数値計算及び実習

数値計算及び実習 第12回応用プログラミング(4)

応用プログラミング(4) 1. 微分方程式(初期値問題) ・オイラー法　　・ルンゲクッタ法

常微分方程式の初期値問題 常微分方程式の初期条件を満たす特殊解を求める問題これは以下の式として表すことができる。

y y 刻みh x x 分点数値解法・数値解法では、x0,x1,x2…といった離散的なxの値に対して yの値(y0,y1,…)を計算することになる。・xi(n=0,1,2…)を分点、その間隔を刻み(h)という。

数値解法の種類 • 一段階法： • 多段階法： • 予測子・修正子法：　多段階法を、繰り返し手続きを用いて計算する方法 φ(xi,yi)：増分関数 ※今回は一段解法について説明

テイラー展開 刻みhが十分に小さいものとして、yi+1=y(xi+h)をx=xi まわりでテイラー展開すると、以下のようになる。

y(x) (xi+2,yi+2) (xi+1,yi+1) hf(xi,yi) (xi,yi) x xi xi+1 xi+2 オイラー法・テイラー展開した式の第二項　以下を無視・増分関数φ(x,y)をf(x,y)と　したもの・ (xi,yi)における傾きf(xi,yi)と刻みhから増分を計算し、 (xi+1,yi+1)を得る(以下、これを繰り返す)。・折れ線で、f(x)を近似

ルンゲクッタ法 ・4次のルンゲクッタ法・テイラー展開のh4までの項が等しくなるように　作られている

y(x) (xi+1,yi+1) D k4 k3 C k2 (xi,yi) k1 B A h/2 h/2 x xi xi+1/2 xi+1 ルンゲクッタ法(続き) 1) A点における傾きから k1を計算 2) B点(xi+h/2,yi+k1/2)におけ　る傾きからk2を計算 3) C点(xi+h/2,yi+k2/2)におけ　る傾きからk3を計算 4) C点(xi+h,yi+k3)における　傾きからk4を計算 5) k1 ~k4の重み付き平均を　増分として、これをyiに加える　ことによりyi+1を求める

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