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1. 理解直线的方向向量与平面的法向量 . 2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平

1. 理解直线的方向向量与平面的法向量 . 2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、 平面与平面的垂直、平行关系 .. 3. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关 系的一些定理（包括三垂线定理） . 4. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平 面、平面与平面的夹角的计算问题，了解 向量方法在研究立体几何问题中的应用. 1. 直线的方向向量与平面的法向量. [ 思考探究 ] 　　所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？. 提示： 给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标.

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1. 理解直线的方向向量与平面的法向量 . 2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平

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Presentation Transcript

  1. 1.理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、 平面与平面的垂直、平行关系.

  2. 3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关 系的一些定理（包括三垂线定理）. 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平 面、平面与平面的夹角的计算问题，了解 向量方法在研究立体几何问题中的应用.

  3. 1.直线的方向向量与平面的法向量

  4. [思考探究] 　　所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？ 提示：给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标.

  5. 2.利用空间向量求空间角

  6. (1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂 直的直线，则二面角的大小θ＝〈 〉.

  7. (2)如图②③，n1、n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α、β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝ .

  8. 1.若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6， 9,6)，则 () A.l1∥l2B.l1⊥l2 C.l1与l2相交但不垂直 D.以上均不正确 解析：∵a·b＝2×(－6)＋4×9＋6×(－4)＝0， ∴a⊥b，从而l1⊥l2. 答案：B

  9. 2.若平面α与平面β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，b＝(－ 4,0,2)，则平面α与β的位置关系是 () A.平行B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法判断 解析：由题意，有a＝－b，∴a与b共线，从而α与β平行. 答案：A

  10. 3.已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为 () A.B. C. D.

  11. 解析：令正四棱锥的棱长为2， 则A(1，－1,0)，D(－1，－1,0)， S(0,0， )，E ， ，

  12. ＝(－1，－1，－ )， ∴cos〈 〉＝ ＝－ . ∴AE、SD所成的角的余弦值为 . 答案：C

  13. 4.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)， 则两平面所成的二面角的大小为. 解析：cos〈m，n〉＝ ＝ ＝ ， 即〈m，n〉＝45°，其补角为135°. ∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°. 答案：45°或135°

  14. 5.正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成 角的余弦值为. 解析：如图，建立直角坐 标系，设正方体棱长为1， 则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B (1,1,0)，C1(0,1,1)， ∴ ＝(1,0,1)， ＝(1,1,0)， ＝(－1,0,1). 设n＝(x，y，z)为平面A1BD的法向量

  15. 则 ∴ 取n＝(1，－1，－1)， 设直线BC1与平面A1BD所成角为θ， 则sinθ＝|cos〈n， 〉|＝ ＝ ＝ . ∴cosθ＝ . 答案：

  16. 1.证线线平行与垂直. 若直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则： (1)l1∥l2⇔v1∥v2.(2)l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0. 2.证线面平行与垂直 若直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，则： (1)l∥α⇔v⊥n.(2)l⊥α⇔v∥n.

  17. 3.证面面平行与垂直 若⇔平面α和β的法向量分别为n1，n2，则 (1)α∥β⇔n1∥n2.(2)α⊥ β n1⊥n2.

  18. 如图所示，在四棱锥P－ABCD 中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边 形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4， CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB 与平面ABCD成30°的角. (1)求证：CM∥平面PAD； (2)求证：平面PAB⊥平面PAD.

  19. [思路点拨]

  20. [课堂笔记]　以C为坐标原点，CB为x 轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示 的空间直角坐标系C－xyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°. ∵PC＝2，∴BC＝2 ，PB＝4.

  21. ∴D(0,1,0)，B(2 ，0,0)，A(2 ，4,0)， P(0,0,2)，M( ，0， )， ∴ ＝(0，－1,2)， ＝(2 ，3,0)， ＝( ，0， )，

  22. (1)令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则 令y＝2，得n＝(－ ，2,1). ∵n· ＝－ × ＋2×0＋1× ＝0， ∴n⊥ ，又CM⊄平面PAD， ∴CM∥平面PAD.

  23. (2)取AP的中点E， 则E( ，2,1)， ＝(－ ，2,1). ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. 又∵ · ＝(－ ，2,1)·(2 ，3,0)＝0，

  24. ∴ ⊥ ，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A. ∴BE⊥平面PAD， 又∵BE⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD.

  25. 1.若异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，它们所 成的角为θ，则cosθ＝|cos〈v1，v2〉|. 2.利用空间向量方法求直线与平面所成的角，可以有 两种办法：

  26. (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量， 转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与 平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平 面所成的角.

