Лихва, кредит, рента

1. Едно от основните приложения на прогресиите е пресмятането на лихви, ренти и вноски за погасяване на заеми. Лихва, кредит, рента

2. A)Определение: Възнаграждението, което се изплаща за използването на определена парична сума (капитал) за даден период от време, се нарича лихва. Б)основни понятия: • капитал • лихвен процент • лихвен период 1. Лихва

3. Лихвата, която се изплаща, когато в края на всеки лихвен период се олихвява само първоначалната сума (началена капитал или главница), се нарича проста лихва. 2. Проста лихва

4. лихвата и нарасналият капитал се пресмятат по формулите: n- период на олихвяване, р-лихвен процент, К-първоначален капотал , L n - лихва и Кn -нарастнал капитал

5. Олихвяването обаче може да става и на по-малки периоди от време • Ако олихвяването се извършва всеки месец, то в горната формула множителят • (р е годишният лихвен процент) се заменя с • Формулата за изчисляване става: • . Лихвеният процент р обикновено се задава за период от една година и се нарича годишен лихвен процент или само лихвен процент.

6. Пример 1. Заем от 3000 лв. се изплаща за 5 месеца при 12% годишна проста лихва. Каква сума трябва да се изплати на края на петия месец? • Имаме p=12, K=3000, n=5 , K5=? • Трябва да се изплатят 3150 лв.

7. Пример 2. Ако искате да постигнете 10% годишна печалба от инвестиция, каква сума (с точност до 0,01 лв.) би трябвало да заплатите за книжа, които след 9 месеца биха донесли 8000 лв.? • Търсим началния капитал К при p=10%, K9=8000, n=9 • (за период от 9 месеца). • Като заместим във формулата се получава • Или

8. Пример 3. Какъв годишен процент печалба ще се постигне, ако се платят 3000 лв. за книжа, които след 6 месеца биха донесли 3300 лв.? • Търсим годишния лихвен процент р • при K=3000лв., K6 =3300лв. получааме • Откъдето p= 20 %

9. Понякога се използват и по-малки периоди на олихвяване, например дни. Финансовите институции обикновено използват 360-дневна година, но понякога се използва и 365-дневна година. Навсякъде по-нататък при изчисленията ще използваме 360 - дневна година.

10. Пример 4. Полица има срок на погасяване 270 дни и стойност 2500 лв. при 10% годишна проста лихва. (Това означава, че след 270 дни са платими главницата от 2500 лв. и лихвата.) Ако след 150 дни полицата се продаде за 2600 лв., какъв процент годишна печалба би постигнал новият купувач? Първо ще пресметнем каква сума ще донесе полицата след изтичане на 270-дневния период

11. Сега трябва да намерим каква печалба би се реализирала за 120 дни (270-150=120) ако сума от 2600 лв. нарасне на 2687,50 лв.: P ≈10,1 %

12. Най-често лихвата се прибавя към основния капитал и се олихвява заедно с него в края на следващия период. По този начин лихвата става капитал и носи печалба,а получената по този начин лихва се наричакапитализиранаили сложна лихва

13. Лихвата се нарича сложна, когато в края на всеки лихвен период се прибавя към основния капитал и се олихвява заедно с него в края на следващия период. 3. Сложна лихва

14. Формула за сложна лихва • Ако К е началният капитал, • р е лихвеният процент • n е броят на периодите на олихвяване, • то нарасналият капитал след изтичане на n периода се пресмята по формулата:

15. В таблицата по-долу можете да проследите и сравните как се изменя началният капитал при проста и сложна лихва в продължение на 12 години. От диаграмата се вижда много добре, че при сложна лихва, понеже редицата от сумите образува геометрична прогресия, нарастването е експоненциално.

16. Годишен лихвен процент 10Основен капитал 1000

18. В следващата таблица и диаграма можете да видите как се изменя лихвата при даден лихвен процент в зависимост от това дали лихвата е сложна или проста и в зависимост от това на какви периоди се извършва капитализирането. Можете да променяте годишния лихвен процент, сумата, която се олихвява, и периода (в години) на олихвяване

20. Навсякъде в следващите примери се предполага, че е даден годишен лихвен процент и лихвата е сложна. • Пример 5. Родители внесли за десетия рожден ден на детето си 4000 лв. при сложна лихва 4%. Каква ще бъде сумата, когато детето навърши 18 години? • При , K=4000, n=18-10=8 се получава • След 8 години нарасналата сума е 5474,28 лв.

21. Пример 6. Каква сума трябва да се внесе при 5% сложна лихва, за да се получат след 5 години 10 000 лв.? • Ако ,K=10000 , p=5 намираме • Трябва да се внесат 7835,26 лв

22. Пример 7. При какъв лихвен процент (с точност до 0,1%) началният капитал K ще нарасне 1,5 пъти за 6 години? • От • При • и n=6 намираме

23. Често капитализирането на лихвата се извършва на периоди, по-малки от една година. В такъв случай годишният лихвен процент се намалява толкова пъти, колкото пъти периодът е по-малък от една година. Например при годишен лихвен процент 3% и месечно капитализиране на лихвата всеки месец капиталът се олихвява с 3:12 =0,25% .

24. Пример 8. В банка са вложени 1500 лв. на срочен месечен депозит при годишен лихвен процент 3,6%. Каква ще бъде сумата след 18 месеца? • K=1500, n=18 и месечният лихвен процент е p=3,6:12=0,3% • . Имаме • След 18 месеца сумата ще е 1583,10 лв.