线性代数故事会 — 数学建模融入课程的探索

线性代数故事会—数学建模融入课程的探索 广东工业大学郝志峰 2010年4月24日

国家“十一五”规划教材高等教育百门精品教材国家“十一五”规划教材高等教育百门精品教材线性代数、学习指导与典型例题

线性代数（英文版）

线性代数（教育部新世纪网络课程建设工程）

一、基础解系二、线性方程组三、线性变换四、矩阵乘法的迷雾五、常用的“模型”一、基础解系二、线性方程组三、线性变换四、矩阵乘法的迷雾五、常用的“模型”

一、基础解系—繁忙的交通 在城市中，不时听到人们抱怨塞车，这也成为不少城市的“一景”。下面的例子一方面给出了交通堵塞的部分数学解释，另一方面也给基础解系一个生动的刻划。右图是2010年3月2日，元宵节后上班第一天，广州BRT(Bus Rapid Transit，中文名“不让通”)工程实施后的照片。

500 600 350 450 一、基础解系—繁忙的交通 • 例：设一个“井”字形环路，均为单向行驶，在八个出入口有一个记录口（或收费站），可记录单位时间进出该路段的车辆数目，已知八个出入口在某一个时间段的数目如右图。 550 650 400 500

一、基础解系—繁忙的交通 • 问路段上的车辆数目？节点解:根据“入出”的准测，四个“十字”路口节点的方程为: (2) (1) (3) (4)

一、基础解系—繁忙的交通 上述线性方程组的解为

一、基础解系—繁忙的交通 • 问题: (1) 基础解系在该问题中代表了什么？ • 请您利用该结果对交通管理部门提出若干有用的建议.

一、基础解系—繁忙的交通 • 思考题：图中是某一地区的公路交通网络图，所有的道路都是单行道，且道上不能停车，通行方向用箭头表示，标示的数字为高峰期每小时进出网络的车辆数。（修订版，2008，p.13，例10） 200 100 300 试从交通流量平衡条件建立起线性代数方程组，并对解作出符合实际意义的解释。 300 200 B C E A D 200 300

线性相关（修订版，2008，p.131末）： 二、线性方程组(1)—化学方程式已知化学反应方程式：该方程式共有两种原子，故可用2维向量表示：

线性相关： 二、线性方程组(1)—化学方程式与方程式对应，有向量关系式：即： • 注意：向量组线性相关的意义这些组分间可能发生化学反应。但：真实发生还需要所谓的“反应条件”

二、线性方程组(1)—化学方程式—配平 • 确定，使两边原子数相等称为配平，方程为 • 写成矩阵方程

已知一个化学反应系统内有七种组分： 并且已知这些组分中部分物质的量（kmol），注意到这些分子总共涉及三种原子，根据物质不灭定律，系统原子量保持恒定，于是有原子矩阵（修订版，2009，p.22、例3）二、线性方程组(1)—化学方程式—（非）齐次方程组

根据物质不灭定律，系统原子量保持恒定，当考虑经过一定时间的变化，如何确定系统内的各组分含量时（修订版，2008，p.114、例7），有根据物质不灭定律，系统原子量保持恒定，当考虑经过一定时间的变化，如何确定系统内的各组分含量时（修订版，2008，p.114、例7），有上述两式一减，注意，非齐次转化为齐次。二、线性方程组(1)—化学方程式—（非）齐次方程组

二、线性方程组(1)—化学方程式—（非）齐次方程组二、线性方程组(1)—化学方程式—（非）齐次方程组在本例中，的秩为，则基础解系有个（需要由化学方法预先测定）齐次方程的解。

若齐次方程组 ，故通解中有四个任意常数，若测出则可算得：二、线性方程组(1)—化学方程式—（非）齐次方程组 • 注意（通解、特解），则可由得到的转化量确定系统内各组分的含量

二、线性方程组(1)—化学方程式—（非）齐次方程组二、线性方程组(1)—化学方程式—（非）齐次方程组在本例中，的秩为，则基础解系有个（需要由化学方法预先测定）齐次方程的解。

二、线性方程组(2)—剑桥食谱 麦当劳是垃圾食品吗？

世卫组织对垃圾食品的定义是：仅仅提供一些热量，别无其它营养素的食物，或是提供超过人体需要，变成多余成分的食品。世卫组织对垃圾食品的定义是：仅仅提供一些热量，别无其它营养素的食物，或是提供超过人体需要，变成多余成分的食品。二、线性方程组(2)—剑桥食谱你进了麦当劳，同样价格的汉堡，你选双层吉士汉堡包，还是麦辣鸡腿汉堡？双层吉士汉堡包里吉士能提供你半天的热量，生的生菜保留了原有的维生素C，烘焙的面包既富含维生素B，又是粗粮能帮助消化，你怎么不选？可你为什么就一定会选麦辣鸡腿汉堡呐？油炸的东西产生亚硝酸盐类物质，不易消化，这个你也知道的吧？

