Φυσική Γεωδαισία

1. Φυσική Γεωδαισία Παρουσίαση 6η: Εισαγωγή στη σφαιρική αρμονική ανάλυση στο πεδίο βαρύτητας Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής

2. Περιεχόμενα παρουσίασης • Αρμονικές συναρτήσεις • Σφαιρικές αρμονικές • Πολυώνυμα και συναρτήσεις Legendre • Αναπτύγματα σε σφαιρικές αρμονικές • Το γήινο δυναμικό έλξης σε σφαιρικές αρμονικές • Η ανάπτυξη του διαταρακτικού δυναμικού • Ανωμαλίες βαρύτητας, αποχές γεωειδούς, αποκλίσεις κατακορύφου

3. Συναρτήσεις βάσης Fourier Ανάπτυγμα πραγματικής συνάρτησης f(t) ορισμένης στο διάστημα [0,T ] σε σειρά Fourier απλούστερη μορφή: Βάση Fourier (συναρτήσεις βάσης):

4. +1 0 –1 f(x) Παράδειγμα αναπτύγματος συνάρτησης σε σειρά Fourier ανάλυση κάθε όρου χωριστά για k = 0, 1, 2, 3, 4, …

5. +1 +1 0 0 –1 –1 f(x) k = 0 συνάρτηση βάσης

6. +1 +1 0 0 –1 –1 f(x) k = 0 όρος σειράς

7. +1 +1 +1 0 0 0 –1 –1 –1 f(x) k = 1 συναρτήσεις βάσης

8. +1 +1 +1 0 0 0 –1 –1 –1 f(x) k = 1 όροι σειράς

9. +1 +1 +1 0 0 0 –1 –1 –1 f(x) k = 2 συναρτήσεις βάσης

10. +1 +1 +1 0 0 0 –1 –1 –1 f(x) k = 2 όροι σειράς

11. +1 +1 +1 0 0 0 –1 –1 –1 f(x) k = 3 συναρτήσεις βάσης

12. +1 +1 +1 0 0 0 –1 –1 –1 f(x) k = 3 όροι σειράς

13. +1 +1 +1 0 0 0 –1 –1 –1 f(x) k = 4 συναρτήσεις βάσης

14. +1 +1 +1 0 0 0 –1 –1 –1 f(x) k = 4 όροι σειράς

15. +1 f(t) 0 –1

16. Αρμονικές συναρτήσεις • Αρμονική συνάρτηση σε πεδίο V συνάρτηση που ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace σε κάθε σημείο του V • Κάθε αρμονική συνάρτηση είναι αναλυτική  συνεχής στο πεδίο ορισμού της και έχει συνεχείς παραγώγους οποιασδήποτε τάξης  ανάπτυξη σε σειρά κατά Taylor • Η απλούστερη αρμονική συνάρτηση είναι η συνάρτηση του αντιστρόφου της απόστασης • Είναι αρμονική; (ικανοποιεί την εξίσωση Laplace)

17. Αρμονικές συναρτήσεις • Εξίσωση Laplace σε συνάρτηση V  Z (x,y,z) Απόσταση l (ξ,η,ζ) O Y X

18. Υπολογισμοί για το δυναμικό έλξης Διαφορικές εξισώσεις Poisson και Laplace • Έχει αποδειχθεί (Παρουσίαση 3η) ότι στο χώρο εντός των μαζών ισχύει: • Ενώ σε χώρο έξω από τις μάζες όπου ρ = 0 (εκτός της συνοριακής επιφάνειας S) Διαφορική εξίσωση Poisson Διαφορική εξίσωση Laplace

19. Υπολογισμοί για το δυναμικό έλξης Διαφορικές εξισώσεις Poisson και Laplace • Έξω από τις μάζες το δυναμικό, οι παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης είναι πεπερασμένες και συνεχείς συναρτήσεις Εξίσωση Laplace  δυναμικό αρμονική συνάρτηση  δυνατότητα ανάπτυξης σε σειρά (σφαιρικές αρμονικές) • Μέσα στις μάζες το δυναμικό και οι παράγωγοι πρώτης τάξης (συνιστώσεις ελκτικής δύναμης) είναι συνεχείς. Κάποιες από τις παραγώγους 2ης τάξης παρουσιάζουν ασυνέχειες (συνάρτηση πυκνότητας)  Εξίσωση Poisson • Στη συνοριακή επιφάνεια S το δυναμικό και οι παράγωγοι πρώτης τάξης είναι συνεχείς. Οι δεύτερες παράγωγοι παρουσιάζουν ασυνέχεια  εξίσωση Poisson

