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命 题 趋 势

命 题 趋 势. 开放性试题 是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的 . 这类试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，因为它形式活泼新颖，解题方法具有多样性，对激发学习兴趣、培养想象、发散、概括等数学能力十分有利而广受青睐，它具有反映思维灵活性、不同思维起点与深度、试题情境公平等优点 . 是近几年中考试题的热点考题，也是今后中考的必考题型 . 题型呈现时，选择题、填空题、解答题都有，一般难度不大，它常和探究性问题一起考查，涉及内容非常广. 解 题 策 略.

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命 题 趋 势

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Presentation Transcript

  1. 命 题 趋 势 开放性试题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的. 这类试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，因为它形式活泼新颖，解题方法具有多样性，对激发学习兴趣、培养想象、发散、概括等数学能力十分有利而广受青睐，它具有反映思维灵活性、不同思维起点与深度、试题情境公平等优点. 是近几年中考试题的热点考题，也是今后中考的必考题型. 题型呈现时，选择题、填空题、解答题都有，一般难度不大，它常和探究性问题一起考查，涉及内容非常广 .

  2. 解 题 策 略 开放性试题重在考查同学们分析、探索的能力以及思维的发散性，开放题的特征很多，如条件的不确定性、结构的多样性、思维的多向性、解答的层次性、过程的探究性、知识的综合性、情境的模拟性. 就其呈现形式而言，大致可分为：条件开放型、结论开放型、策略开放型、综合开放型. 同学们应该了解开放问题的思维理念，熟悉开放性试题的结构特征，学会根据开放题的特征，灵活地从不同角度、不同层次、不同方向联想提出新的问题或解决与之相关的问题.平时应养成先独立思考，后与他人交流、讨论的习惯以达到积累经验，提高解开放题的能力的目的.

  3. 题 组 讲 解 一、基础练习 【实现目标】体会开放题的一题多题重要思想，培养自觉思维、发散思维、创新思维的意识和能力. 即一个开放性数学问题可以转化为多个有确定问题指向的封闭型数学问题.

  4. 题1：如图， ，要使， 应添加的条件是（添加一个条件即可）.

  5. 方 法 提 炼 条件开放型题是指在结论不变的前提下，条件不唯一的题目. 解此类试题一般采用逆向思维，由结论出发，根据结论和已知的条件寻找能使结论成立的其他条件 .

  6. 变式1.如图，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点 （1）如果，则 . （请你填上能使结论成立的一个条件）; （2）证明你的结论.

  7. 解 题 思 路 解： （1）AE=CF（OE=OF；DE∥BF等等） （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AB∥CD，∠DCE=∠BAF 又∵AE=CF， ∴AC-AE=AC-CF， ∴AF=CE， ∴

  8. 变式2.已知点 位于第二象限，并且 ， 为整数，写出一个符合上述条件的点 的坐标：. 解：

  9. 题2. 如图，AB是⊙O的直径，BC是弦， OD⊥BC于E，交 于D.请写出两个 不同类型的正确结论.

  10. 解 题 思 路 解：不同类型的正确结论有： ①BE=CE； ② = ； ③∠BED=90°； ④∠BOD=∠A；⑤AC∥OD； ⑥AC⊥BC； ⑦ ； ⑧ ; ⑨△BOD是等腰三角形； ⑩△BOE∽△BAC等.

  11. 方 法 提 炼 没有确定结果的开放性问题称为结论开放题，解决这类问题的方法是：根据条件，结合已学知识、数学思想方法，通过分析、归纳，逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解，即执因寻果.

  12. 变式1. 某函数的图象经过点 ，且函数的值 随自变量 的增大而增大. 请你写出一个符合上述条件的函数关系式：. 解：

  13. 变式2.如图，已知 是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上， 且 .连接BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R. （1）求证： ，并求出BF的长； （2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答.

  14. 是等腰三角形， 是等腰三角形， 解 题 思 路 (1)证明： 即BG=3. . 又

  15. （或问 与 是否相等？）等； （2）A层问题（较浅显，仅用到了1个知识点）： 例如：①求证： （或问线段PC与RE是否平行）等. ②求证：

  16. 求证： 等； B层问题（有一定的思考，用到了2、3个知识点） 例如：① 求证：BP=PR等； ②求证： 等， ③求证： 等； ④求BP﹕PF的值等.