  27. 3.利用空间向量方法求二面角，也可以有两种办法：3.利用空间向量方法求二面角，也可以有两种办法： (1)分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂 足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是 二面角的平面角的大小； (2)通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向 量分别为n1和n2，则二面角的大小等于〈n1，n2〉(或 π－〈n1，n2〉). [特别警示]　利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角.

  28. (2009·全国卷Ⅱ)如图， 直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥ AC，D、E分别为AA1、B1C的中 点，DE⊥平面BCC1. (1)证明：AB＝AC； (2)设二面角A－BD－C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小.

  29. [思路点拨]

  30. [课堂笔记](1)证明：以A为坐标 原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1 为z轴.建立如图所示的直角坐标 系A－xyz.

  31. 设B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，则B1(1,0,2c)， E( ， ，c). 于是 ＝( ， ，0)， ＝(－1，b,0). 由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC， · ＝0， 求得b＝1， 所以AB＝AC.

  32. (2)设平面BCD的法向量 ＝(x，y，z)， 则 · ＝0， · ＝0. 又 ＝(－1,1,0)， ＝(－1,0，c)，故 令x＝1，则y＝1，z＝ ， ＝(1,1， ). 又平面ABD的法向量 ＝(0,1,0).

  33. 由二面角A－BD－C为60°知，〈 〉＝60°， 故 ·cos60°，求得c＝ . 于是 ＝(1,1， )， ＝(1，－1， )， Cos〈 〉＝ ＝ ，〈 〉＝60°. 所以B1C与平面BCD所成的角为30°.

  34. 在本例(2)的条件下，能否求出异面直线B1C与BA1所成角的余弦值.在本例(2)的条件下，能否求出异面直线B1C与BA1所成角的余弦值. 解：由本例(2)知， ＝(－1,1，－ )， 又B(1,0,0)，A1(0,0， )，∴ ＝(－1,0， ). ∴ ＝1－ × ＝－1， 又| |＝2，| |＝ ， ∴cos〈 〉＝ ∴异面直线B1C与BA1所成角的余弦值为 .

  35. 利用空间向量解决空间中线面位置关系的论证、空间中各种角的求解问题，以代数运算代替复杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活的方法.另外，空间向量还可以用来解决许多探索性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查学生的能力，因此正逐渐成为高考命题的热点题型.

  36. [考题印证] (2009·福建高考)(12分) 如图，四边形ABCD是边长为 1的正方形，MD⊥平面ABCD， NB⊥平面ABCD，且MD＝NB ＝1，E为BC的中点. (1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值； (2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由.

  37. 【解】(1)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D－xyz. 依题意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)， M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)， N(1,1,1)，E( ，1,0).┄┄┄┄┄ ┄┄┄┄┄┄┄┄(2分) ∴ ＝(－ ，0，－1)， ＝ (－1,0,1).┄┄┄┄┄┄┄(3分)

  38. ∴cos〈 〉＝ ＝ ＝－ ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(5分) 所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为 .(6分)

  39. (2)假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN. ∵ ＝(0,1,1)，可设 ＝λ ＝(0，λ，λ)， 又 ＝( ，－1,0)， ∴ ＝ ＝( ，λ－1，λ).┄┄┄┄(8分) 由ES⊥平面AMN，得 即 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(9分)

  40. 故λ＝ ，此时 ＝(0， )，| |＝ .┄┄(10分) 经检验，当AS＝ 时，ES⊥平面AMN.┄┄┄┄(11分) 故线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，此时AS＝ .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)

  41. [自主体验] 直三棱柱A1B1C1－ABC的三视图如图所示，D、E分别为棱CC1和B1C1的中点. (1)求二面角B－A1D－A的余弦值； (2)在AC上是否存在一点F，使EF⊥平面A1BD，若存在确定其位置；若不存在，说明理由.

  42. 解：(1)如图建立空间直角坐标系. 则B(0,2,0)，D(0,0,1)， A1(2,0,2)， ∴ ＝(－2,0，－1)， ＝(－2,2，－2). 设平面A1DB的法向量为 n1＝(1，x，y)， 则

  43. n1＝(1，－1，－2). 而平面ACC1A1的法向量为n2＝(0,1,0)， ∴cos〈n1，n2〉＝ . ∴二面角B－A1D－A的余弦值为 .

  44. (2)当F为AC的中点时，EF⊥平面A1BD， 证明：设F(x,0,0)， 由E(0,1,2)，得 ＝(x，－1，－2). 若EF⊥平面A1BD，则 ∥n1. 由n1＝(1，－1，－2)得x＝1，∴F为AC的中点. ∴存在F为AC的中点，使EF⊥平面A1BD.

  45. 1.设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β 的法向量为(－ 2，－4，k)，若α∥β，则k＝ () A.2B.－4 C.4 D.－2

  46. 解析：∵α∥β，∴两平面的法向量平行，即有 ＝ ∴k＝4. 答案：C

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