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§4 欧氏空间. 一、 向量的内积. 设 n 维向量. 定义 1. =( x 1 , x 2 …, x n ), =( y 1 , y 2 …, y n ). 定义数： x 1 y 1 +x 2 y 2 +…+ x n y n 为向量 与 的 内积 ，记为 ( , ) . 即 ( , ) = x 1 y 1 +x 2 y 2 +…+x n y n . 注： 定义了内积的 n 维 向量空间 R n 称为 n 维 欧氏空间 (Euclid Space) ，仍记为 R n.
E N D
一、向量的内积 设 n维向量 定义1 =(x1, x2 …, xn), =(y1, y2…, yn). 定义数：x1 y1+x2 y2+…+ xn yn 为向量 与 的内积，记为 ( , ). 即( , ) = x1y1+x2 y2+…+xn yn. 注：定义了内积的 n维向量空间Rn称为 n维 欧氏空间(Euclid Space)，仍记为 Rn.
(1) 交换律 (,)=(,); 性质 (2) 分配律 (, )=(,)(,); (3) 内积满足如下结合律: (,)=(,)=(,); R (2)与(3)等价于 (+,)= (,)(,); 、R (4)非负性 (,)0, 且(,)=0=0.
二、向量的长度与夹角 定义2设 n维向量=(a1,a2,…,an).称 为向量 的模(或长度). 特别：| | = 1的向量 称为单位向量， 当0时， 为一单位向量称为 的单位化。
(1) 非负性 || 0,若||=0= 0; (2) 正齐次性 ||=||·||; (3) 三角不等式 ||||||. 长度的性质: ,,Rn,R,则
定理 1 (Chauchy-Schwarz不等式) 向量 和 线性相关. 重要不等式
定义 3 设,为Rn中两个向量，定义与的夹角为 特别: 当(,)=0时，称与 垂直(正交) 记为 .
定理2(勾股定理) 设1,2,…,k为欧氏空间Rn中两两正交的向量，即(i ,j )=0,ij，则 |1+2+…+k|2=|1|2+|2|2+…+|k|2 证: |1+2+…+k|2 = (1+2+…+k ,1+2+…+k) =|1|2+|2|2+…+|k|2
例1已知=(1,2,2,3),=(3,1,5,1),求与的长度及它们的夹角<,>. 例1已知=(1,2,2,3),=(3,1,5,1),求与的长度及它们的夹角<,>. 解： 而(, )=18 故
在欧氏空间中，一组两两正交的向量组称为正交向量组。在欧氏空间中，一组两两正交的向量组称为正交向量组。 定义5 若(a,b)=0，则称a与b是正交的，记作 ab。 定义4 三、标准正交基 1、正交向量组 注：零向量与任何向量正交。
非零的正交组是线性无关的。 定理4 证： 设1,2,…,m是一组非零正交组，并设 k11+ k22 +…+kmm= 0 用 1与等式两边作内积，得 0=(0,1)=k1(1,1)+k2(2,1)+…+ki(i,1)+…+km(m,1) 得 k1=0, 类似地： 用i( i=2,3,…, m)与等式两边作内积， 得ki=0, (i=2,3,…,m),故1,2,…,m线性无关。
2、施密特(Schmidt)正交化 设1,2,…,m是一组线性无关的向量，利用这组向量可构造出正交向量组。 1. 正交化 (1) 令1=1； (2) 求2=211使 0=(2,1)=(211, 1 ) = (2, 1)1 (1, 1) . 得1=(2,1)/(1,1),
(3)求3=31122, 使 0=(3, 1)=(31122,1) =(3,1)1(1, 1)+2(2, 1) 0=(3, 2) = (31122, 2) =(3,2)1(1, 2)2 (2, 2) 得
(4) 类似地，得： (i=1,2,…,m) 1, 2, …, m是一组正交组。
则 1, 2 , …, m是一组正交的单位向量组。 2. 单位化 取 —— 以上方法称为施密特(schmidt)正交化方法 它包括正交化和单位化两个过程。
例2将线性无关组1=(2,0),2=(1,1)化成正交的单位向量组 例2将线性无关组1=(2,0),2=(1,1)化成正交的单位向量组 解： (1) 正交化 1=1=(2,0) 令 (2) 单位化 则1, 2是一组正交的单位向量组。
3、标准正交基 定义6在 n 维欧氏空间V 中若一个基的n 个向量1, 2, …, n是两两正交的单位向量，即 1.i=j (i,j)= 0.ij 则称该基为标准正交基。
例如： Rn中， e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),… en=(0,0,…,1) 就是一个标准正交基。
例3 证明 为 R4 的标准正交基. 即|i|=1,i=1,2,3,4 证: 且 故1, 2, 3, 4为R4的标准正交基.