20. Υπολογισμοί για το δυναμικό της βαρύτητας • Το φυγοκεντρικό δυναμικό δεν είναι μία αρμονική συνάρτηση αφού • Επομένως το συνολικό δυναμικό της βαρύτητας δεν είναι σε καμία περίπτωση (εντός ή εκτός των μαζών) μία αρμονική συνάρτηση • Το δυναμικό της βαρύτητας δεν είναι δυνατό να αναπτυχθεί σε σειρά Εντός των μαζών ή πάνω στη συνοριακή επιφάνεια Γενικευμένη εξίσωση Poisson Εκτός των μαζών Γενικευμένη εξίσωση Laplace

21. Αρχές ανάπτυξης δυναμικού έλξης σε σειρά • Το δυναμικό έλξης είναι αρμονική συνάρτηση (ικανοποίηση εξίσωσης Laplace) εκτός των μαζών • Είναι δυνατό να αναπτυχθεί σε σειρά δυνάμεων εφαρμογή σε σφαιρική κλίμακα Προσαρτημένες συναρτήσεις Legendre  οικογένεια λύσεων της διαφορικής εξίσωσης του Laplace

22. Σφαιρικές αρμονικές Μετασχηματισμός συνάρτησης Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες • Η σημαντικότερη οικογένεια αρμονικών συναρτήσεων που αφορούν στο πεδίο βαρύτητας είναι οι σφαιρικές αρμονικές (spherical harmonics) • Απαραίτητος ο μετασχηματισμός σε σφαιρικές συντεταγμένες

23. Σφαιρικές αρμονικές Μετασχηματισμός συνάρτησης Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες • Το στοιχειώδες μήκος dsμεταξύ δύο σημείων του χώρου

24. Σφαιρικές αρμονικές Μετασχηματισμός συνάρτησης Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες • Χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες σχέσεις και διαφορίζοντας ως προς τις σφαιρικές συντεταγμένες προκύπτει η εξίσωση Laplace • Πολλαπλασιάζοντας με r2διαχωρίζεται η διαφορική σε δύο τμήματα, ένα που εξαρτάται μόνο από την μεταβλητή r και ένα που εξαρτάται από τα λ, θ. • Αν πραγματοποιηθεί η αντικατάσταση της V

25. Σφαιρικές αρμονικές Στερεές και επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές • Λύσεις της συγκεκριμένης διαφορικής εξίσωσης είναι οι ομάδες συναρτήσεων της μορφής • Οι παραπάνω οικογένειες συναρτήσεων αποτελούν λύσεις της συνάρτησης του Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες και ονομάζονται στερεές σφαιρικές αρμονικές (solid spherical harmonics), ενώ οι ονομάζονται επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές Laplace (Laplace surface spherical harmonics) • Κάθε αρμονική συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί σε σειρά απείρων όρων της παραπάνω μορφής

26. Σφαιρικές αρμονικές Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές • Για την εύρεση των τιμών των επιφανειακών σφαιρικών αρμονικών απαιτείται ένας νέος διαχωρισμός της συνάρτησης σε συναρτήσεις ανεξάρτητων μεταβλητών • Οι λύσεις αυτών των συναρτήσεων αποδεικνύεται ότι είναι της μορφής • Οι συναρτήσεις ονομάζονται προσαρτημένες συναρτήσεις Legendre πρώτου είδους βαθμού n και τάξης m (associated Legendre functions of the first kind of degree n and order m)

27. Σφαιρικές αρμονικές Ανάπτυξη σε σφαιρικές αρμονικές • Κάθε γραμμικός συνδυασμός των παραπάνω εξισώσεων θα αποτελεί επίσης λύση της εξίσωσης του Laplace (anmκαι bnmσυντελεστές  ο υπολογισμός τους περιγράφεται αργότερα) • Χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα ισχύει για τη συνάρτηση V Εσωτερικά της συνοριακής επιφάνειας Εξωτερικά της συνοριακής επιφάνειας

