formulation du problème de décomposition Modèle mathématique Sous-modèle mathématique 2 Sous-modèle mathématique 4 Sous-modèle mathématique 1 Sous-modèle mathématique 3 Quel critère pour la décomposition ?

12. Critère de décomposition Critère structurel Critère de couplage Par rapport à une entrée commande Sous-modèle découplé Sous-modèle couplé + + Dynamique découplée Dynamique couplée

13. Représentation mathématique du modèle Modèle Comportemental Modèle temporel Modèle événementiel Ensembles Fonctions

14. Représentation du sous-modèle • Modèle complet • Sous-modèle Conditions d’existence d’un sous-modèle Les ensembles X ’,W ’,Y ‘ sont obtenus à partir de X,W,Y Les fonctions F’,H’ sont des restrictions des fonctions F,H sur les ensembles X ’,W ’,Y ‘ . Contraintes de décomposition

16. Décomposition avec critère de découplage Définir des outils mathématiques pour homogénéiser la démarche de décomposition • Décomposition connue en SEC et en SED • Formalisée avec des outils spécifiques au modèle considéré • Généraliser la décomposition quel que soit le modèle comportemental ?

17. Rappel : structures algébriques Algèbre • Un ensemble d’éléments • Des lois (opérations) sur ces éléments • Deux lois internes • Une loi externe Treillis • Un ensemble d’éléments • Une relation d’ordre Ou • Un ensemble d’éléments • Deux lois internes Traitement Hiérarchie

18. Algèbre d’ensembles Ensemble de définition Relations Algèbre sur DX Relation d’ordre Opération d’intersection Treillis sur DX Opération union Opération externe DX : tous les sous-ensembles de X A , B : éléments de DX k : réel

19. Notions clés :Paire algébrique et propriété de substitution Paire algébriquepar rapport à la fonction F (A,B) est une paire algébrique par rapport à F si et seulement si Si (A,A) est une paire algébrique par rapport à Falors A possède la propriété de substitution par rapport à F ou (A,A)∈ ΔF Par ailleurs : A possède la propriété de substitution si et seulement si il existe une restriction de F sur A telle que A décrit un ensemble d’état d’un sous-modèle dont la fonction d’état complète est F

20. Opérateurs avancés Opérateur m (borne inférieure d’une paire) m(A)donne le plus grand sous-ensemble qui forme une paire avec A • Opérateur M • (borne supérieure d’une paire) M(B)donne le plus petit sous-ensemble qui forme une paire avec B Propriété de substitution (Critère)

21. Du modèle au sous-modèle • Le sous-modèle est caractérisé par un sous-ensemble d’état obtenu par une décomposition. • La décomposition d’un modèle requiert la manipulation d’ensembles d’éléments. • Définir des « délimiteurs » pour caractériser les différents ensembles. • Manipuler des ensembles d’éléments revient à manipuler les délimiteurs. Solution Hartmanis, Stearns, Shumsky, Zhirabok

22. Principe du délimiteur Partitions • Ouvrage Hartmanis & Stearns Fonctions • Travaux Shumsky & Zhirabok Proposition : Manipuler les délimiteurs au lieu de manipuler les ensembles Ensembles finis Ensembles infinis Délimiteur  Classe d’équivalence

23. Partition d’ensembles finis Une partition de S est • Un ensemble de blocs supplémentaires dont l’union recouvre l’ensemble S 2 4 1 6 • Par exemple • p1 est une partition qui regroupe les nombres pairs et les nombres impairs. 3 5 Les partitions sont adaptées aux ensembles finis.

24. Partition d’ensembles infinis • Toute fonction f(x) crée un partitionnement de son ensemble de définition X • Un bloc regroupe tous les éléments qui ont la même image avec la fonction f(x). Par exemple : Le noyau de toute fonction définit le bloc d’une partition de X.

