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15.3 收敛定理的证明

15.3 收敛定理的证明. 极限的算术平均值 ,  即. 方法是把该极限表达式化为积分 , 利用. R—L 定理证明相应积分的极限为零. 于是把问题归结为证明. 这两式的证明是相同的 , 只证第一式. 3 为证上述第一式 , 先利用三角公式. 建立所谓 Dirichlet 积分. 于是又把上述 1 中所指的第一式左端化为. 4     利用所谓 Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零 . 为此 , 先证明 Bessel 不等式 , 再建立 Riemann — Lebesgue 定理 , 然后把以上最后的式子化为.

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15.3 收敛定理的证明

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  1. 15.3 收敛定理的证明 极限的算术平均值,  即

  2. . 方法是把该极限表达式化为积分, 利用 R—L定理证明相应积分的极限为零.

  3. 于是把问题归结为证明

  4. 这两式的证明是相同的, 只证第一式. 3 为证上述第一式, 先利用三角公式 建立所谓Dirichlet积分

  5. 于是又把上述1中所指的第一式左端化为

  6. 4    利用所谓Riemann — Lebesgue定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明Bessel不等式, 再建立Riemann — Lebesgue定理, 然后把以上最后的式子化为 5    把上式化为应用R — L定理的形式, 即令

  7. 来确定. Dirichlet积分: 证 由三角公式

  8. (1) 若 则

  9. 对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数 自然应有 这就是有名的Bessel不等式, 其证明和三维空间中 (1) 式的证明思路完全一样,  都是利用坐标系的正交性.

  10. Parseval等式 ( 或称Ляпинов等式 )

  11. 综上即得所证.

  12. Fourier级数与三角级数的区别：Fourier级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier级数. 一个三角级数是Fourier级数( 即是某个可积函数的Fourier级数 ) 的必要条件为:

  13. 法国数学家，出生在一个裁缝家庭，家境贫寒，八岁时成为孤儿，由于才华出众，1790年成为巴黎工科大学教授。1798年参加拿破仑的远征军，回国后当了县地方长官。拿破仑垮台后，失去职务，转向数学研究1827年当选为法国科学院院士。法国数学家，出生在一个裁缝家庭，家境贫寒，八岁时成为孤儿，由于才华出众，1790年成为巴黎工科大学教授。1798年参加拿破仑的远征军，回国后当了县地方长官。拿破仑垮台后，失去职务，转向数学研究1827年当选为法国科学院院士。 傅里叶 ( J.B.J.Fourier  1768.3.21-1830.3.16) 他从1800年开始研究热传导1811年因解答科学院提出的问题而获奖，1822年出版了他的名著《热的分析理论》，把数学成功地应用于物理，引入了热传导方程，并得到在各种边界条件下的解答；他开创了分析的一个重要分支-傅里叶级数，这在数学、物理、工程技术上有广泛应用，对现代数学产生了重大影响。

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