注：利用施密特正交化方法，可从欧氏空间的任一个基出发，找到一个标准正交基。 注：利用施密特正交化方法，可从欧氏空间的任一个基出发，找到一个标准正交基。
定理5若n维向量1,2,…,n是一组标准正交基.则n维向量=(x1,x2,…,xn)在定理5若n维向量1,2,…,n是一组标准正交基.则n维向量=(x1,x2,…,xn)在 基1,2,…,n下的第j个分量为: 证:
例4 证明 1=(1,2,1),2=(1,3,1), 3=(4,1,0),为R3的一组基并用施密特正交化方法构造R3的一组标准正交基。 则r(A)=3.从而1,2,3 线性无关, 构成R3的一个基. 解: 令
= (1, 3, 1) (1, 2, 1) 6 1=(1,2,1),2=(1,3,1),3=(4,1,0), (1)正交化 1=1= (1,2,1),
3=(2,0,2). 1=(1,2,1), 则 1, 2 , 3是一组标准正交基。 (2)单位化
以 , , 为列作矩阵 此时有 即 ATA=E，
定义7 设 A 为 n 阶实矩阵， 若ATA=E (或AAT =E), 则称 A为一个正交矩阵. 定理6 A 是正交矩阵 A 的行(列)向量 是Rn的一组标准正交基.
定理7由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，如果标准正交基到第二组基的过渡矩阵是正交矩阵，则第二组基也是标准正交基。 定理7由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，如果标准正交基到第二组基的过渡矩阵是正交矩阵，则第二组基也是标准正交基。
§5 线性变换 一、线性变换的定义 定义1向量空间V到自身的一个映射T，称为V的一个变换。若T满足： (1) 对任意, V, 有 T(+)=T()+T() (2) 对任意V, 及任意实数 k，有 T(k)=kT() 则称T为V 的一个线性变换.
的多项式 设 表示定义在R上次数不超过 对 定义变换 T： 注1：定义式中（1），（2）可表示为 注2： 用粗体大写字母T, A，B，C，表示线性变换， 向量 在 T 下的像，记为T()或T. 例1： 全体的集合， 它构成一个线性空间， 故T 为 的一个线性变换.
例2：设A为一n阶实矩阵，对任意Rn，令 T= A,则T为Rn 中的线性变换. 证： T(+)=(+)A=A+A=T+T T(k)= (k)A=k(A)=k(T) 故 T 为 Rn 中的线性变换.
V 中两类特殊的线性变换： 1. 恒等变换 E E= , V 2. 零变换 O O= 0, V
定理1设 T 是V 的一个线性变换，则 (1)T把零向量变到零向量，把 的负向量变到 的像的负向量，即 T 0=0；T()= T. (2)T保持向量的线性组合关系不变, 即 T(k11+k22+kss)=k1T1+k2T2+ksTs. (3)T把线性相关的向量组变为线性相关的向量组.
对 V, kR. 定义2设 L(V) 是向量空间V的全体线性变换的集合,定义 L(V) 中的加法，数乘与乘法如下： 加法: (T1+T2) =T1+T2; 数乘: (kT)=kT 乘法: (T1T2)=T1(T2) 可证；若 T1, T2均为 V 的线性变换，则T1+T2，T1T2，均为 V 的线性变换.
