第八章线性动态电路的时域分析

（linear dynamic circuit time domain analysis） 第八章线性动态电路的时域分析稳态：在前面介绍的电路中，外施激励源不管是交流、直流还是非正弦周期变化的，我们认为其作用在电路上已经很久，因此只要电路的结构和参数一定，电路中的响应也是呈交流、直流或非正弦周期规律变化。电路的这种工作状态称为稳态（steady state ）。暂态：电路的工作条件突然变更，如①开关动作（switching ）②故障（fault）③参数的变化，电路的稳态遭到破坏，电路中的响应出现变动，经过一段时间后，电路中电流、电压又会达到一个新的稳定值，即达到新的稳态。电路从一个稳态到另一个稳态之间的过渡过程称为暂态。研究电路的暂态①可以确定电力系统的保护措施。②避免电路的振荡③可获得最优最快的控制特性。线性动态电路：电路暂态的存在是由于电路包含了电容、电感两种储能元件，其能量的变化需要过程。电容、电感也称为动态元件，含有线性动态元件的电路称为线性动态电路，简称动态电路。

一、动态电路的微分方程 第一节动态电路的初始条件和初始状态 1）换路：电路工作条件的改变称为换路。将换路发生的瞬间称为初始瞬间（initial instant）记为t=t0,一般取t=0,把换路前趋近于换路时的一瞬间记为t=0-（ t= t0-），把换路后的初始瞬间记为t=0+（ t= t0+） 2）状态：电路中电容上的电压和电感上的电流直接反映了电路的储能情况，因此常常将uC(t)，iL(t)称为电路的状态。它们是确定电路响应的最少信息（数据），一般以其为变量即所谓的状态变量列写动态电路的方程。uC(0- )，iL(0- )为换路前瞬间电路的状态，uC(0+)，iL(0+ )为换路后初始瞬间的状态，简称初始状态。由初始状态可以确定电路其它电气量换路后初始瞬间的值，即初始条件。 3）换路后电路方程：仍由KL及VRA可得动态电路的微分方程。 ①以uc(t)为变量

一、动态电路的微分方程 ②以il(t)为变量二、换路定律： ①对于线性电容，在任意时刻t其电压（电荷）与电流的关系为：初始瞬间

一般的电路在换路瞬间通过电容的电流为有限值，同时时间是连续的所以：一般的电路在换路瞬间通过电容的电流为有限值，同时时间是连续的所以：换路定理：电容上电荷和电压换路先后不发生跃变。（通过电流为有限值时） ②对于线性电感，在任意时刻t其电流（磁链）与电压的关系为：初始瞬间一般的电路在换路瞬间加在电感的电压为有限值，同时时间是连续的所以：电感上磁链和电流换路先后不发生跃变。（所加电压为有限值时）

求得换路前电路稳态时的状态，由换路定律可得电路的初始状态，在t=0+时，将电容看作值为uC(0+)的电压源，电感看作值为iL(0+ )的电流源，独立源取t=0+的值，从而建立t=0+的电路模型，求得电路的初始条件。二、换路定律例：图示电路 ①画出t= 0- 的电路图，求开关打开前uC (0-),iL(0-) ②由换路定理，画出t=0+的电路图，进一步可求各阶导数的初始值

a b 动态电路的响应由两种激励(excitation)产生：①独立电源的输入（input)（外施激励源） ②动态元件储能的释放即初始状态（state）（内部激励源）。外施激励源为零，由初始状态引起的响应称为零输入响应（zero-input response）;初始状态为零，由外施激励源引起的响应称为零状态响应（zero-state response）。外施激励源和初始状态共同引起的响应称为全响应（complete response）第二节一阶电路的零输入响应一阶电路的定义：换路后，电路中仅含一个或者可以等效为一个储能元件的线性电路，其电路方程是一阶常系数微分方程，称为一阶电路（first order circuit）。一、一阶RC电路的零输入响应：如图所示电路，换路前电路已达稳态，电容器充电至电源电压：在t=0时，开关突然由a打向b，电容通过电阻R形成回路放电，此时电路已没有外施激励源，其中的响应由电容的初始状态引起，即零输入响应。由KVL得：

a b 上式是关于uc的一阶齐次微分方程，用分离变量法解之 RC电路方程变形为：两边取积分：任意一阶RC电路的零输入响应为：

①换路瞬间电容电压保持不变，电流发生突变形成放电过程。换路后，所有的响应都是是按相同的指数规律衰减。①换路瞬间电容电压保持不变，电流发生突变形成放电过程。换路后，所有的响应都是是按相同的指数规律衰减。一阶RC电路的零输入响应有以下特点： ②衰减的指数规律仅由电路的结构和参数决定与变量的选择无关。 ③衰减的速度取决于1/RC（衰减系数）。 ④响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增大几倍。 ⑤一阶RC电路的零输入响应是靠电容中储存的电场能的释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后以能量的耗尽而告终。此为一阶RC电路的零输入响应的实质。WR=WC 一阶RC电路的零输入响应的求解步骤： ①求解电路换路前的各值。 ②求解电路换路后初始值。（第一节） ③求时间常数： ④代入（*）式。

