第7章多态性

第7章多态性 • 本章和下一章介绍类型论的一些概念，它们是程序设计语言的多态性和数据抽象的基础 • 这些概念与下面的语言概念有关 • Ada的程序包和类属 • C的模板 • ML以及相近语言Miranda和Haskell的多态性、抽象类型和模块等 • 现实语言出于效率上的考虑，所采用的副本没有相应的类型化演算那么灵活

7.1 引言 • 本章的主要内容 • 多态类型系统的语法，包括直谓式的，非直谓式的和type: type版本 • 直谓式多态演算，包括和其它两个系统之间的联系，它的等式证明系统和归约、多态声明 • 非直谓式多态演算的纵览 • 数据抽象和存在类型 • 类型表达式的分类

7.1 引言 7.1.2 类型作为函数变元 • 简单类型化演算有某种明显的缺点 • 很多有计算意义且有用的表达式不是良类型的 • 排序函数：希望能应用于许多不同类型的数据 Sort : (ttbool ) Array[prt t]  Array [prt t] • 多态函数 • 变元的类型可以有多种不同的情况 • 通过拓展抽象到允许对类型进行抽象，可以把拓展到包括多态函数

7.1 引言 • 再以更简洁一些的函数合成运算为例 composenat, nat, nat f : nat  nat.g: nat nat.x: nat.f (g x) composenat, natnat, natf : (nat  nat)  nat. g: nat  (nat  nat).x: nat.f (g x) composer, s, tf : s  t.g: r s.x: r.f (g x) composer : T. s: T. t: T. composer, s, t

7.1 引言 • 考察composer:T. s:T. t:T. composer, s, t • 对T（类型的集合）有几种可能的解释 • 类型应用 compose natnatnat = (r:T. s:T. t:T. f :s  t. g:r s. x:r. f (g x)) natnatnat = f :nat  nat. g:nat nat. x:nat. f (g x) • compose的类型是什么？

7.1 引言 • 以多态恒等函数为例 Id t : T. x : t. x • Id的定义域是T，但值域难以描述 • 一种表示：Id : (t :Tt t) t :Tt t是无限积 tT t t ： (nat  nat)  (bool  bool)  . . . (idnat  nat, idbool  bool, . . .)是该类型的一个值 Id nat = x : nat. x = idnat  nat Id bool = x : bool. x = idbool  bool • 代换仅在Id的类型上完成，而不是在函数本身上完成

7.1 引言 • 以多态恒等函数为例 Id t : T. x : t. x • Id的定义域是T，但值域难以描述 • 一种表示：Id : (t :Tt t) • 另一种表示： Id : t: T. t t t: T. t t是所有下述函数构成的类型：每个函数对所有的t:T，给出从t 到t 的一个映射 • 下面先只考虑第一种表示法

7.1 引言 • 对T有三种自然的选择为多态函数引入类型后，必须决定这些类型怎样来适合现在的类型系统 1、直谓式多态性 • T仅含用、和或及一组类型常量定义的类型 • 这是在已经定义了T的所有成员后才引入T 2、非直谓式多态性 • T还包含所有的多态类型（例如t: T. t t），但不把T本身作为一个类型

7.1 引言 • 对T有三种自然的选择为多态函数引入类型后，必须决定这些类型怎样来适合现在的类型系统 1、直谓式多态性 2、非直谓式多态性 3、type : type • 令T包含所有的类型，包括它本身 • 从计算的观点看，并非立即能看清楚：引入“所有类型的类型”后会引起什么错误

7.1 引言 • 三种多态性之间的简单区别 1、直谓式多态性 • Id仅能够应用于非多态类型，例如nat 或 (nat nat) • Id (nat nat) = x : nat nat. x 2. 非直谓式多态性 • Id可以应用到任何类型 • Id (t: T. tt) = x : (t: T. tt). x • 不可能把每个多态项都解释成集合论的函数 Id = {, x:. x | T}，其中序对 (t: T. tt), x: (t: T. tt). x的第一元包含Id

7.1 引言 • 三种多态性之间的简单区别 1、直谓式多态性 • Id (nat nat) = x : nat nat. x 2. 非直谓式多态性 • Id (t: T. tt) = x : (t: T. tt). x 3、type : type Id T = x:T. x(Id T): TT