双层吉士汉堡包满足剑桥食谱？ 二、线性方程组(2)—剑桥食谱

上世纪80年代很流行，剑桥大学Howard博士（International Journal of Obesety,1978,2,321-332），修订版，2008，p.47，例16：为使食品具有希望数量和比例的营养，在食谱中加入了多种食物，每种食物能提供需要的成分，但关键是正确的比例。例如：脱脂牛奶是蛋白质的主要来源，但含了过多的钙，于是可以考虑用大豆粉来提供蛋白，它只含有少量的钙，但又含了过多的脂肪，于是又加上乳清，因它含的脂肪比较少，但乳清所含的碳水化合物又多了，……。该如何取舍？二、线性方程组(2)—剑桥食谱

二、线性方程组(2)—剑桥食谱 一个食谱的简单例子：三种食物及其每包可食物所含的营养素的数量如下：食物(百克) 剑桥食谱每天供应量（克）脱脂牛奶大豆粉乳清营养素(克) 蛋白质 36 51 13 33 碳水化合物 52 45 39 74 脂肪 0 3 7 11

设脱脂牛奶的用量为 个单位（100g），大豆面粉的用量为个单位，乳清的用量为个单位，表中的三个营养成分列向量为：使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，得到二、线性方程组(2)—剑桥食谱

注意：选取非负解，可以多考虑几个方程组，从而出现无限多解。注意：选取非负解，可以多考虑几个方程组，从而出现无限多解。剑桥食谱：给出了33种食物提供所需的31种营养素。二、线性方程组(2)—剑桥食谱

二、线性方程组(3)—平板稳态温度的计算 • 俄罗斯著名代数学家柯斯特利金的优秀教材《代数学引论》第二卷：线性代数 • 已知平板的四周温度（可测，求平板上任一点的温度），与气象预测、地形测量对比

二、线性方程组(3)—平板稳态温度的计算 • 整理为 • 注意：推广到网格，大规模稀疏矩阵的

三、线性变换(1)—书号的编制 • 书号的编制（2007年1月1日后）：以新的书：修订版，2008为例，有 ISBN 978-7－04－024900－2 中国出版社社内码校验位国际标准书号图书若分别赋予权重, 即. 9 7 8－7－0 4－0 2 4 9 0 0－2 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 1 3 1 并求和：9+21+8+21+12+6+4+27+2＝110 注意： (mod 10)

三、线性变换(1)—书号的编制 • 书号的编制（2007年1月1日前）：以《线性代数》（第二版）为例，有 ISBN 7－04－011882－3 国际标准书号社内码中文出版社校验位若分别赋予权重, 即. 7－0 4－0 1 1 8 8 2－3 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 并求和：70+32+6+5+32+24+4+3＝176

三、线性变换(1)—书号的编制 • 注意： (mod 11) 事实上，这对任何一本正式出版的书都是对的， • 问题：(1)这两种编码方式的线性变换观点? 校验位. (2)请您发现一本不编码体系中最末一位是 “X”的书。 (3)国际标准期刊号《华南理工大学学报（自然科学版）》 ISSN 1000—565X (4)这个方法如何推广到一般的情形? 代数方法——线性变换。

三、线性变换(2)—密码—古代将军的命令 • 传说中，有一位古代将军命令他的传令兵发出一个“进攻”的信息，他要求该命令必须准确无误地发出，否则将处死传令兵。这可急坏了这位传令兵，要发一条信息并不难，难的是如何保证不出错，真是急得一身汗。正在此时，传令兵突然急中生智，他毫不犹豫地站在传令台上，向前挥舞“进攻”的命令一百次，然后下来。结果当然是信息发了出去，而且接受方也知道了“进攻”。因为接受方虽不能保证一百次看到的都是“进攻”，但可以几乎以概率为1的把握确定是“进攻”。因为一百次样本还是较大的，接受方理解为“进攻”的可能性很大。

三、线性变换(2)—密码—古代将军的命令 现在用向量代数的语言来诠释传令兵的思想，假设发出的信息为a，则传令兵发出的信息是：当然我们有理由批评传令兵没有注意保密，因为这个信息有可能被间谍也窃取了。但考虑到传令兵所处的环境，当然也就不会追究了。但现在的研究人员却需要考虑这一点，比如书号的模型就是一例。

三、线性变换(2)—密码—现代通信 • 低维→高维: 现代加密, 解密的基本方法. • 人造卫星的信号. 明文: 发: 即 (注:1低维→高维, 2 线性变换) 收: 若:

三、线性变换(2)—密码—现代通信 则存在奇数个错, 且一个错的可能性很大, 这是因为若一个错的概率为，则出三个错的出错概率为出五个错的出错概率为若：则不能完全判断，若出错，至少有偶数个错，其概率至少为故在民用电报中，上述方法是一个简便的方法。

