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第四章 弯曲应力

第四章 弯曲应力. Chapter 4 Bending Stresses. §4.1 平面弯曲的概念 Concept of Plane Bending. I. 平面弯曲 (Plane Bending) Bending--- 在荷载的作用下，杆的轴线变成为曲线，这种变形称为弯曲。 Beam--- 凡是以弯曲为主要变形的杆件，统称为梁。 工程实例：. P. P. P. P. P. P. P. P. 工程实际中的弯曲问题. 外力特征：作用线与杆轴线垂直的横向力或绕 Z 轴转动的力偶。. 变形特征：杆轴线由直线变为曲线。即弯曲变形（ bending).

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第四章 弯曲应力

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Presentation Transcript

  1. 第四章 弯曲应力 Chapter 4 Bending Stresses

  2. §4.1 平面弯曲的概念Concept of Plane Bending I. 平面弯曲(Plane Bending) • Bending---在荷载的作用下，杆的轴线变成为曲线，这种变形称为弯曲。 • Beam---凡是以弯曲为主要变形的杆件，统称为梁。 • 工程实例：

  3. P P P P P P P P 工程实际中的弯曲问题

  4. 外力特征：作用线与杆轴线垂直的横向力或绕Z轴转动的力偶。外力特征：作用线与杆轴线垂直的横向力或绕Z轴转动的力偶。

  5. 变形特征：杆轴线由直线变为曲线。即弯曲变形（bending)变形特征：杆轴线由直线变为曲线。即弯曲变形（bending)

  6. 简化计算--工程中常见梁的横截面形状 横截面几何形状要求---仅限于有纵向对称面的横截面。

  7. 纵向对称平面 A B 轴线 平面弯曲（plane bending) 　　有纵向对称面且荷载全部位于此面内时，梁变形后的轴线必定是一条位于对称面内的平面曲线。 所有的荷载与轴线的变形位于同一平面内。

  8. 纵向对称平面 A B 轴线 变形后的轴线 平面弯曲后的变形的几何特征及荷载特征

  9. II. 梁的计算简图 • A simply supported beam (A simple beam) (简支梁) Span（跨度）：The distance between a support and another

  10. An overhanging beam （外伸梁）

  11. A cantilever beam （悬臂梁） B A B A

  12. 4.2 梁的内力——剪力和弯矩 4.2 Shearing Force and Bending Moment in Beams

  13. I.梁的剪力和弯矩 I. Shearing Force and Bending Moment in Beams

  14. 用平衡方程求出其支反力: a shearing force bending moment c 1.梁的剪力和弯矩 用截面法求梁的内力 （b）

  15. : 用截面法求梁的内力 （b） （这里的矩心C为截面上的形心） 求得剪力和弯矩：

  16. （上侧受拉） ＋ － － ＋ （下侧受拉） 2.剪力和弯矩的正、负号规定 用dx微段表示的剪力和弯矩的正负号规定

  17. － ＋ ＋ 弯矩—产生“微笑”变形曲线为正。 － 内力符号规定小结 轴力—产生伸长变形为正 剪力—产生顺钟错动为正。 + － 扭矩—用右手螺旋定则，拇指背离截面为正。

  18. 3. 用截面法求指定截面上的剪力和弯矩的步骤与注意事项 • 平衡方程计算支座反力 • 截面法取研究对象（假想地在需求内力处将梁截开，并取其中外力较简单一段） • 画出受力图（剪力和弯矩都按正向假定） • 列平衡方程，解出内力（结果为正，则与假设方向相同，反之相反）

  19. 例4.1 用截面法计算如图所示外伸梁1-1,2-2,3-3,4-4截面上的内力，其中： 解得： 校核： 例题： 解：1） 求支座反力 （a）

  20. 2) 用截面依次在1-1,2-2 截面处截开，取左段为研究对象; 图(b)： 图(c):

  21. 图(d): 图(e):

  22. 分别比较各截面的内力： A截面 D D截面 （a） 分析可知： a.集中力作用，剪力突变，其值等于集中力的值，弯矩不变。 b.集中力偶作用，弯矩突变，其值等于力偶的值，剪力不变。

