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第一章 随机事件及其概率

第一章 随机事件及其概率. 随机试验、样本空间和随机事件 随机事件间的关系与运算 随机事件的概率及其性质 条件概率、全概公式与贝叶斯公式 随机事件、试验的独立性. 两 类 现 象. 确定现象. —— 在一定条件下必然发生的现象。. 如： 在标准大气压下，水加热至 100℃ 时沸腾； 上抛一物体必然下落； 同性电荷必然相斥；等等。. 高等数学，线性代数等. —— 在一次试验中结果呈现出不确定 性，在大量重复试验中其结果又呈现出一定的规律 性的现象。. 随机现象. 概率论，数理统计等.

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第一章 随机事件及其概率

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  1. 第一章 随机事件及其概率 • 随机试验、样本空间和随机事件 • 随机事件间的关系与运算 • 随机事件的概率及其性质 • 条件概率、全概公式与贝叶斯公式 • 随机事件、试验的独立性

  2. 两 类 现 象 确定现象 ——在一定条件下必然发生的现象。 如：在标准大气压下，水加热至100℃时沸腾； 上抛一物体必然下落； 同性电荷必然相斥；等等。 高等数学，线性代数等 ——在一次试验中结果呈现出不确定 性，在大量重复试验中其结果又呈现出一定的规律 性的现象。 随机现象 概率论，数理统计等 如：抛一枚硬币可能出现正面，也可能出现反面； 电话交换台在1分钟内接到的呼叫次数； 测试在同一工艺下生产的灯泡的寿命；等等。

  3. §1、随机事件 一、随机实验 定义1使随机现象得以实现和对它的观察的全过程 称为随机试验(E)。 随机试验具有下列特点： ∷重复性 可以在相同条件下重复进行； ∷随机性 试验的结果不止一个，且在试验 前能知道试验的所有可能结果；但在一次具体试验 之前不能确定会出现哪一种结果。

  4. 随机试验举例 E1：抛一枚硬币，观察正面H和反面T出现的情况； E2：将一枚硬币连抛三次,观察正、反面出现的情况； E3：将一枚硬币连抛三次,观察正面出现的次数； E4：掷一枚骰子，观察出现的点数; E5：电话交换台在1分钟内接到的呼叫次数； E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命； E7：记录某地一昼夜的最高温度与最低温度。

  5. 二、样本空间与随机事件 定义2随机试验E所有可能结果组成的集合称为E的样 本空间(S,Ω)；样本空间的元素称为样本点(e,ω)。 显然，样本点是由试验的目的所确定的。 例如 E1：抛一枚硬币，观察正面H和反面T出现的情况 S1={H，T} E2：一硬币连抛三次，观察正面、反面出现的情况 S2={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}

  6. 样本空间举例 E3：一枚硬币连抛三次，观察正面出现的次数 S3={0，1，2，3} E4：掷一枚骰子，观察出现的点数 S4={1，2，3，4，5，6} E5：电话交换台在1分钟内接到的呼叫次数 S5={0，1，2，3，……} E6：在一批灯炮中任意抽取一只，测试它的寿命 S6={t|t≥0} E7：记录某地一昼夜的最高温度与最低温度 S7={(x,y)|T最低≤x≤y ≤T最高}

  7. 定义3样本空间S的子集称为随机事件,简称为 事件。特别的，S称为必然事件；Φ称为不可能事 件；单个样本点组成的单点集{e}称为基本事件。 例如 试验E：掷一枚骰子，观察出现的点数。 样本空间S={1，2，3，4，5，6}， “出现偶数点”的事件A={2，4，6}； “出现不小于3的点数”的事件B={3，4，5，6}； “出现大于6点”的事件为不可能事件Φ； “出现点数不超过6”的事件为必然事件S，等等。

  8. 说 明  在一次试验中，事件A发生当且仅当A中的一 个样本点出现；  必然事件在每次试验中均发生；不可能事件 在每次试验中均不发生；  基本事件两两互斥，且在每次试验中有且有 一个发生。

  9. 三、事件间的关系与运算 1、若A B，则称事件B包含事件A。 ∪ 若A B且B A，则称事件A与事件 B相等，记为A=B。 ∪ ∪ —集合间的关系与运算 意义：事件A发生必导致事件B发生。 2、事件A∪B称为事件A与事件B的和事件。 意义：“和事件A∪B发生”＝“事 件A与事件B至少有一个发生”。