28. Οι συναρτήσεις Legendre • Γενική σχέση υπολογισμού συναρτήσεων Legendre • Οι συναρτήσεις Legendre αποτελούν τμήμα των λύσεων των εξισώσεων των επιφανειακών σφαιρικών αρμονικών Yn • Πέρα από τον πρώτο σταθερό όρο, οι συναρτήσεις αποτελούν τις (n + m) τάξης παραγώγους του πολυωνύμου (t2 – 1)n, π.χ.,

29. Οι συναρτήσεις Legendre • Κλειστή σχέση υπολογισμού συναρτήσεων Legendre • Για μεγάλους βαθμούς ανάπτυξης η εξίσωση γίνεται πολύπλοκη και χρησιμοποιούνται αναδρομικές σχέσεις: k  ακέραιος

30. Τα πολυώνυμα Legendre • Στην ειδική περίπτωση όπου m = 0 • Πολυώνυμα Legendre (Legendre polynomials)  επειδή απουσιάζει το m από την εξίσωση δεν υπάρχει όρος sinθ  πολυώνυμα μόνο του t, π.χ.,

31. Τα πολυώνυμα Legendre • Αναδρομική σχέση υπολογισμού των πολυωνύμων Legendre

32. Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές • Όταν οι προσαρτημένες συναρτήσεις Legendre πολλαπλασιαστούν με τους όρους cosmλ και sinmλ προκύπτουν οι επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές • Οι αρμονικές m = 0 είναι πολυώνυμα ως προς το t βαθμού n n μηδενικές τιμές (ρίζες) στο διάστημα • Αλλάζουν το πρόσημό τους n φορές  ανεξάρτητες του λ Αρμονικές ζώνης (zonal harmonics)

33. Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές • Οι συναρτήσεις Legendre βαθμού n και τάξης mαλλάζουν το πρόσημό τους n – m φορές στο διάστημα • Οι όροι cosmλ και sinmλ έχουν 2m μηδενικές τιμές (ρίζες – αλλάζουν το πρόσημό τους) στο διάστημα • Χωρίζουν τη σφαίρα σε τραπέζια θετικών και αρνητικών τιμών εναλλάξ Τραπεζοειδείς αρμονικές (tesseral harmonics)

34. Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές • Οι συναρτήσεις Legendre βαθμούκαι τάξης n = mδεν αλλάζουν το πρόσημό στο διάστημα • Οι όροι cosnλ και sinnλ έχουν 2n μηδενικές τιμές (ρίζες – αλλάζουν το πρόσημό τους) στο διάστημα • Χωρίζουν τη σφαίρα σε 2n τομείς θετικών και αρνητικών τιμών εναλλάξ Αρμονικές τομέων (sectorial harmonics)

35. Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές m = 0 n ≠ m n = m

36. Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές n = 6, m = 0 n = 6, m = 6 n = 6, m = 4

37. Ανάπτυγμα αρμονικής συνάρτησης • Συνάρτηση στην επιφάνεια της σφαίρας μπορεί να αναλυθεί σε επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές της μορφής: • Ο προσδιορισμός των σταθερών συντελεστών αnm και bnmείναι δυνατός αν ισχύουν ειδικές σχέσεις μεταξύ των R και S συναρτήσεων που ονομάζονται σχέσεις ορθογωνικότητας (orthogonality relations)  ολοκληρωματικές σχέσεις μεταξύ των συναρτήσεων στη μοναδιαία σφαίρα

38. Σχέσεις ορθογωνικότητας • Ο υπολογισμός των συντελεστών των σειρών πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των σχέσεων μεταξύ συναρτήσεων • Ξεκινώντας από τη διανυσματική ανάλυση, η επέκταση στις συναρτήσεις μπορεί να πραγματοποιηθεί θεωρώντας τη συνάρτηση ως διάνυσμα με άπειρο πλήθος συνιστωσών (διάνυσμα απείρων διαστάσεων) • Η τιμή κάθε συνιστώσας του διανύσματος ορίζεται σε συγκεκριμένο διάστημα  πεδίο ορισμού της συνάρτησης [α, b] • Οι έννοιες των διανυσματικών γινομένωνοδηγούν στις σχέσεις ορθογωνικότητας μεταξύ των συναρτήσεων

39. Διανύσματα • Συμβολίζεται με βέλος • Κάθε διάνυσμα εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός μίας τοπικής διανυσματικής βάσης (μοναδιαία διανύσματα) και των συνιστωσών ως προς κάθε βάση • Τα διανύσματα βάσης δε βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (γραμμικά ανεξάρτητα)  αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία διανυσμάτων και συνιστωσών Συνιστώσες βάσης Διάνυσμα βάσης