  17. 是等腰三角形； ③求证： ⑥ 求证： （或求PC的长）等. C层问题（有深刻的思考，用到了4个或4个以上的知识点，或用到了（1）中的结论）. 例如：①求证： ； ②求证：PQ=RQ 等； ④求AP﹕PC 的值等； ⑤求BP的长；

  18. A层解答举例：求证： 证明： ，

  19. B层解答举例：求证：BP=PR. 证明： 又

  20. C层解答举例：求AP﹕PC 的值. 解： 而

  21. 二、能力提高 【实现目标】培养思维的严谨性、开阔性、灵活性，激发创新意识，学会在不同“问题情境”发现问题，解决问题，自主选择展示自己水平的途径和方式.

  22. 题3.甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：①比赛题3.甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：①比赛 分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次 后该局便结束；②若一次未进可再投第二次，以此类推，但每 局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③计分规 则如下：a. 得分为正数或0；b. 若8次都未投进，该局得分为 0；c. 投球次数越多，得分越低；d. 6局比赛的总得分高者获胜. （1）设某局比赛第n（n=1，2，3，4，5，6，7，8）次将球投进， 请你按上述约定：用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两 位同学制定一个把n换算成得分M的计分方案. （2）若两人6局比赛的投球情况如下（其中的数字表示该局比赛 进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进）： 根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比 赛中获胜.

  23. （2）根据投球情况和制定的计分方案可分别得甲、乙两（2）根据投球情况和制定的计分方案可分别得甲、乙两 同学6局比赛的总得分为 分. 分， ＞ 解 题 思 路 答案不唯一，只要符合约定规则和计分规则都是可以的，以下提供几种不同的答案参考： 策略1（用公式的方法） （1）其它局的投球次数n换算成该局得分M的计分方案 是： ∵ ∴以此计分方案来判断，甲在这次比赛中获胜.

  24. （2）根据投球情况和制定的计分方案可分别得甲、乙两同学6（2）根据投球情况和制定的计分方案可分别得甲、乙两同学6 局比赛的总得分为 分， 分，∵ = ， ∴以此计分方案来判断，甲、乙在这次比赛中成绩一样的. 策略2（用表格的方式） （1）其它局的投球次数n换算成该局得分M的计分方案是： （2）根据投球情况和制定的计分方案可分别得甲、乙两同学6局比赛的总得分为 分， 分. ∵ ＜ ，∴以此计分方案判断，乙在这次比赛中获胜. 策略3（用语言叙述的方式） （1）其它局的投球次数n换算成该局得分M的计分方案是： 第1次投进得9分，第2次投进得8分，第3次投进得6分， 第4次投进得5分，第5次投进得4分，第6次投进得3分， 第7次投进得2分，第8次投进得1分.

  25. 方 法 提 炼 策略开放性问题，一般指解题方法不唯一或解题途径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程.

  26. 变式1.小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工（如图（1）所示），他想在现有的六块瓷砖余料中（如图（2）所示）挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案（在图（1）中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号）.变式1.小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工（如图（1）所示），他想在现有的六块瓷砖余料中（如图（2）所示）挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案（在图（1）中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号）.

  27. 解 题 思 路 解：以下四种铺设的示意图供参考.

  28. 变式2.在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砖成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）.这显然与正多边形的内角大小有关. 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成一个平面图形. （1）请根据下列图形，填写表中空格： （2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一 个平面图形？ 答： 108° 120° 正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形.

  29. （3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同正多边形镶嵌的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由.（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同正多边形镶嵌的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由. 解：设在一个顶点周围有m个正方形的角、n个正八边形的角， 那么m, n应是方程 的整数解. ∵这个方程的整数解只有 一组， ∴符合条件的图形只有一种.

  30. 题4.如图，四边形ABCD中点E在边CD上，连结AE、BE，给出下列五个关系：题4.如图，四边形ABCD中点E在边CD上，连结AE、BE，给出下列五个关系： ①AD∥BC； ②DE=CE； ③∠1=∠2； ④∠3=∠4； ⑤AD+BC=AB; 将其中的三个关系式作为题设，另外两 个作为结论，构成一个命题. （1）用序号写出一个真命题（书写形式如： 如果×××，那么××），并给出证明； （2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）.

  31. 解（1）如：如果①②③，那么④⑤. 证明：如图，延长AE交BC的延长线于F， ∵AD∥BC， ∴∠1=∠F. 又∵∠AED=∠CEF，DE=EC， ∴△ADE≌△FCE. ∴AD=CF, AE=EF. ∵∠1=∠F, ∠1=∠2, ∴∠2=∠F. ∴AB=BF, ∴∠3=∠4. ∴AD+BC=CF+BC=BF=AB. （2）如果①②④, 那么③⑤； 如果①③④，那么②⑤； 如果①③⑤，那么②④； 如果②③⑤，那么①④； 如果③④⑤，那么①② . 解 题 思 路

  32. 方 法 提 炼 综合开放型问题的条件和结论都不确定，需要认定条件和结论，组成一个新命题，并加以证明或判断，此类问题要求对数学命题非常熟悉，要根据题目给定的条件组合命题，并在头脑中快速地加以推理检验，判断新命题是真命题还是假命题.

