§6 多项式环

1. §6 多项式环 • 内容提要: • 6.1 多项式环 • 6.2 一元多项式环 • 6.3 未定元的存在性 • 6.4 多元多项式环

2. 6.1 多项式环 我们已经有了一般环的定义,现在要认识一种特殊的环多项式环,这种环在数学里占一个重要的地位。 本节假定 是一个有单位的交换环， 是 的子环，并且包含 的单位元。比如, 为复数环(域), 为整数环.

3. 的多项式 在 里取出一个元 来，那么 有意义，是 的一个元。 定义1 一个可以写成 形式 的元叫做R上 的一个多项式。 叫做多项式的系数。 注1：多项式常用 表示. 注2： 的多项式的表示形式不唯一(举例),因此不 定义次数. 原因在什么地方?

4. 多项式环 记 ={所有R上的 的多项式}. 我们要注意，对于 ， 所以当我们只考虑 的有限个多项式的时候，可以假定这些多项式的项数(注:没有说次数),都是一样的。因此， 的两个元相加相乘适合以下公式：

5. 这两个式子告诉我们， 对于加法和乘法来说都 是闭的。进一步, 所以 是一个(子)环。 定义2 叫做R上 的多项式环. 注3： 是包括R和 的最小子环。 注4：上面的 的计算法正是初等代数里的多项 式的计算法。

6. 6.2 一元多项式环 的多项式的表示形式不唯一的原因在于:当系数 不都等于零的时候，很可能 的多项式 比方说，当 的时候，取， ， 那么多项式`

7. 定义3的一个元 叫做R的一个未定元，假如 在R里找不到不都等于零的元 来，使得 注5：根据上述定义，R 上的一个未定元 的多项式 （简称一元多项式）,只能用一种方法写成 的形式（不计系数是零的项）。 • 未定元 在这一节里，我们重要讨论未定元的多项式。

8. 定义4令 是环R上一个一元多项式。那么非负整数n叫做这个 多项式的次数,表示为 。 注6：多项式0不定义次数。 注7： ,

9. 例1 R是整数环， 是复数域, 在 上发现一些R的未定元. 例2 ( 上可能没有R的未定元) R是整数环， 是包含所有 的整环， 这时对 的每一个元 来说，都有

10. 定理 1给了一个有单位元的交换环R，存在一个 包含R的环P, 使得在P上一定有R上的未定元 存在. 证明(省略)我们非三步来证明这个定理。 1.首先我们利用R来作一个环 。我们让 刚好包含 所有无穷序列 ，这里 ，但只有有限个 我们限定： 只在 时， 6.3 未定元的存在性

11. 我们规定一个加法： 显然这是一个 的代数运算，而且 对于这个加法来说作成一个加群。这个加群的零元是 。 我们再规定一种乘法： 这里 显然这也是一个 的代数运算，并且这个乘法适合交换律。

12. 这个乘法也适合结合律：叫 那么，照乘法的定义， 把 计算一下，可以得到同样的结果。

13. 这两个代数运算也适合分配律：叫 那么，由加法和乘法的定义， 把 算出来，显 然会得到同样的结果。 这样 作成一个交换环。 在 里我们有等式

14. （1） 由这个式子我们可以得到 这就是说 有单位元 。 2.第二步我们利用 来得到一个包含R的环P。 由等式（1），我们可以得到 （2）

15. 由加法的定义，我们有 （3） （2）和（3）告诉我们，全体 形式的 的元作成一个子环 ，并且 是 与R间的一个同构映射。因为R同 根本没有同元，由Ⅲ ，5，定理4，我们可以用R来代替 ，而得到一个包含R的环P；P也是有单位元的交换环，并且P的单位就是R的1。

16. 3. 最后我们证明P包含R上的未定元。 令 我们说， （4） 当 时，这个式子显然是对的。假定对于 ， 式子是对的。那么，

17. 但这里只有 和 等于1，其余 都等于零， 所以除了在 这个和里有一项 以为，其余到处都是零，因此 现在假定在P里。

18. 那么在 里 这样，由（4）和（1）， 因而 这正是说， 是R上的未定元。证完。

19. 方法1. 递推法. 我们从 里的任意取出 个元 来，那么 我们可以作R上的 的多项式环 ，然后作 上的 的多项式环 。这样下去，可以 得到 。这个环包括所有可以写成 (*) 6.4 多元多项式环 • 多项式概念的推广

20. 定义5 一个有（*）的形式的元叫做R上的 的一个多项式。 叫做多项式的系数。 表示R上的所有 的多项式, 它构成环. 方法2. 直接法

21. 我们容易看出，在 里，两个多项式相加相乘适合以下计算法： 这里 同上面类似，我们有

22. 定义5的 个元 叫做R上的无关未定 元，假如任何一个R上的 的多项式都不 会等于零，除非这个多项式的所有系数都等于零。 定理2给了一个有单位元的交换环R同一个正整 数 ，一定有R上的无关未定元 存在，因 此也就有R上的多项式环 存在。 • 无关未定元及多元多项式环

23. 定理3 假定 和 都是有 单位元的交换R上的多项式环， 是R上的 无关未定元， 是R上的任意元。那么 与 同态。 证明 我们用 来表示 的元 用 来表示 的元 • 同态与代入法

24. 那么 (1) 是 到 的一个满射。 因为：给了一个 的元y由于 是无关未定元，只有一种方法可以把y写成多项式 。这样，依照我们的规定，y只有一 个象，就是 。另一方面，显然这个映 射是一个满射。

25. (2) 保持运算. 由于在 或 里两个多项式 的相加或相乘是适合同一规律的，以上映射是同态映 射。证完。 定理3告诉我们一个重要的事实，若 的若干个元 ， 之间有一个由加法和乘法计算得来的关系存在，那么 用任意n个元 去代替 这个关系仍 然成立。这正是说代入的可能正是普通多项式的一个 重要性质。

26. 作业: 1,2 4 (i) 设 和 都是R的未定元. 那么,