7.1 引言 • 参数多态性和特定多态性 1、参数化多态性 • 一个多态函数对任何类型都使用“本质上一样的算法” 2、特定多态性 • 可以测试类型变元的值，根据它的类型类型选择某个分支 ad_hoc_compose  r: T. s: T. t: T.f : s  t. g: r s. x: r. if Eq? s t then f (f (g x)) else f (g x)

7.2 直谓式多态演算 7.2.1 类型和项的语法 • 的类型分成两类 • 类型全域 U1“小”全域 • 用构造的多态类型全域 U2“大”全域 • 各类表达式（上下文、类型表达式、项）的语法各由一个断言证明系统给出 • 在中将使用形式为 A: B的断言 • 是上下文，指出每个变量的类型或全域 • A是类型表达式，则B是U1，U2 • A是项，则B是类型表达式

7.2 直谓式多态演算 • 良形上下文的公理和推理规则 • 上下文是一个有序序列，它给变量以类型或全域 = v1 : A1, …, vk : Ak • 每个Ai必须仅在假设v1 : A1, …, vi -1 : Ai–1下就可证明为良形的 • 可以使用公理和推理规则来将它形式化 • 例：t : U1.x : t t.y: t. xy 确定xy类型时的上下文：t : U1, x : t t, y: t

 context , t : U1 context   : Ui , x :  context 7.2 直谓式多态演算 • 良形上下文的公理和推理规则 context (empty context) t不在中 (U1context) x不在中 (Uitype context)

, x : A context , x : Ax : A  A : B , x : C context , x : C  A : B 7.2 直谓式多态演算 • 良形上下文的公理和推理规则 (var) (add var) 这两条规则可用于多个类型系统第二条规则可用于推导x:A, y:B  x:A这样的断言

, x : A context , x : Ax : A   : U1,   : U1   : U1 7.2 直谓式多态演算 • U1和U2类型表达式的语法规则 • U1的类型表达式由三个公理和推理规则给出 b: U1 (cst U1) （限制到U1的变量） (var) (U1)

  : U1   : U2 , t : U1 : U2   ( t : U1. ): U2 7.2 直谓式多态演算 • 第二个全域U2包含类型U1和多态函数类型 (U1U2) (U2) • 虽然有属于U2的类型表达式，但是没有U2的变量 • 如果加了变量和抽象到U2上，它就会导致形式是t:U2.的类型，它将属于第三个全域U3

7.2 直谓式多态演算 • 例证明t: U1.tt是属于U2的良形的类型表达式 context 由(empty context) t: U1 context 由(U1 context) t: U1 t: U1 (var) t: U1 tt: U1 (U1) t: U1 tt: U2 (U1U2)  (t: U1.tt) : U2 (U2)

, x : A context , x : Ax : A  A : B , x : C context , x : C  A : B 7.2 直谓式多态演算 • 项的语法（先给,  预备项的文法） M ::= b | x | x:. M | MM | t: U1.M | M • 定型规则用来判断项是否为良类型的 (var) (add var)

, x : M :     : U1    : U1   (x : . M) :     M :     N :   MN : 7.2 直谓式多态演算 c: (cst) (Intro) (Elim) 任何项（可能包括了用类型变量取代类型常量）都是,的项

, t : U1M :    (t : U1. M) : (t: U1. )  M : (t: U1. )   : U1  M :[/t ]  M : 1 1 = 2 : Ui  M : 2 7.2 直谓式多态演算 ( Intro) (Elim) (type eq) 在类型t: U1.中将省略t所属的全域U1，写成t.

, t : U1M :    (t : U1. M) : (t: U1. )  M : (t: U1. )   : U1  M :[/t ]  M : 1 1 = 2 : Ui  M : 2 7.2 直谓式多态演算 ( Intro) (Elim) (type eq) 若 M是从公理和, 定型规则可推导，则说，M在上下文中是类型为的, 项

7.2 直谓式多态演算 • 规则U1 U2 和规则U1 :U2 1、规则U1 U2 • 可以只用一个形成规则 • U1 U2没有在该语言上设置任何额外的语义限制 2、规则U1 :U2 • 因为在任意U2类型上无任何有意义的运算，因此看起来没有任何理由取U1 :U2 • 在的非直谓式拓展中，加入U1 :U2规则将是一个合理的语言设计