=k11+k22+ … +kmm 二、线性变换的矩阵 设 V 为向量空间, dim(V)=m. 1, 2, … , m为V 的一组基，T 为V 的一个线性变换. T =k1 T1+k2 T2+ … +km Tm
设 即 (T1,T2,…,Tm)=(1,2,…,m)A 其中 T1 =a111+a212+ … +am1m T2 =a121+a222+ … +am2m （1） …………… Tm =a1m1+a2m2+ … +ammm （2） 简记为(1,2,…,m)=(1,2,…,m)A 称矩阵A为线性 变换T在基1, 2, … , m下的矩阵. 给定V的基1,2,…,m,线性变换T 矩阵A
定理3设 V 的线性变换 T有 (T1,T2,…,Tm)=(1,2,…,m)A 向量在基1, 2, … , m下的坐标为(x1, x2, … , xm)，T在此基下的坐标为(y1, y2, … , ym), 则
= (1, 2, … , m ) =x11+x22+ … +xmm 证明： T =x1 T1+x2 T2+ … +xm Tm = (1, 2, … , m ) A 所以
设 R3 的线性变换T 例3： T(x1, x2, x3)=(a11x1+a12x2+a13x3, a21x1+a22x2+a23x3, a31x1+a32x2+a33x3) 求 T 在标准基1, 2, 3下的矩阵. 解：T1=T(1, 0, 0)=(a11, a21, a31)= a111+a21 2+ a31 3 T2=T(0, 1, 0)=(a12, a22, a32)= a121+a22 2+ a32 3 T3=T(0, 0, 1)=(a13, a23, a33)= a131+a23 2+ a33 3
特例： 线性变换 T=k 数量矩阵kE 恒等变换 T= 单位矩阵E 零变换 T=0 零矩阵O
三、线性变换在新基下的矩阵 定理4设向量空间V有两组基，分别为 1,2,…,m；1,2,…,m 且 (1,2,…,m)=(1,2,…,m)C T(1,2,…,m)=(1,2,…,m)A T(1,2,…,m)=(1,2,…,m ) 则B=C1AC (1,2,…,m)B=T(1,2,…,m) 证明： T=(1,2,…,m)C=(1,2,…,m)AC =(1,2,…,m)C1AC故 B=C1AC
性质： = A B C1 C B =(FD)-1 C (FD) A =D-1 =D-1 D (F-1 CF ) D 设 A, B 为两 n 阶方阵，若存在可逆矩阵 C，使 B=C1AC, 则称方阵 A 与 B相似，记为A~B. 定义5 (1) A~A (反身性) (2) A~BB~A(对称性) (3)A~B, B~C A~C(传递性)
例5线性变换T在R3中基e1,e2,e3下的矩阵为 求T在基1=2e1+3e2+e3 , 2=3e1+4e2+e3 , 3=e1+2e2+2e3 下的矩阵. 解：从e1, e2, e3 到1, 2, 3的过渡矩阵
故线性变换 T 在 1, 2, 3 下的矩阵 B=C1AC
三、线性变换的特征值与特征向量 问题:线性变换在何种基下对应对角矩阵? 定义6设T是向量空间 V的一个线性变换,如果存在数 及 n维非零向量 ，使得 T = 成立，则称 为T的一个特征值，而 称为 T对应于特征值 的一个特征向量。 注：若 为 T的属于特征值 的一个特征向量, 则k (k0)也为T的属于特征值 的特征向量. T (k)= kT = k = (k)
T（ 1, 2, … , m ） ） =（ 1, 2, … , m 若 1, 2, … , m为T 的特征向量，且构成 V 的基 由 Ti= i i T在特征向量这组基下 对角矩阵 定理5设 V为m 维向量空间，T为 V的一个线性变换. 那么存在 V 的一组基，使得 T在这组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 T有 m个线性无关的特征向量.
A = 特征值，特征向量 的求法： 设1,2,…,m为V 的一组基 (T1,T2,…,Tm)=(1,2,…,m)A =x11+x22+ … +xmm T=x1T1+x2T2+…+xmTm =(1,2,…,m)A = =(1,2,…,m) =(1,2,…,m) 满足： 即 (A–E)X= 0
定义7设 A Rnn，如果存在数 及 n维非零向量 X，使得 AX= X 成立，则称 为矩阵 A的一个特征值，而 X称为矩阵 A对应于特征值 的一个特征向量。 注：T = AX= X( A– E ) X = 0 其中A 为在基1, 2, … , m下的矩阵. X为的坐标
定义3欧氏空间 V 的线性变换T称为正交变换，若对任意, V, 均有(T, T )=( , ) 定理2设A是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题等价： (1)T是正交变换； (2)T保持向量的长度不变，即对于任意的 V, ||T||=|| ||; (3)如果1,2,…,m是V的标准正交基,则T1, T2,…,Tm也是V的标准正交基； (4)T在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