40. Διανύσματα • Άθροιση διανυσμάτων  παράλληλη μετάθεση • Η παράλληλη μετάθεση είναι ιδιότητα του 5ου αξιώματος του Ευκλείδη  «από δοσμένο σημείο διέρχεται μόνο μία ευθεία παράλληλη προς δοσμένη ευθεία»

41. Ορισμός συστήματος αναφοράς • Επιλογή σημείου αρχής Ο και ορισμός διανυσματικής βάσης • Διάνυσμα θέσης οποιουδήποτε σημείου P Διάνυσμα καρτεσιανών συντεταγμένων ως προς τη διανυσματική βάση

42. Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων • Η μαθηματική έκφραση της γωνίας και της απόστασης στη γεωμετρία καλύπτεται από την έννοια του εσωτερικού γινομένου • Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων Α και Β προκύπτει από τη διανυσματική διαφορά των διανυσμάτων θέσης • Το μήκος ενός διανύσματος προκύπτει από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου

43. Ορθοκανονικές βάσεις • Στη Γεωδαισία τα συστήματα αναφοράς που χρησιμοποιούνται είναι ορθοκανονικά  άξονες σχηματίζουν ορθές γωνίες • Το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ορθοκανονικής βάσης είναι μηδενικό • Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων σε ορθοκανονικές βάσεις τριών διαστάσεων

44. Εσωτερικό γινόμενο συναρτήσεων • Γενικεύοντας στην περίπτωση των συναρτήσεων (διανύσματα απείρων διαστάσεων) ορίζονται ως ορθογώνιες συναρτήσεις που το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδενικό • Σε αντιστοιχία με το μοναδιαίο διάνυσμα μία συνάρτηση ονομάζεται κανονική ή κανονικοποιημένη στο διάστημα [α, b], όταν

45. Ανάπτυγμα σε ορθοκανονική σειρά • Αντίστοιχα με την ανάπτυξη διανυσμάτων σε συνιστώσες ως προς μία ορθοκανονική βάση μοναδιαίων διανυσμάτων: • Μία συνάρτηση μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά ορθοκανονικών συναρτήσεων  ορθοκανονική σειρά στο πεδίο ορισμού [α, b] Ορθοκανονικές συναρτήσεις βάσης– επιφανειακές αρμονικές Πολλαπλασιάζοντας με φm Γενικευμένοι συντελεστές σειράς

46. Προσεγγίσεις ελαχίστων τετραγώνων • Για να προσεγγιστεί μία συνάρτηση με σειρά σε συνδυασμό με τις ιδιότητες της ορθογωνικότητας πρέπει • Αποδεικνύεται ότι το μέσο τετραγωνικό σφάλμα γίνεται ελάχιστο όταν: Ορθοκανονικό σύστημα συναρτήσεων στο πεδίο [α, b] Τμηματικά συνεχείς στο πεδίο [α, b] Πεπερασμένος αριθμός συναρτήσεων βάσης και άγνωστων συντελεστών Προσέγγιση της Μέσο τετραγωνικό σφάλμα προσέγγισης

47. Σχέσεις ορθογωνικότητας • Το ολοκλήρωμα ως προς τη μοναδιαία σφαίρα του γινομένου οποιουδήποτε συνδυασμού των συναρτήσεων είναι ίσο με μηδέν • Το γινόμενο δύο ίδιων συναρτήσεων ισούται:

48. Υπολογισμός συντελεστών • Οι συντελεστές αnm και bnm υπολογίζονται με πολλαπλασιασμό της εξίσωσης της συνάρτησης με Rnmκαι Snm

49. Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές • Οι προηγούμενες σχέσεις δεν είναι εύχρηστες  διαφορετικές σχέσεις για τον υπολογισμό των συντελεστών αναλόγως της τάξης m (0 ή ≠0) • Τροποποίηση σε πλήρως κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές (fully normalized spherical harmonics)

50. Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές • Στην περίπτωση αυτή οι σχέσεις ορθογωνικότητας  • Η κανονικοποίηση νοείται ως αναγωγή των συναρτήσεων στην επιφάνεια της μοναδιαίας σφαίρας • Οι συντελεστές υπολογίζονται τώρα ανεξάρτητα της τιμής του m