7.2 直谓式多态演算 7.2.2 和其它形式多态性的比较 • 其它两种演算都可看成直谓式多态演算的特殊情况 • 非直谓式类型化演算强加“全域等式”U1= U2 • “type: type”演算强加了等式U1= U2和条件U1:U2

  : U2   : U1 7.2 直谓式多态演算 • 非直谓式演算 • 在, 中已经有U1 U2, • 加入逆向包含U2 U1来获得U1= U2 (U2U1)

7.2 直谓式多态演算 • 例 • 证明语法断言 (I (t.tt))I:  t.tt，其中I t:U1.x:t.x  由（, 的定型规则）  I: (t.tt)，其中(t.tt):U2  (t.tt):U1由(U2 U1)  I (t.tt) : (t.tt)  (t.tt) 由(Elim)  I (t.tt) I : (t.tt) 由(Elim)

7.2 直谓式多态演算 • type : type 加上U2= U1和U1:U2 • 对前者加语法规则（U2 U1） • 对后者加公理 U1:U2 (U1:U2) • 可以写出非常复杂的类型函数 • 一个有效的编译时的类型检查算法是不可能的

7.2 直谓式多态演算 • 的简化语法 • 第一个约定是使用两类变量项变量x, y, z, … 类型变量r, t, s, … 代表U1的类型 • 第二个约定对U1的类型表达式使用, , 1, … 对U2的类型表达式使用, , 1, … • U1和U2的类型表达式的语法  ::= t | b |   ::=  | t.

 M :  , x :   M :  7.2 直谓式多态演算 • 上下文  = {x1: 1, … , xk: k} －－不再需要类型变量 • 语法简化后的规则 {x: }  x:  (var)  c: (cst) (add var) (Intro) , x : M :    (x : . M) :   

7.2 直谓式多态演算  M :     N :   MN : (Elim) （t在中不是自由的） (Intro) (Elim)  M :    t . M : t.  M : t.  M :[/t]

7.2 直谓式多态演算 7.2.3 等式证明系统和归约 • , 等式的形式是 M = N:，其中M和N都是类型的项 • ,的等式推理系统是证明系统的一个拓展，增加了一些公理和推理规则 • 该证明系统包含 • 自反公理，对称和传递规则 • 同项形成规则对应的推理规则 • 同普通的抽象和应用对应的推理规则

7.2 直谓式多态演算 • 增加了类型抽象和类型应用公理   t. M = s. [st]M : t. ()   (t. M) = [t]M : [t] ()   t. Mt = M : t. t在M中没有自由出现 ()

7.2 直谓式多态演算 • 对类型抽象和应用，还有下面的同余规则 () ()  M = N :    t. M = t. N : t.  M = N : t.  M = N: [/t]

7.2 直谓式多态演算 • 这些等式公理可以从左向右定向,得到一个归约系统 • 例 (t.x: t.x)  y  (x: .x) y  y • 可以证明归约多态,项的合流性和强范式化 • 命题7.1归约保项的类型

7.2 直谓式多态演算 7.2.4 ML风格的多态声明 • ML的类型系统可看成 的一个拓展 • 主要区别是，ML包含多态的let声明 • 通过调查多态函数在 中的使用来启发这种let声明的形式 •  • 可以写出Id  (t. x : t.x): t. t  t • Id nat 3和Id bool true都是良类型的项 • 写不出(f :(t.t t). … f nat 3…f bool true)t.x:t.x 因为t. t  t是U2的一个类型

7.2 直谓式多态演算 • 对于U2类型，使用一种非常有限的变量约束形式，对需要多态函数的许多实际程序设计来说已经足够了 • 这种方式利用letx:  = NinM和(x:.M)N在语义上都等价于[N/x]M，而定型却不一样

7.2 直谓式多态演算 • 对于U2类型，使用一种非常有限的变量约束形式，对需要多态函数的许多实际程序设计来说已经足够了 • ML的方式 , let 使用 let x :  = N inM 表达式，增加规则和公理： (let)   (letx: = NinM) = [N/x]M: (let)eq , x :   M :   N :    (let x :  = N inM) : 

