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二次函数的图象与性质

二次函数的图象与性质. 南安市诗山中学 黄秋华. 二次函数. 2. 二次函数的图象和性质. Y=a(x-h) 2 +k(a ≠0). Y=ax 2 +bx+c(a ≠0). Y=a(x-x 1 )(x-x 2 )(a ≠0). 知识点. 1. 二次函数的解析式. 二次函数的图象和性质. y=ax 2 (a>0). y=ax 2 +k (a<0). y=a(x-h) 2 (a<0). y=a(x-h) 2 +k (a>0). y=ax 2 +bx+c (a<0). 大致图象. X=h. X=h.

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二次函数的图象与性质

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  1. 二次函数的图象与性质 南安市诗山中学 黄秋华

  2. 二次函数 2.二次函数的图象和性质 Y=a(x-h)2+k(a≠0) Y=ax2+bx+c(a≠0) Y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 知识点 1.二次函数的解析式

  3. 二次函数的图象和性质 y=ax2 (a>0) y=ax2+k (a<0) y=a(x-h)2 (a<0) y=a(x-h)2+k (a>0) y=ax2+bx+c (a<0) 大致图象 X=h X=h X=- y y y y y 对称轴 y轴 (x=0) y轴 (x=0) X=h X=h X=- x x x x x 顶点坐标 (0,0) (0,k) (h,0) (h,k) ( - , ) 最大最小 值 y最小=0 y最大= k y最大= 0 y最小=k y最大= 函数增减性 x<0,x↑y↓ x>0,x↑y↑ x<0,x↑y↑ x>0,x↑y↓ x<h,x↑y ↑ x>h,x↑y↓ x<h,x↑y↓ x>h,x↑y↑ X<- x↑y↑ x>- x ↑y↓

  4. 例1、指出下列函数的开口方向,顶点坐标,对称轴,最大最小值.例1、指出下列函数的开口方向,顶点坐标,对称轴,最大最小值. y= 2x2 y=- 2x2+1 y= 2(x +3 )2 y=-2(x-2)2 - 3 开口方向 顶点坐标 对称轴 最 值 例题 • 向 下 • (0 , 1) • y 轴 • y最大值=1 • 向 上 • (-3 , 0) • X= - 3 • y最小值=0 • 向 下 • (2, - 3) • X = 2 • y最大值=- 3 向 上 (0 , 0) y 轴 y最小值=0

  5. 4、已知函数 (1)将它配方成y=a(x-h)2+k的形式是________________，(2)抛物线的开口方向是_________,顶点的坐标是_________,对称轴是_________. y=0.5(x-1)2-2 向上 (1,-2) 直线x=1

  6. y x 向右平移3个单位再向下平移1个单位 例2.将抛物线y=2x2________________________________________________可得到抛物线y=2(x-3)2-1; 将抛物线y=2(x-3)2-1向上平移2个单位,向左平移3个单位所得函数解析式为________. y=2x2+1 (3,-1)

  7. 练习题 (一）填空题 1、将抛物线y=x2+3向右平移2个单位后,所得抛物线的 顶点坐标是______, 解析式是___________. (2,3) y=(x-2)2+3 2、 抛物线y = x2+bx+c 的顶点坐标是(4,-10)则 b=_____,c=______. -8 6 3、已知二次函数 y= -x2+2(m-1)x+2m-m2 ,如果函数 的图象经过原点,m满足_____________;如果函数 的图象关于y轴对称,m满足_____. • m=0或m=2 m=1

  8. 一般形式: y = ax2+bx+c(a≠0) 1. a对图形的作用: a的值决定图象的开口方向和开口大小 （1）当a>0时开口向上,当a<0时开口向下. （2）当lal 越大时，图象开口越小； 当lal 越小时，图象开口越大. 2.c对图形的作用: c的值决定图象与y轴的交点位置 （1）图象与y轴交点坐标(0,c); （2）当c=0时，图象必过原点.

  9. x = - a和b共同决定对称轴的位置 （1）a,b同号时，对称轴在y轴的左侧,即 x = - ‹ 0 › x = - 0 （2）a,b异号时，对称轴在y轴的右侧,即 3. b对图形的作用: （3）当b=0时，图象以y轴为对称轴

  10. y x O -1 例:1 、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论: (1)a+b+c<0 (2)a-b+c>0 (3)abc<0 (4)b=2a 其中正确结论的 个数是( ) A、4 B、3 C、2 D、1 B

  11. 2、已知二次函数y=x2+（a-b）x+b的 图象，化简 的结果为 。 y x O -1

  12. y y y x x x (C) (D) (A) (B) y x 3、二次函数 y =ax2+bx+c与一次函数 y=bx+c在同一坐标系的图象大致是( ) A

  13. y x 0 y=abx+c 二、选择题 1、 若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则直线 y=abx+c不经过( )象限 ( A ) 第一象限 ( B ) 第二象限 ( C ) 第三象限 ( D ) 第四象限 D a ‹ 0 ,b ‹ 0 ab › 0而c › 0