如图所示电路，换路前电路已达稳态： 二、一阶RL电路的零输入响应：在t=0时，开关突然合上，电感通过电阻R形成回路，此时电路已没有外施激励源，电路中的响应由电感的初始状态引起，即为零输入响应。由KVL得：上式是关于iL的一阶齐次微分方程，用分离变量法解之方程变形为：两边取积分：

①换路瞬间电感电流保持不变，电压发生突变释放磁场能。换路后，所有的响应都是是按相同的指数规律衰减。①换路瞬间电感电流保持不变，电压发生突变释放磁场能。换路后，所有的响应都是是按相同的指数规律衰减。一阶RL电路的零输入响应有以下特点： ②衰减的指数规律仅由RL电路的结构和参数决定与变量的选择无关。 ③衰减的速度取决于R/L（衰减系数）。 ④响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增大几倍。 ⑤一阶RL电路的零输入响应是靠电感中储存的磁场能的释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后以能量的耗尽而告终。此为一阶RL电路的零输入响应的实质。WR=WL 一阶RL电路的零输入响应的求解步骤： ①求解电路换路前的各值。 ②求解电路换路后初始值。（第一节） ③求时间常数： ④代入（*）式。

①响应模式： 线性一阶电路的零输入响应的要点： ②时间常数决定于电路的结构和参数。 ③一阶电路的零输入响应与其换路后的初始值成正比第三节一阶电路的零状态响应一、一阶RC电路的零状态响应：如图所示电路，开关闭合前电容器未充电即处于零状态：开关闭合后，电源通过R、C形成回路，给电容充电。此时电路的初始状态为零，响应由外施激励源引起，为零状态响应。此为一阶常系数非齐次微分方程其解由两部分组成：

①通解(general solution ): 一阶RC电路的零状态响应： ②特解(particular solution)：一般与微分方程常数项（外施激励源）的形式相同，是满足原非齐次微分方程的一个解。由电路知US是换路后电路重新达到稳态即t=∞时电容电压。从上述过程可以看出：

①电容上的电压（状态）从初始值开始逐渐增加，最后达到新的稳态值。它由两部分组成：①电容上的电压（状态）从初始值开始逐渐增加，最后达到新的稳态值。它由两部分组成：一阶RC电路的零状态响应有以下特点： a:稳态分量(steady stat component)：方程的特解即电路达到稳态时的稳态值。它受外施激励源制约，也称为强制分量(forced component) b:暂态分量(transient component)：方程的通解其变化规律与零输入响应相同按指数规律衰减为零，只在暂态过程中出现故称暂态分量。其形式与外施激励源无关也称为自由分量(force-free component )。起始值与外施激励源有关。 ②电流在换路瞬间发生突变，其值为US/R即换路后的初始值，电路以此值开始给电容充电，随着极板上的电荷增多电容电压的增大，i=(US-uC)/R减小，最后为零，电容电压为US。 ③一阶RC电路的零状态响应实质是电路储存电场能的过程。电源在充电过程中提供的能量，一部分转化成电场能储存在电容中，一部分被电路中的电阻消耗。且有 WC=WR电源提供的能量只有一半储存在电容中。充电效率50﹪，与电阻电容数值无关。

如图所示电路，开关闭合前电感中无电流电即处于零状态：如图所示电路，开关闭合前电感中无电流电即处于零状态：二、RL电路的零状态响应：开关闭合后电源通过R、L形成回路，此时电路的初始状态为零，响应由外施激励源引起，为零状态响应。其解由两部分组成：

①电感上的电流（状态）从初始值开始逐渐增加，最后达到新的稳态值。其暂态分量和稳态分量的意义与RC电路相同。①电感上的电流（状态）从初始值开始逐渐增加，最后达到新的稳态值。其暂态分量和稳态分量的意义与RC电路相同。一阶RL电路的零状态响应有以下特点： ②电压在换路瞬间发生突变，其值为US即换路后的初始值，电路以此值开始在线圈中储存磁场能。 ③一阶RL电路的零状态响应实质是电路储存磁场能的过程。电源提供的能量，一部分转化成磁场能储存在电感中，一部分被电路中的电阻消耗。且有 WL=WR电源提供的能量只有一半储存在电感中。储能效率50﹪，与电阻电感数值无关。外施激励源为直流时的一阶电路的零状态响应的步骤如下： ①求出换路后动态元件以外的戴维南等效电路。 ②据状态变量的响应模式得： ③将电容看作电压源、电感看作电流源回到换路后的原电路按电路的基本约束关系求解其它电压和电流。

在图示一阶RL零状态电路中，若： 三、外施激励源为正弦量的一阶电路的零状态响应：此方程仍为一阶线性非齐次微分方程，其解由两部分组成： ①特解：与外施激励源的变化规律相同。电路达到稳态时的稳态值，是与外施激励源同频率的正弦量。用相量法求之： ②通解(暂态分量)： (稳态分量在起始时刻的值)

电感电流 电感电流由稳态分量和暂态分量共同组成。暂态分量经一定时间衰减后，电路进入稳定状态。暂态分量的大小与稳态分量起始时刻的值成正比。外施激励源为正弦量时的一阶电路的零状态响应的步骤如前。实为求解稳态值和时间常数两要素。直流激励可看作正弦激励的特例。

第三节一阶电路的全响应三要素法

第八章 线性 动态 电路的时域分析