  10. 3，4 3、事件A∩B称为事件A与 事件B的积事件。 意义：“积事件A∩B发生”= “事件A与事件B同时发生”。 4、事件A-B称为事件A与事 件B的差事件。 意义：“差事件A-B发生”＝ “事件A发生，事件B不发生”。

  11. 5，6 意义：在每次试验中，事件 A与事件 有且仅有一个发生。 5、若A∩B=φ，则称事件 A与事件B是互不相容的，或互 斥。 互逆一定互斥,互斥不一定互逆. 意义：“事件A与事件B互斥”= “事件A与事件B不能同时发生” 6、若A∩B=φ，且A∪B=S， 则称事件A与事件B互为对立事件 或互逆。

  12. 【例1】 【例1】用事件A，B，C的运算关系表示下列复合事件: 1、A发生，B与C均不发生; 〖解〗 特别注意：

  13. 2、A，B，C至少有一个发生； 〖解〗 对应于不同的等价说法有多种表示形式： “A，B，C至少有一个发生” “A，B，C不会同时不发生” 互斥分解也有各种表示形式，如：

  14. 3、A，B，C都不发生； 〖解〗 “A，B，C都不发生” “‘A，B，C至少有一个发生的事件’ 不发生” 4、A，B，C不多于两个发生。 〖解〗 “A，B，C至少有一个不发生” “A，B，C不会同时发生” ■

  15. 【例2】 【例2】射击3次，事件 表示第 次命中目标 ， 则事件“至少命中一次”为： 而 仅表示“恰有一次击中目 标”，故应选A,B,C。■ 〖解〗由事件运算律知：

  16. 【例3】 【例3】事件A表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则其对立 事件表示（ ）。 （A) “乙畅销”； (B) “甲乙均畅销”； (C) “甲滞销”； (D) “甲滞销或乙畅销”。 〖解〗设事件B：“甲畅销”，C：“乙畅销”，则 从而 它表示“甲滞销”与“乙畅销”至少有一个发生，故应 选(D). ■

  17. 注 意 设好事件，并用简单事件的运算关系来表达复 杂事件在解概率题中是基本而重要的。特别，要弄 清“恰有” 、“至少” 、“至多” 、“都发生” 、“都不发生”、不都发生”等词语的含义。 有些文字表达的事件可通过设事件为字母，再 利用事件的关系与运算来表达。此外，要注意同一 个事件的不同表达形式，注意语言表述的准确性。 利用文图易知：差事件可化为积事件 和事件可互斥分解为 显然，这种互斥分解不一定唯一。

  18. □本节要点提示□ 四个概念:随机现象,随机试验,样本空间,随机事件; 四个关系:包含,相等,互斥,互逆; 三个运算:和,积,差。 事件运算律。

  19. §2、概率及其性质 研究随机事件时，不仅希望了解哪些随机事件可能出现，而且希望知道事件出现的可能性的大小。 我们用[0，1]中的一个数来表示随机事件A发生的可 能性大小，并称之为该事件的概率，记为P(A)。 下面沿概率论的发展轨迹介绍概率概念的形成。 一、古典概型 定义1具有下列特点的随机试验称为古典概型 (等可能概型): (ⅰ)、试验的样本点只有有限个; (ⅱ)、试验中每个基本事件发生的可能性相同.

  20. 有利场合数 基本事件总数 一、古典概率 　　设古典概型Ｅ的样本空间Ω含有n个样本点，事 件Ａ包含k个样本点，则事件Ａ的古典概率为 在古典概率计算中，注意掌握一些如“摸球问题” “分房问题”，“随机取数问题”等典型模型中概率的计 算。

  21. 【例1 】例1-1[摸球问题] 【例1】袋中有5只红球和6只黑球，现从中任意取出 2只球，试求下列事件的概率： （1）取出的2只全为红球； （2）取出的2只球中一只为红球一只为黑球； （3）取出的2只球中至少有一只黑球。 摸球模型 〖分析〗理解题意： • 球是可辨的[如编号1-5为 红球，6-11为黑球]，以保 证等可能性； • 不放回抽样；

  22. 例1-2 • “任意取出2只”：如认为是“依次” 取出，则样本 • 点是有序结果，计数时采用排列；如认为是“一 • 次”同时取出2只，则样本点是无序结果，计数时 • 采用组合。 • 样本空间和样本点:采用不同方法时,样本空间和 样本点有所不同.但计算必须在相同样本空间中进 行. 〖解〗 设好事件：A=“取出的2只全为红球”；B=“取 出的2只中红球、黑球各一”； C=“取出的2只中至少有 一只黑球”。

