§7.1 多元函数

1. §7.1 多元函数

2. 一、多元函数的概念 1.引例 例1矩形面积S与长x，宽y有下列依赖关系 S=xy (x>0,y>0)， 其中长x和宽y是两个独立的变量，在它们变化范围内，当x，y的值取定后，矩形面积S有一个确定值之对应.

3. 例2设R是电阻 并联后的总电阻，由电学知道，他们之间有关系 对于 在一定的范围内取一对确定的值，R都有唯一确定的值与之对应。

4. 定义1设有三个变量x，y，z，如果对于变量x，y的变化范围内所取的每一对值，变量z都按照一定的规则，有一个确定的值与之对应，则称z为x，y的二元函数，记作定义1设有三个变量x，y，z，如果对于变量x，y的变化范围内所取的每一对值，变量z都按照一定的规则，有一个确定的值与之对应，则称z为x，y的二元函数，记作 z=f(x,y)或 z=z(x,y)， 其中x，y称为自变量，z称为函数(或因变量).自变量x，y的变化范围称为函数的定义域.

5. 当自变量x，y分别取x0，y0时，函数z的对应值z0，记作z0=f(x0,y0)，称为二元函数z=f(x,y) 当x=x0，y=y0，时的函数值. 类似地，可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以上的函数.二元以及二元以上的函数统称为多元函数.

6. 解 自变量x，y必须满足不等式 例3求出二元函数 的定义域. 即函数定义域.

7. 2、二元函数的极限 邻域 以点P0(x0,y0,z0)为圆心，δ>0为半径的开圆域，称为点P0的δ邻域.该邻域的点P(x,y)，满足不等式 点P0的去心δ邻域(即不含圆心的邻域)可表示为

8. 或 或 定义2设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有 定义，如果动点P(x,y)在该邻域内以任意方式趋于定点 P0(x0,y0)时，函数的对应值f(x,y)趋于一个确定数A，则 称A为函数z=f(x,y)，当 时的极限，记作

9. 例4 求极限 解：

10. 例5讨论二元函数 当P(x,y)→O(0,0)时，极限是否存在. 解 当P(x,y)沿x轴趋于点O(0,0)时， 即y=0，f(x,y)=f(x,0)=0 (x≠0)， 当P(x,y)沿y轴趋于点O(0,0)时，即x=0，f(x,y)=f(0,y)=0(y≠0)，

11. 当P(x,y)沿直线y=kx轴趋于点O(0,0)时， 即f(x,y)=f(x,kx)= (x≠0)， 其极限值随直线斜率k的不同而不同.因此 不存在.

12. 3、二元函数的连续性 定义3设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义，如果当点P(x,y)趋于定点P0(x0,y0)时，函数z=f(x,y)的极限等于f(x,y)在点P0(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)，即 则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续.

13. 这个增量称为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)上的全增量.现在用函数的全增量来表述函数在一点处连续的定义.记这个增量称为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)上的全增量.现在用函数的全增量来表述函数在一点处连续的定义.记 ，定义3中的等式 就相当于 如果在点P0(x0,y0)处，自变量x，y各取增量△x，△y，函数随之取得增量△z，即

14. 定义4设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义，在点P0处的增量为△z，如果定义4设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义，在点P0处的增量为△z，如果 则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续. 即 于是与定义3等价的另一个定义是：

15. 如函数 等， 都是二元初等函数，在它们有定义的区域内都是连 续的. 由变量x，y的基本初等函数及常数经过有限次四则运算或复合步骤而构成的，且用一数学式子表示的函数称为二元初等函数. 二元初等函数在其定义区域(是指包含在定义域内的区域)内是连续.

16. 如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续，则称点P0(x0,y0)是函数f(x,y)的不连续点，或称间断点.如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续，则称点P0(x0,y0)是函数f(x,y)的不连续点，或称间断点. (2) 在点P0(x0,y0) 有定义， 不存在， (3) 在点P0(x0,y0) 有定义，且 存在，但 与一元函数情形类似，如果函数z=f(x,y)有下列情形之一： (1)在点P0(x0,y0)没有定义， 则点P0(x0,y0)为函数的z=f(x,y)的间断点.