  14. y x 2 • x X=1 • 2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示, • 下列结论 (a) c<0 (b) b>0 (c) 4a+2b+c>0 • (d) (a+c)2 <b2其中正确的有( ) • ( A ) 1个 ( B )2个 ( C ) 3个 ( D ) 4个 C (a+c)2-b2=(a+c+b)(a+c-b) 当x=1时,y=a+c+b. 即（1， a+c+b ） ∴a+c+b>0 当x=-1时,y=a+c-b. 即（-1， a+c-b ） （2，4a+2b+c) ∴a+c-b<0 故(a+c)2-b2 ‹0

  15. 用待定系数法求二次函数解析式 例:1、已知一个二次函数的图象经过(-1,10)、 （1，4）、（2，7）三点，求这个二次函数 的解析式 2、已知二次函数图象上的三点（-1，0）、（3，0）、（1，-5 ），求此函数解析式。 3、已知抛物线的顶点为（1，-8），且过点（2，-6），求此抛物线的解析式。

  16. 结论：二次函数解析式的求法有三种： 1、一般式：已知任意三点，设y=ax2+bx+c 2、顶点式：已知顶点和另外一点， 设y=a（x-h）2+k 3、交点式：已知抛物线与x轴两交点坐标 及另外一点， 设y=a（x-x1）（x-x2）

  17. 变式练习： 1、已知抛物线当x=2时，有最小值3，且过点（1，5），求此抛物线的解析式。 2、抛物线与x轴有两个交点（-1，0）， （ 3，0），且与y轴交点纵坐标为-6，求此 抛物线解析式。 3、抛物线过点A（1，0），B（0，-3），且对称轴是直线x=2，求此抛物线解析式。

  18. 能力题： 二次函数图象过点（3，8）， 对称轴是x=2，抛物线与x轴 两交点距离为6，求此二次函数解析式。 提高题： 当x=-1时，y有最大值4，抛物线与x轴交点横坐标为x1，x2，x12+x22=10， 求此抛物线解析式。

  19. 三、提高题： • 已知：如图，抛物线c1经过A、B、C三点，顶点为D， • 且与X轴的另一个的交点为E。 • （1）求抛物线c1的解析式; （2）求四边形ABDE的面积; • （3）ΔAOB与ΔBDE是否相似，如果相似，请予以证明； • 如果不相似，请说明理由。 y D • B C(2,3) • 3 • E A x • • • -2 -1 o c1

  20. D y B 3 A E x o F -1 解得 0=a-b+c ∴ 图1 3=c a= -1 ∴ 抛物线C1的解析式为y=-x2+2x+3 3=4a+2b+c b=2 c=3 解：（1）设c1的解析式为y=ax2+bx+c.由图1可知，c1经过A（-1，0），B（0，3），C（2，3）三点。

  21. 三、解答题： • 已知：如图，抛物线c1经过A、B、C三点，顶点为D， • 且与X轴的另一个的交点为E。 • （1）求抛物线c1的解析式; （2）求四边形ABDE的面积; • （3）ΔAOB与ΔBDE是否相似，如果相似，请予以证明； • 如果不相似，请说明理由。 y D • B C(2,3) • 3 • E A x • • • -2 -1 o c1 (1,4) （3，0）

  22. 三、解答题： • 已知：如图，抛物线c1经过A、B、C三点，顶点为D， • 且与X轴的另一个的交点为E。 • （1）求抛物线c1的解析式; （2）求四边形ABDE的面积; • （3）ΔAOB与ΔBDE是否相似，如果相似，请予以证明； • 如果不相似，请说明理由。 y D • B C(2,3) • 3 • E A F x • • • o -2 -1 c1 (1,4) （3，0）

  23. 令y=0，则-x2+2x+3=0,x1=-1,x2=3. OE=3, EF=2 S△ABO= AO·BO= ×1 ×3= S△DFE= DF·FE= ×4 ×2=4; S梯形BOFD= •OP= ⅹ1= ∴S四边形ABDE= S△ABO + S梯形BOFD + S△DFE = + + 4=9 (2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4. ∴抛物线C1的顶点D的坐标为（1，4）。 过点D作DF⊥X轴，交X轴于点F，由图象 可知，OA=1，OB=3，OF=1，DF=4。

  24. 三、解答题： • 已知：如图，抛物线c1经过A、B、C三点，顶点为D， • 且与X轴的另一个的交点为E。 • （1）求抛物线c1的解析式; （2）求四边形ABDE的面积; • （3）ΔAOB与ΔBDE是否相似，如果相似，请予以证明； • 如果不相似，请说明理由。 y D • B C(2,3) • 3 K • E A F x • • • o -2 -1 c1 (1,4) （3，0）

  25. （3）如图2，过B作 BK⊥DF于K,则BK=OF=1. DK=DF-OB= 4-3= 1. ∴ BD= 又DE= AB= BE= D y B 3 K E x F -1 A 在△ ABO和△ BDE中, AO=1, BO=3, AB= ; BD= ,BE= , DE= . o 图2 ∵ ∴△AOB∽△DBE

  26. 再见

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