  23. 例1-3 样本点示例 正确计数： 方法1[依次有序取2只] 此时,样本空间是所有的两个不同球的排列，相当于 两不同号码的有序数对。 注意：同色（1，2）和（2，1）是不同的样本点。 样本点总数[基本事件总数]相当于“从编号分别为1- 11的11张卡片中任意取2张的”不同排列种数，即 （1）A所含的样本点数相当于“从编号分别为1-5的5 张卡片中任意取2张的”不同排列种数，即

  24. 例1-4 先红后黑 样本点 先黑后红 样本点 故由古典概率计算公式得： （2）B所含的样本点分两类：先红后黑——相当于“从编号1-5中取1个，再从编号6-11中取1个”，由乘法原理知：共有5×6个不同样本点；先黑后红——相当于“从编号中6-11取1个，再从编号1-5 中取1个”，由乘法原理知：共有6×5个不同样本点；因此由加法原理知：B所含样本点总数为

  25. 例1-5 故由古典概率计算公式得： （3）C所含的样本点分两类：一红一黑[先红后黑， 先黑后红]，有60个；两黑[“从编号6-11中取2个”的排 列数]有6×5=30个。因此，由加法原理知：C所含样本 点总数为 故由古典概率计算公式得：

  26. 样本点示例 例1-6 方法2[一次无序取2只] 此时,样本空间是所有的两个不同球的组合，相当于 一次取两不同号码的不同组合。 注意：同色（1，2）和（2，1）是同一个样本点。 样本点总数相当于“从编号分别为1-11的11张卡片中 任意取2张的”不同组合种数，即 （1）A所含的样本点数相当于“从编号分别为1-5的5 张卡片中任意取2张的”不同排列种数，即

  27. 例1-7 故由古典概率计算公式得： （2）B所含的样本点数相当于“从编号1-5中取1个，再从编号6-11中取1个”的不同组合数，因此，由乘法原理知：B所含样本点总数为 故由古典概率计算公式得：

  28. 例1-8 （3）C所含的样本点分两类：一红一黑[ ]， 两黑[“从编号6-11中取2个”组合数]。因此，由加法原理 知：C所含样本点总数为 故由古典概率计算公式得： ■

  29. 【例2】设有N件产品,其中D件为次品.现从中作不放 回抽样任取n件,求其中恰有k(k≤D)件次品的概率. 【例2】[超几何分布] 〖解〗N件产品是可辨的。“不放回任取n件”相当于 “一次同时取n件”，因而，试验结果是无序的。 从N件产品中任取n件,每种不同取法就是一个样本 点，样本点总数[基本事件总数]相当于是“从N个相异元 素中取n个元素”的组合数，即为 设事件A=“任取n件中恰有k件次品”，则其所含样本 点总数相当于“从D件次品中取k件,再从N-D件正品中取

  30. 例2-2 n-k件”的不同组合数，由乘法原理知为 故由古典概率公式得： ■ 许多问题[如正品次品,男生女生等]与本例属于相同 的数学模型。这种类型概率称为超几何分布。

  31. 【例3】[球入盒问题/分房问题] 【例3】将n只球随机地放入N个盒子中去(N≥n), 试求“每个盒子至多有一球”的概率(设盒子容量不限). 〖解〗由于盒子容量不限, 所以n只球放入N个盒子的每种 放法就是一个样本点. 分房问题 样本点总数为 (从N个盒子中可重复地取n个的排列数—每个球有N种 放法，一共有n只球，由乘法原理知有Nn种) 而“每个盒子至多有一只球”的有利场合数知为

  32. 例3-2 （从N个盒子中选n个[ ]出来，再放入n只球[n!],由乘法原理） ■ 故所求概率为 许多问题[生日问题、住房问题、乘客下车问题等] 与本例属于相同的数学模型。 例如，生日问题：n（≤365）个人生日各不相同 的概率为 因此，“n人中至少有两人生日相同”的概率为：

  33. 例3-3 n人中至少有两人生日相同的概率

  34. 【例4】[随机取数问题] 【例4】从0，1，2，……，9共十个数中随机取4个，求下列事件的概率： （1）A1：4个数中不含1和8； （2）A2：4个数中既含1也含8； （3）A3：4个数中不含1或8。 随机取数问题 〖解〗显然，基本事件总数[十取四的组合] ： 三事件的有利场合数分别为： [除1,8外的八取四的组合]