7.2 直谓式多态演算 • 例 • 考虑compose: r.s.t. 其中 = (st)  (rs)  (rt) • compose在一个表达式中使用多次，让其函数体仅写一次 • letx: (r.s.t.) = composein M，则 •   ( letx: (r.s.t.) = composein M) = [compose/x]M:  • 避免写下面的表达式，并能达到同样的效果 (f :(t.t t). … f nat 3…f bool true)t.x:t.x

7.3 非直谓式多态演算 7.3.1 引言 • 非直谓式多态演算忽略直谓式 的全域U1和U2的区别 • 由所有类型的一个聚集T来代替U1和U2 • 用表示，以区别直谓式系统 •  • 类型由文法  ::= b | t |    | t. 定义，无须用公理和推理规则给出

7.3 非直谓式多态演算 •  • 类型表达式的文法  ::= b | t |    | t. • 项的形成依据 7.2.2节的变量公理(var)、常量公理(cst)、增加自由变量类型假设的规则(add var)、规则( Intro)、规则( Elim)、规则( Intro)和规则( Elim) 这些规则中的由代替并且对有关的类型全域没有限制

7.3 非直谓式多态演算 • 非直谓演算可能是最广泛研究的一种多态性 1、其语法的简单性 • 该语言语法上比 简单，因为没有全域的限制 • 但是证明它的强范式性非常困难 2、语义的复杂性 • 想提供直观和数学严格的语义，本质上很困难 • 多态恒等函数可应用到它自己的类型，造成了不可能把这样的类型解释成普通集合论函数的集合 Id = {, x: . x | T}，其中序对 (t: T. tt), x: (t: T. tt). x的第一元包含Id

7.3 非直谓式多态演算 • 非直谓演算可能是最广泛研究的一种多态性 3、编程的灵活性 • 提供了一个非常灵活的多态类型系统，象Ada、CLU和ML等语言的多态性特征都可以看成是作了某种限制的多态性 • 可以用中的抽象来模仿ML的let  letx:t. = M inN:（ ML方式）它是项  (x:t..N)M:的一种语法美化

7.3 非直谓式多态演算 7.3.2 非直谓式多态演算的表达能力给出一个例子来展示非直谓式多态演算的表达能力在二阶Peano算术中可证明为全函数的递归函数恰好是在非直谓式多态演算中可以定义的数值函数这是多态演算和二阶逻辑的证明论之间的联系的一部分在此仅概述数值函数的某些表示方面的内容

7.3 非直谓式多态演算 • 在无类型常量的纯中，自然数类型的一种自然选择 • 若有常量zero:nat和succ:natnat，则可以用表达式 succ(succ…(succ zero)… ) 表示自然数n • 在纯中，没有常量zero和succ，但是可以把这些符号当作变量看待，并且对它们进行抽象 zero:nat.succ:natnat.succ(succ…(succ zero)…)

7.3 非直谓式多态演算 • 类型名nat是任意选择的，把这个符号也当作变量看待，并且对它进行抽象 nat.zero:nat.succ:natnat. succ(succ…(succ zero)…) • 通常用更简单的变量名写出，作为自然数的一种有用表示(Church数码) n  t.f : t  t.x : t. f nx • 所有的Church数码都具有类型 nat  t.(t  t) t  t

7.3 非直谓式多态演算 • 多态Church数码上的加法和乘法运算是合成函数的形式 • mult x:nat.y:nat.t.f: tt.x t (y t f) • add  x:nat.y:nat.t.f: tt.z:t.x t f (y t f z)

7.3 非直谓式多态演算 mult 2 3  (x:nat.y:nat.t.f: tt.x t (y t f)) (t.f : t  t.x : t. f 2x) (t.f : t  t.x : t. f 3x) = t.f: tt. (t.f : t  t.x : t. f 2x) t ((t.f : t  t.x : t. f 3x) t f) = t.f: tt. (t.f : t  t.x : t. f 2x) t (x : t. f 3x) = t.f: tt. (x : t. (x : t. f 3x) ((x : t. f 3x) x)) = t.f: tt. (x : t. (x : t. f 3x) (f 3x)) = t.f: t  t. x : t. f 6x  6

7.3 非直谓式多态演算 • 还可以用一个正好带两个范式的类型来表示布尔值 • true  t.x:t.y:t.x • false  t.x:t.y:t.y • bool t.ttt • zero?  x:nat.x bool (x:bool.false) true

7.3 非直谓式多态演算 7.3.3归约的终止性略去不介绍

第7章 多态性