第六章

1. 第六章 微分方程 — 积分问题 推广 — 微分方程问题

2. 6.1 微分方程的基本概念 几何问题 引例 物理问题 微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3. 引例1. 6.1.1 引出微分方程的两个实例 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 解:设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: ① ② (C为任意常数) 由 ① 得 由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为

4. 的速度行驶, 制动时 引例2. 列车在平直路上以 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后t秒行驶了s米 , 即求s= s (t) . 已知 由前一式两次积分, 可得 利用后两式可得 因此所求运动规律为 说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

5. 6.1.2 微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程. 常微分方程 (本章内容) 分类 偏微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. 一般地 , n阶常微分方程的形式是 ( n阶显式微分方程) 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6. 引例1 引例2 微分方程的解 —使方程成为恒等式的函数. 通解 —解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解 其图形称为积分曲线. — 不含任意常数的解, —确定通解中任意常数的条件. 初始条件 n 阶方程的初始条件(或初值条件): 通解: 特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

7. 例1.验证函数 并求满足初始条件 的解, 是微分方程 的特解 . 解: 这说明 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解. 故所求特解为 利用初始条件易得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

8. 6.2 常见微分方程的解法 6.2.1 可分离变量微分方程 可分离变量方程 转化 解分离变量方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

9. 分离变量方程的解法: 分离变量: 两边积分: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

10. 例1. 求微分方程 的通解. 说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形, 解:分离变量得 因此可能增、 两边积分 减解. 或 得 即 ( C为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

11. 例2.解初值问题 解:分离变量得 两边积分得 即 ( C为任意常数 ) 由初始条件得 C = 1, 故所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

12. 练习: 解: 分离变量 即 ( C < 0 )

13. 6.2.2 齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程. 解法: 令 代入原方程得 分离变量: 两边积分, 得 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.

14. 例1. 解微分方程 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 ( C为任意常数 ) (当 C = 0时,y = 0也是方程的解) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

15. 例2. 解微分方程 解: 则有 分离变量 积分得 即 代回原变量得通解 (C为任意常数) 说明:显然x = 0 , y = 0 , y = x也是原方程的解, 但在 求解过程中丢失了. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

16. 若 Q(x)  0, 6.2.3 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x)  0, 称为齐次方程; 称为非齐次方程. 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

17. 2. 解非齐次方程 则 用常数变易法: 作变换 即 对应齐次方程通解 两端积分得 故原方程的通解 即 齐次方程通解 非齐次方程特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束

20. 例2. 解方程 即 解: 先解 积分得 即 则 用常数变易法求特解. 令 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

21. 6.2.4 伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式: 除方程两边 , 得 解法: 令 (线性方程) 求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.

22. 例2. 求方程 的通解. 则方程变形为 解: 令 其通解为 将 代入, 得原方程通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

23. 内容小结 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 2. 伯努利方程 化为线性方程求解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

24. 思考与练习 判别下列方程类型: 提示: 可分离 变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

25. 6.2.6 二阶常系数线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式 二阶线性齐次微分方程

26. 1、二阶线性微分方程解的结构 是二阶线性齐次方程 定理1. 的两个解, 也是该方程的解. (叠加原理) 证: 代入方程左边, 得 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束

27. 说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 则 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 但是 并不是通解 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

28. 定义: 是定义在区间 I上的 n 个函数, 若存在不全为0的常数 使得 则称这n个函数在 I上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( ,  )上都有 故它们在任何区间 I上都线性相关;

29. ( 无妨设 两个函数在区间 I上线性相关与线性无关的充要条件: 使 存在不全为 0 的 线性相关 常数 线性无关 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 机动 目录 上页 下页 返回 结束

30. 定理 2. 是二阶线性齐次方程 的两个线性无关特解, 则 数) 是该方程的通解. 有特解 且 例如, 方程 故方程的通解为 常数,

31. 定理 3. 是二阶非齐次方程 ① 则 Y (x) 是相应齐次方程的通解, 的一个特解, ② 是非齐次方程的通解 . 证: 将 代入方程①左端, 得 复习 目录 上页 下页 返回 结束

32. 是非齐次方程的解, 又Y 中含有 证毕 两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 . 例如,方程 有特解 有通解 对应齐次方程 因此该方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

33. 特 征 根 通 解 2、 二阶常系数齐次线性微分方程: ① 特征方程: 实根

34. 的通解. 例1. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程的通解为 例2.求解初值问题 解:特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

36. 6.2.7 二阶常系数非齐次 线性微分方程 一、 二、

37. 齐次方程通解 非齐次方程特解 二阶常系数线性非齐次微分方程 : ① 根据解的结构定理 , 其通解为 求特解的方法 — 待定系数法 根据f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

38. 其中 为待定多项式 , 一、  为实数 , 为 m次多项式 . 设特解为 代入原方程 , 得 (1) 若  不是特征方程的根, 则取 Q (x) 为m 次待定系数多项式 从而得到特解 形式为

39. (2) 若 是特征方程的单根, 即 为m次多项式, 故特解形式为 (3) 若  是特征方程的重根 , 即 是 m次多项式, 故特解形式为

40. 例1. 的一个特解. 解:本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

41. 例2. 的通解. 解: 本题 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 代入方程得 比较系数, 得 因此特解为 所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束