  35. 例4-2 [1,8必取，再在除1,8外的八取二的组合，乘法原理] [不含“1或8”分为互斥的三类：含1不含8，含8不含1，既 不含1也不含8，加法原理] 故所求概率分别为： ■

  36. 统计推断原理 关于小概率事件的重要结论 小概率事件在一次具体试验中几乎是不会 发生的.[统计推断原理] 小概率事件在大量重复试验中几乎是必然 发生的. 下面的例题是利用统计推断原理对某种假设作 出判断（接受或拒绝），这在数理统计的假设检验 中是非常有用的。

  37. 【例4 】[小概率事件] 【例4】某接待站在某一周内接待了12次来访者,已知 所有这些来访都是在星期二与星期四进行的,问能否由此 推断该接待站的接待时间是有规定的? 〖解〗若接待时间没有规定,且来 访者可在一周内任何一天到接待站, 则“12次来访都在星期二与星期四” 的概率为(千万分之三): 抽象:模型化 人=“球” 星期几=“盒”

  38. 例4-2 现在小概率事件竟然在一次试验中发生,因此依据 统计推断原理可以认为:该接待站的接待时间是有规定 的. ■

  39. 计算古典概率的基本思路 • 理解题意：分析随机试验的基本事件，构造尽可能 简单的等可能的样本空间，特别是不同方法求解时， 必须在同一样本空间中进行计算； • 设好事件: 一般在理解题意前提下，设出一些简单 事件，使其它复杂事件能利用简单事件的关系与运 算表达出来； • 正确计数：计算样本点总数[基本事件总数]和事件 所含样本点总数[有利场合数]，避免计数的重复或 遗漏。常用到排列、组合、乘法原理和加法原理等 知识。

  40. 续 • 利用公式:常用古典概率计算公式、对立事件概率 公式、加法公式、全概公式、贝叶斯公式、乘法 公式等。 • 注意模型：解题时注意模型化，抓住问题本质。

  41. 二、几何概率 定义2设试验E的样本空间Ω为一几何区域，其 测度[长度、面积或体积等] m(Ω)为有限值,若任意事 件A发生的概率与A的测度m(A)成正比,则称该试验为几 何概型. 设E为几何概型,A为事件,则A发生的概率为:

  42. 【例5】 【例5】两同学相约7点到8点在南大门会面，先到者 等候另一人20分钟，过时离去，求两人能会面的概率。 〖解〗 以x，y分别表示两人到达的时刻，则能会面的充要条件为 这是几何概率问题：可能结果的点(x,y)构成边长60的正方形；能会面的点(x,y)构成会面区域，故所求概率为 ■

  43. 【例6】从区间（0，1）中随机地取两个数，求下列事【例6】从区间（0，1）中随机地取两个数，求下列事 件的概率： （1）两数之和小于1.2; （2）两数之和小于1，且两数之积大于0.09. 【例6】 设所取两数分别为x，y，样本点（x，y）为正 方形区域S=[0，1；0，1]，即样本空间为该正方形S。 〖解〗 （1）事件A=“两数之和小于1.2”对应的平面区域为： 故由几何概率计算公式得：

  44. 例6-2 （2）事件B=“两数之和小于1，积大于0.09”对应的平 面区域为： 故由几何概率计算公式得： ■ 注意:利用定积分计算平面区域面积.

  45. 计算几何概率的基本思路 • 将几何概型的结果转化为某个可度量是几何区域S [直线、平面或空间等]中随机点来确定，找出事件 A发生相应的区域SA； • 计算样本空间S和随机事件SA的几何测度[长度、面 积、体积等]； • 利用几何概率公式计算A的概率。

  46. （2） ； （1） ； （3）若 是两两互斥事件组，则 1、频率 三、统计概率 定义3设在相同条件下进行的n次试验中事件A发生 nA(频数)次，称比值 为事件A在n次试验中发生的频率。 频率具有下列性质：

  47. 表1：抛一枚硬币观察正面H出现的频率

  48. 表2：[438023个字符中]英文字母频率 Dewey.G:Relative Frequency of English Spellings,1970. 练习：利用word统计功能确定一篇文章中单词的频率。

  49. 射击命中规定区域的频率演示

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