第 7 章参数估计

第7章参数估计 总体所服从的分布类型已知/未知抽样参数估计估计总体中未知的参数

参数估计 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数. 估计新生儿的体重估计废品率

§7.1 点估计及其方法

设有一个统计总体，总体的分布函数 为 F(x, )，其中为未知参数 ( 可以是向量) . 现从该总体抽样，得到样本 X1,X2,…,Xn 从样本出发构造适当的统计量作为参数的估计量，即点估计。将代入估计量，得到的估计值 点估计

关键问题：如何构造统计量? 矩估计点估计极大似然估计

大数定律： 矩估计总体k阶原点矩样本k阶原点矩矩估计基本思想: 用样本矩估计总体矩.

设总体的分布函数中含有k个未知参数 一般 ,那么它的前k阶原点矩都是这k个参数的函数,记为： r=1,2,…,k 矩法的步骤(1) 并记为： E( Xr )=gr(θ1, θ2,…, θk) (r=1,2,…,k);

用样本r阶原点矩Ar替换总体r阶原点矩， 列出方程组：矩法的步骤(2)

矩法的步骤(3) 解方程组，得 θr=hr(X1, X2,…, Xn) (r=1,2,…,k); 则以hr(X1, X2,…, Xn)作为θr的估计量，并称hr(X1, X2,…, Xn)为θr 的矩法估计量，而称hr(x1, x2,…, xn)为θr 的矩法估计值。

例1. 设总体X~N(μ , σ2 )，其中μ, σ2是 未知参数。试求μ , σ2的矩估计量。总体期望、方差的矩估计量分别是样本均值和样本二阶中心矩。

例2: 已知某产品的不合格率为p,由简单随机样本X1 ,X2 ,…,Xn求p的矩估计量。解：E(X)=np.

例3：X~U(a,b),由简单随机样本X1 ,X2 ,…,Xn求a,b的矩估计量。解：E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12.

矩法估计方法小结： 当总体只含一个未知参数时，用方程即可解出未知参数的估计量；当总体只含两个未知参数时，用方程组即可解出未知参数的估计量。

极大似然估计 例1 设一箱中装有若干个白色和黑色的球，已知两种球的数目之比为3:1或1:3，现有放回地任取3个球，有两个白球，问：白球所占的比例p是多少？

极大似然估计法 设总体X的分布律或概率密度为f(x; Ө), θ=(θ1, θ2,…, θk)是未知参数， X1,X2, …,Xn是总体X的样本，则称X1,X2, …,Xn的联合分布律或概率密度函数为样本的似然函数，简记为L(θ)。

对于固定的样本观测值x1,x2,…,xn。如果有

例2:设总体X~N(μ,σ2)，其中μ,σ2是 未知参数。求μ,σ2的极大似然估计。

另外： lnx是x的单调上升函数，则lnx与x有相同的极大值点，故有时选择θ1, θ2,…, θk的值，使lnL(θ)达到最大较为方便。因此也称Ln(θ)为似然函数。

求极大似然估计量的步骤： (1) 根据f(x; θ)，写出似然函数 (2) 对似然函数取对数 (3) 写出方程若方程有解，求出L(θ)的最大值点

例3:已知某产品的不合格率为p,由简单随机样本例3:已知某产品的不合格率为p,由简单随机样本 X1 ,X2 ,…,Xn，求p的极大似然估计量。若抽取100件产品，发现10件次品，试估计p

例5.设X1,X2,…,Xn为取自总体X~U(0, θ)的样 本,其中θ>0未知,求θ的极大似然估计量. 解：怎么办呢？显然,该似然方程无解.

其中 >0, 例6 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本求的矩估计量和极大似然估计量. 解：(1)矩估计

(2)极大似然估计

§7.2 点估计量的评选标准

评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量 . 即确定估计量好坏必须在大量观察的基础上从统计的意义来评价。常用的几条标准是： 1．无偏性 2．有效性 3．一致性

设是未知参数的估计量，若则称为的无偏估计 . 例：总体X, 已知判断的矩法估计量是否是无偏估计。 无偏性

设和都是参数的无偏估计量，若有则称较有效 . 有效性

设是参数的估计量，若有则称是参数的一致估计量. 一致性(相合性)