三、线性变换(3)—密码—Hill密码的加密与解密三、线性变换(3)—密码—Hill密码的加密与解密 • 修订版，2008，p.57例19，利用可逆矩阵法 • 修订版，2008，p.218例4，利用线性变换例：发：ACTION，编码为1、3、20、9、15、14

三、线性变换(3)—密码—Hill密码的加密与解密三、线性变换(3)—密码—Hill密码的加密与解密 • 则乘以可编成“密码”： • 收到信息：67、44、43、81、52、43后，可用恢复明码。

三、线性变换(3)—密码—Hill密码的加密与解密三、线性变换(3)—密码—Hill密码的加密与解密 • 如何破译：关键是求得加密矩阵的逆—解密矩阵例如：只要分析出两个（n个）明文向量（线性无关）与相应的密文向量。 • 如果：

1 2 3 6 5 4 四、矩阵乘法的迷雾(1)—循环比赛 • 姜启源老师的《数学模型》例：已知比赛无平局，只有胜负(如:排球、乒乓球、羽毛球、网球等)，共有六支队伍，两两之间均比赛过，结果如右图: 问：如何排定名次? 思考1：“获胜”是关键。于是，寻找一条从起点不断获胜的路径；如： ① 1→ 4→6 →3 →2 →5 ② 4→ 5→6 →3 →1→2 明显有不合理且不可行的地方。第一，解明显不唯一。第二，强队一失手，真成千古之恨。（比如巴西负阿根廷，阿根廷再负…，此种传递会得出极荒谬的结论。但注重“获胜”是体育竞赛精神之所在，也是建模的基本依据。

四、矩阵乘法的迷雾(1)—循环比赛 • 思考 2: 国际足联积分制 1队: 4胜1负 8分 2队: 3胜2负 6分 3队: 3胜2负 6分 4队: 2胜3负 4分 5队: 2胜3负 4分 6队: 1胜4负 2分这时1，6两队名次立即分出。但2、3两队，4、5 两队呢？以体育界常用的做法，3胜2，故3在2之前。4胜5，故4在5之前。于是名次为： 1，3，2，4，5，6。但问题或困惑随之而来，就4、5而言，5胜的是3和6，而4胜的是5和6。看一看对手的实力，我们又有理由说5会强一点，因为5→3→4。

四、矩阵乘法的迷雾(1)—循环比赛 • 2010年CBA总决赛，目前广东宏远2:0新疆广汇可4月18日就在第二场比赛结束的一刹那，新疆外援查尔斯与广东队员杜锋发生冲突，查尔斯一记猛拳将广东队员杜锋打倒在地，场面一度失去控制。为何比赛如此激烈？

四、矩阵乘法的迷雾(1)—循环比赛 • 这说明，排名的学问很深 2009年赛季，广东队正是在总决赛中以总比分4：1击败新疆队，夺得了总冠军。然而，时隔一年，双方不可同日而语， 2010年常规赛中，广东队（30胜2负），就曾在主客场两负新疆队（27胜5负）。预测：2010年赛季总冠军？让我们拭目以待注：CBA十大冲突之首的处罚结果：4月20日，中国篮协公布了对“CBA总决赛第二场中球员之间发生冲突”事件的处罚结果。最终广东队的杜锋和新疆队的外援查尔斯同时被通报批评，两家俱乐部各罚款5万，广东主场东莞赛区由于球迷不冷静被加罚5万元。

四、矩阵乘法的迷雾(1)—循环比赛 • 综合思路1、2，我们有以下的分析：取胜的价值有所不同。由于积分制只关心取胜，不关心失败，所以取胜强队的价值(即分数)应高一些。依照此思想，在区分2、3和4、5时，要给出更精细的分数。以2、3为例,它们的精细分数为： 2 胜4、5、6，得 4+4+2＝10分 3 胜1、2、4，得 8+6+4＝18分

四、矩阵乘法的迷雾(1)—循环比赛 以4、5为例,它们的精细分数为: 4 胜5、6，得 4+2＝6分 5 胜3、6，得 6+2＝8分需要说明的是这只是精细分数，不是说由于10>8，则2在1之前。这只是为了区分同一名次的。从解决问题的角度来看，做到这里似乎目的达到了。但作为数学建模，这只是开始。我们只是有了些正确的思路，或解决问题的技巧，还没有建立模型。现在，我们朝着模型的方向前进着。

四、矩阵乘法的迷雾(1)—循环比赛 • 于是, 我们转换为矩阵的做法试试看：令设胜一场得2分, 负一场得0分. 记初始向量为 (为什么?)

四、矩阵乘法的迷雾(1)—循环比赛 这就是国际足协这就是区分2、3和4、5的过程

四、矩阵乘法的迷雾(1)—循环比赛 • 注意到 • 这给出了“矩阵相乘”的一个解释——看对手.

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