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§ 20.4 正方形的判定

§ 20.4 正方形的判定. 合兴初级中学 唐臣. A. D. B. C. 2. 正方形的性质 ：. 正方形的性质定理 1 ：. 正方形的四个角都是直角。. 正方形的四条边都相等. 正方形的性质定理 2 ：. 正方形的两条对角线相等. 正方形的两条对角线互相垂直平分. 正方形的每条对角线平分一组对角. 选择题： 1 、正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ）。 （ A ）四条边相等； （ B ）对角线互相垂直平分； （ C ）对角线平分一组对角； （ D ）对角线相等。.

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§ 20.4 正方形的判定

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Presentation Transcript

  1. § 20.4 正方形的判定 合兴初级中学 唐臣

  2. A D B C 2. 正方形的性质： 正方形的性质定理1： 正方形的四个角都是直角。 正方形的四条边都相等. 正方形的性质定理2： 正方形的两条对角线相等. 正方形的两条对角线互相垂直平分. 正方形的每条对角线平分一组对角.

  3. 选择题： 1、正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ）。 （A）四条边相等； （B）对角线互相垂直平分； （C）对角线平分一组对角； （D）对角线相等。 2、正方形具有而矩形不一定有的性质是（ ）。 （A）四个角相等； （B）对角线互相垂直平分； （C）对角线相等； （D）对角互补。

  4. 平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系？

  5. 矩形 菱形 平行四边形 四边形 正方形 基于这些关系,你认为判定一个图形是正方形能有哪些方法呢？

  6. 一组邻边相等 有一个直角 正方形 一个角是直角且一组邻边相等 一组邻边相等 有一个直角

  7. 正方形的定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

  8. 正方形判定： 1、有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形； 2、有一组邻边相等的矩形是正方形； 3、有一个角是直角的菱形是正方形。

  9. 练习：判断 （1）四个角都相等的四边形是正方形。 （2）四条边都相等的四边形是正方形。 （3）对角线相等的菱形是正方形。 （4）对角线互相垂直的矩形是正方形。 （5）对角线垂直且相等的四边形是正方形。 （6）四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形。

  10. A D E B C F 例1.已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F. 求证：四边形DEBF是正方形. 证明:∵ DF⊥BC,DE⊥AB, ∴ ∠DEB= ∠DFB=90°, 而∠ABC=90°, ∴四边形DEBF是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形） ∵ BD平分∠ABC, DF⊥BC , DE⊥AB, ∴ DE= DF（ 角平分线上的点到角的两边距离相等）, ∴四边形DEBF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.

  11. D′ A D 2 1 A′ C′ 3 B C B′ 已知：如图，点A′B′C′D′分别是正方形 ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′ 求证：四边形A′B′C′D′是正方形 证明： ∵四边形ABCD是正方形 （正方形的四条边都相等） ∴AB=BC=CD=DA 又 AA′=BB′=CC′ =DD ′ ∴ D ′ A = A ′B = B ′C = C ′D ( 正方形的四个角都是直角） ∵∠A =∠B =∠C =∠D=900 ∴ △AA ′D ′≌△BB ′A ′≌△CC ′B ′≌△DD ′C ′ ∴ D ′ A ′ =A ′ B ′ =B ′ C ′ =C ′ D ′ （四条边相等的四边形是菱形） ∴ 四边形 A′B′C′D′是菱形 ∴ ∠1 + ∠ 3=900 又 ∠2 =∠ 3 ∠ 1 +∠ 2=900 ∵ ∠ D′A′B′= 1800－( ∠1 + ∠ 3)=900 （有一个角是直角的菱形是正方形） ∴ 四边形 A′B′C′D′ 是正方形

  12. 活动2：在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F. 1)试说明:DE=DF 2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形. 请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外 添加辅助线,无需证明)

  13. D A P F B C E 例2如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。试说明：AP=EF 解: 连接PC ∵PE⊥BC ， PF⊥DC 而四边形ABCD是正方形 ∴∠FCE=90° ∴四边形PECF是矩形 ∴PC=EF 又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形 ∴AP=PC ∴AP=EF

  14. 已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线 上一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 　　 求证：∠MFD＝45° 分析： 欲证∠MFD＝45°，由于 △MDF是直角三角形,只须证△MDF是等腰三角形,即只要证 _____=_____ 要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等? 试一试 看能不能完成证明??? △CMD≌△ADF

  15. 例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45°例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45° 证明： 　∵CE⊥AF ∴∠ADC＝∠AEM＝90°又∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2　又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC　∴Rt△CDM≌Rt△ADF(AAS) ∴DM=DF 下面的证明请大家完成

  16. 如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：∠CEA＝∠ABG如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：∠CEA＝∠ABG 分析：欲证∠CEA＝∠ABG， 大家想一想证明两个角相等的方法， 你有办法了吗？？？通过自己的努力，看能不能解决问题？ 证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。　　　　∴AE＝ABAG＝AC　∠1＝∠2＝90°　　　　又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC　　　　 ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC　　　　∴∠EAC＝∠BAG　　　　∴△AEC≌△ABG(SAS) 　　 ∴∠CEA＝∠ABG

  17. 谢 谢 ！ 再见!

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