伯努利大数定律 辛钦大数定律

§7.3 区间估计

设是一个待估参数，给定 若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量满足则称区间是的置信度为的置信区间. 分别称为置信下限和置信上限. 置信区间定义：

区间估计 对于给定的置信度，根据样本来确定未知参数Ө的置信区间，称为未知参数Ө的区间估计。

求置信区间的步骤 (1) 选择合适方法估计未知参数Ө，再构造分布已知且与Ө无关的统计量U； (2) 给定置信度1-α，得常数a,b，使 P{a<U<b}= 1-α； (3) 将a<U<b变形，使得； (4) 结论

§7.4 正态总体均值与方差的区间估计

单正态总体四种类型的区间估计 • 期望的区间估计 • σ2已知时μ的置信区间 • σ2未知时μ的置信区间 2. 求方差的区间估计 μ已知时σ2的置信区间 μ未知时σ2的置信区间

已知方差，求期望的区间估计 例1：随机地从一批服从正态分布N(μ,0.022)的零件16个，分别测得其长度为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 估计该批零件的平均长度μ，并求μ的置信区间(α=0.05)

设X1,…Xn是取自的样本， 求参数的置信度为的置信区间. 查正态分布表得使

解：μ的矩估计值为 μ的置信区间为(2.115,2.135). 例1：随机地从一批服从正态分布N(μ,0.022)的零件16个，分别测得其长度为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 估计该批零件的平均长度μ，并求μ的置信区间(α=0.05)

方差未知，求期望的区间估计 例2：随机地从一批服从正态分布N(μ, σ2)的零件16个，分别测得其长度为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 估计该批零件的平均长度μ，并求μ的置信区间(α=0.05)

设X1,…Xn是取自的样本， 求参数的置信度为的置信区间. 查正态分布表得使

例2：随机地从一批服从正态分布N(μ, σ2)的零件16个，分别测得其长度为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 估计该批零件的平均长度μ，并求μ的置信区间(α=0.05)

例3：假定出生婴儿的体重服从正态分布，随即抽取16名新生婴儿，测其平均体重为3057克，样本方差为375.32.试求新生婴儿平均体重置信度为95%的置信区间。例3：假定出生婴儿的体重服从正态分布，随即抽取16名新生婴儿，测其平均体重为3057克，样本方差为375.32.试求新生婴儿平均体重置信度为95%的置信区间。

 μ已知,求方差的区间估计 例4：随机地从一批服从正态分布N(2.12, σ2)的零件16个，分别测得其长度为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 测量标准差σ反映了测量仪表的精度，试求σ的置信水平为0.95的置信区间

设X1,…Xn是取自的样本， μ已知 求参数的置信度为的置信区间. 使确定分位数

例5. 对飞机的飞行速度进行15次独立试验，测得飞机的最大飞行速度(单位：m/s)如下： 422.2 418.7 425.6 420.3 425.8 423.1 431.5 428.2 438.3 434.0 411.3 417.2 413.5 441.3 423.0 假设飞机最大飞行速度服从求最大飞行速度的方差的置信度为0.90的置信区间。解： σ2的置信区间为( 41.407010, 142.549270 ).

 μ未知,求方差的区间估计 例6：用一个仪表测量某物理量9次，得到样本均值为56.32，样本标准差为0.22. 测量标准差σ 反映了测量仪表的精度，试求σ的置信水平为0.95的置信区间。例7：假定出生婴儿的体重服从正态分布，随即抽取12名新生婴儿，测其平均体重为3057克，样本方差为375.32.试求新生婴儿体重方差的置信度为95%的置信区间。

设X1,…Xn是取自的样本， 求参数的置信度为的置信区间. 确定分位数使

例7：假定出生婴儿的体重服从正态分布，随即抽取12名新生婴儿，测其平均体重为3057克，样本方差为375.32.试求新生婴儿体重方差的置信度为95%的置信区间。例7：假定出生婴儿的体重服从正态分布，随即抽取12名新生婴儿，测其平均体重为3057克，样本方差为375.32.试求新生婴儿体重方差的置信度为95%的置信区间。置信水平α=0.0500 ,置信度=95.00%, 上侧分位点=21.919922,下侧分位点=3.815430 样本方差=140850.09, 方差的置信区间为 ( 70682.322630, 406075.099503 )

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