  33. 变式1．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：变式1．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件： ①∠EBO=∠DCO； ②∠BEO=∠CDO；③BE=CD. （1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）？ （2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形.

  34. 解 题 思 路 解： (1)①和③；②和③. （2）在△OBE和△OCD中， ∵∠EBO=∠DCO，BE=CD，∠EOB=∠DOC， ∴△OBE≌△OCD， ∴OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB， 即∠EBC=∠DCB， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形.

  35. 变式2．请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你变式2．请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你 喜欢的数（要合适哦！）代入求值： 解：原式 如取 则原式

  36. 挑 战 中 考 【中考目标】：开放题以形式活泼，答案多样，情景鲜活，灵活善变而被各地中考命题者普遍采用，重点考查同学们的思维能力和创新意识,意在开发思维，促进创新，提高数学素养.

  37. 题5．（2005年福州）已知：如图，点C、D在线段AB上PC=PD.请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明，所添加条件为.题5．（2005年福州）已知：如图，点C、D在线段AB上PC=PD.请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明，所添加条件为. 你得到的一对全等三角形是.

  38. 题6.（2002年江苏镇江）甲、乙两人（甲骑自行车，乙骑摩托车）从A城出发到B城旅行，如图表示甲、乙两人离开A城的路程与时间之间的函数图像，根据图像，你能得到关于甲、乙两人旅行的哪些信息？题6.（2002年江苏镇江）甲、乙两人（甲骑自行车，乙骑摩托车）从A城出发到B城旅行，如图表示甲、乙两人离开A城的路程与时间之间的函数图像，根据图像，你能得到关于甲、乙两人旅行的哪些信息？ 答题要求：①请至少提供四条信息，如由图像可知：甲比乙早出 发4小时（或乙比甲迟出发4小时）；甲离开A城的路程与时间之间的函数图像是一条折线段，说明甲做变速运动；②请不要再提供“①”已列举信息.

  39. 解 题 思 路 如： ①乙比甲早2小时到达B城 ②乙骑摩托车匀速运动 ③从A城到B城甲用8小时，乙用2小时 ④乙运动速度为50km/h ⑤甲出发4小时后原地休息1小时，等等.

  40. 题7.（2005年南宁）如图，垂足分别为E、F，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）. ①AB=AC ②BD=CD ③BE=CF 已知：垂足垂足分别为E、F，=， =.求证：=.

  41. 解 题 思 路 解：已知：…，AB=AC,BD=CD.求证：BE=CF. 证明： 在

  42. 题8.（2008年福州）如图，直线AC∥BD，连结AB， 直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分， 规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时， 连结PA、PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角.（提示： 有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）. （1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD； （2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立 （直接回答成立或不成立）？ （3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之 间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论. 选择其中一种结 论加以证明.

  43. 解 题 思 路 解：（1）解法一：如图⑴，延长BP交直线AC于点E ∵AC∥BD， ∴∠PEA=∠PBD. ∵∠APB=∠PAE+∠PEA, ∴∠APB=∠PAC+∠PBD. 解法二：如图⑵，过点P作FP∥AC， ∴∠PAC=∠APF. ∵AC∥BD， ∴FP∥BD. ∴∠FPB=∠PBD. ∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD. (1) (2)

  44. 解法三：如图⑶， ∵AC∥BD， ∴∠CAB+∠ABD=180° 即∠PAC+∠PAB+ ∠PBA+∠PBD=180° 又∠APB+∠PBA+∠PAB=180° ∴∠APB=∠PAC+∠PBD. (3)

  45. （2）不成立. （3） （a）当动点P在射线BA的右侧 时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB. （b）当动点P点在射线BA上，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB，或 ∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）. (c)当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD.

  46. 选择(a)证明： 如图⑷，连接PA，连接PB交AC于M ∵AC∥BD， ∴∠PMC=∠PBD. 又∵∠PMC=∠PAC+∠APB. ∴∠PBD=∠PAC+∠APB. ⑷ 选择（b）证明：如图⑸， ∵点P在射线BA上， ∴∠APB=0°. ∵AC∥BD， ∴∠PBD=∠PAC. ∴∠PBD=∠PAC+∠APB 或∠PAC=∠PBD+∠APB 或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD. ⑸

  47. 选择（c）证明：如图⑹， 连接PA，连结PB交AC于F ∵AC∥BD， ∴∠PFA=∠PBD. ∵∠PAC=∠APF+∠PFA, ∴∠PAC=∠APB+∠PBD. F (6)

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