25. Structures algébriques Algèbre d’ensembles • Relation d’ordre «⊆» • Opération d’union «∪» • Opération d’intersection «∩» • Algèbre de partitions Algèbre des fonctions • Relation d’ordre « ≤ » • Addition de partitions « + » • Multiplication de partitions « . » • Relation d’ordre «  » • Opération d’union «  » • Opération d’intersection «  »

26. Notion clé :Propriété d’invariance Soit une fonction Si A possède la propriété de substitution par rapport à F alors la fonction est dite invariante par rapport à F La fonction est une fonction de décomposition

28. Objectif de la décomposition Ensemble de commande Ensemble d’entrées inconnues Ensemble de défaillances Fonction de décomposition A découpler avec

29. Critères de décomposition Critère de découplage Déterminer le plus grand sous-ensemble d’état découplé de Déterminer le plus grand sous-ensemble d’état découplé de Robustesse aux perturbations Propriété de couplage Sensibilité aux défaillances

30. Contraintes de décomposition Contrainte d’invariance Déterminer le plus grand sous ensemble invariant et découplé Existence du sous-modèle Synthèse du module détecteur Contrainte de mesurabilité Fait le lien entre le modèle et le sous modèle au travers des sorties

31. Structure de l’algorithme de décomposition Initialisation: Ensemble de solutions possibles Problème d’optimisation Critère de découplage Plus petit sous-ensemble Recherche itérative du sous-ensemble d’état découplé, invariant et mesurable Conditions d’existence Sous-modèle de dimension minimale Vérification de la propriété de couplage Critère de couplage Sous-modèle découplé

32. Implémentation simple Initialisation Sous-ensemble d’état découplé Itération Test d’invariance Composante mesurable Test d’invariance Vérification Couplage

33. Ensemble de définition Ensemble d’état Sous-ensemble d’états visibles à travers les sorties

34. Sous-ensembles invariants

35. Critère de découplage Sous-ensemble d’état découplé Sous-ensemble d’état non-découplé

36. Initialisation Le plus grand sous-ensemble découplé

37. Itération

38. Le plus grand ensemble découplé et invariant

39. Contrainte de mesurabilité

40. Détermination du plus petit sous-ensemble découplé invariant et mesurable

41. Sous-ensemble découplé invariant et mesurable

42. Vérification du critère de couplage Sous-ensemble d’état non-couplé Sous-ensemble d’état couplé

43. Problèmes rencontrés et traités • La contrainte d’invariance • Que faire s’il n’existe pas de sous-ensemble découplé invariant ? • Problème d’initialisation • Comment trouver le sous-ensemble découplé maximal ? • Aspect calculatoires • Comment déterminer les opérateurs m et M dans les cas calculatoires complexes?

44. Injection de sorties • Problème Relâcher la contrainte d’invariance et proposer un critère général d’invariance étendue • Solution • Injection de sorties pour pallier à l’information perdue par décomposition • Seules les sorties insensibles aux perturbations sont injectées • Extension de la technique connue dans le cadre des SEC au cas des SED • Contribution D. Berdjag, V. Cocquempot et C. Christophe : An algebraic approach to behavioral model décomposition. Soumis à l’IFAC World Congress 2008. Seoul, South Korea. Juin 2008.

45. Principe de l’injection de sorties x1 x2 x4 Injection de sorties x3 Sortie Invariance étendue Les sorties compensent l’information perdue lors de la décomposition

46. Extension événementielle

47. Initialisation optimale • Problème Obtenir le sous-ensemble découplé maximal • Solution • Utilisation de techniques d’élimination de variables pour réduire l’influence de  sur l’ensemble d’état • Application dans le cas d’une injection linéaire des entrées inconnues (modèles temporels) • Contribution

48. Aspects calculatoires • Problème Proposer une méthode alternative de calcul des opérateurs • Solution • Une méthode de calcul basée sur l’utilisation de fonctions équivalentes a été développée • Publications

49. Aspects calculatoires… Comment déterminer m(a(x)) ? Proposition Utiliser l’information contenue dans le modèle

50. Synthèse Algorithme de décomposition simple Algorithme de décomposition étendu Injection de sorties Algèbre des fonctions Algorithme de décomposition de modèles temporels Méthodes de calcul Algorithme de décomposition modèles événementiels Algèbre des paires