  23. 1）剪力 2）弯矩 4. 内力计算规则——直接法 外力使构件顺钟转为正，反之为负 外力对截面形心之矩使构件产生“微笑”变形为正，反之为负. “盆形” 曲线为正, “坟形” 曲线为负

  24. 2) 用截面依次在1-1,2-2 截面处截开，取左段为研究对象; 图(b)： 图(c):

  25. 图(d): 图(e):

  26. 例4.2 用直接法求如图所示外伸梁上F截面和D稍左截面上的剪力和弯矩。已知： M FQ FDy 用内力计算规则（直接法）求梁的内力（剪力和弯矩） FBy=3.75 解：1）求支座反力 FDy=3.25 2）求F截面上的剪力和弯矩: 取F截面左段为研究对象

  27. M FQ M FQ FDy 3) 求D稍左截面上的剪力和弯矩 取左段为研究对象 或：取D右段为研究对象 产生顺钟转变形的剪力为正；产生“微笑”弯曲变形的弯矩为正。

  28. 例4.3 如图所示，用直接法计算指定的 1-1,2-2和3-3截面上的内力，设三个截面到支座A的距离分别为 1 1 M FQ 解： 1）求支座反力 2）用直接法分别求各截面上的内力 x1 1-1 截面左段：

  29. 1 2 2 1 M FQ 2-2 截面左段： x2

  30. M 1 3 2 FQ 2 3 x3 1 3-3 截面右段： 注：若将x1、x2、x3看做是沿轴线方向的变量x，则所求得的内力就是截面位置x的函数----即剪力方程和弯矩方程。

  31. FQ - Fp Fpl - x (c) M II.　剪力图与弯矩图 一般情况下，梁横截面上的内力（剪力和弯矩）是随截面的位置变化的. • 剪力方程和弯矩方程一般为阶段函数，依此函数可画出剪力图和弯矩图。 • 剪力为正时画在x轴线上面，剪力为负时画在x轴线下面；弯矩无论正负只画在梁的受拉边。 即 ＦＱ＝ＦＱ（x) 剪力方程 弯矩方程 Ｍ＝Ｍ（x) + +

  32. M FQ Fp B A x x L (a) (a) • (0<x<l) , FQ(x)= Fp左=- Fp • (0<X<l), M(x)= Mc(Fp)=- Fp ·x (b) 例4.3.悬臂梁AB,在自由端受集中力Fp作用,试绘出此梁的剪力图和弯矩图 解：1）列梁的剪力方程和弯矩方程 将坐标 x的原点取在A端，由直接法可得

  33. (0<x<l) , FQ(x)= Fp左=- Fp (a) x Fp B A x L Fq (a) x - Fp (b) 2)作剪力图和弯矩图 • 由式（a）知 • 梁的剪力为常量，即剪力不随截面位置而变化，故剪力图是一条与x轴平行的直线。 只选一个控制点

  34. (0<X<l), M(x)= Mc(Fp)=- Fp ·x (b) Fpl - x (c) M ∴梁的弯矩为x的一次函数，故弯矩图是一条斜直线，须由两控制点确定。 可见，悬臂梁的最大弯矩出现在固定端左侧截面位置，其数值为|M|max=FpL, 在x=0处，M（0）=MA=0， 在x=L处，M（L）=MB左=-FpL,

  35. Fp B A x x L (a) Fq x - Fp (b) Fpl - x (c) M • 注（1）习惯上把剪力图和弯矩图与梁的计算简图上下对齐，并标明FQ图、M图和控制截面内力值（有数值时应标明单位），以及正负号，而坐标轴可省略。 • （2）对于剪力或弯矩有突变的截面，只能计算该截面稍左或稍右截面处的剪力和弯矩。

  36. 1 ）求约束反力； 2）列剪力和弯矩方程；3）画剪力和弯矩图 1 ）列剪力和弯矩方程；2）画剪力和弯矩图 解题步骤 • 正确列出剪力和弯矩方程 方程的形式 曲线形状 控制点的个数 常数 水平直线 1 • 恰当选 一次函数 斜直线 2 取控制点 二次函数 二次曲线 3

  37. M FQ m x A B L FQ 例4.4悬臂梁AB,在自由端受集中力偶M作用,试绘出此梁的剪力图和弯矩图 解：1）列剪力方程和弯矩方程 • 将坐标 x的原点取在A端，由直接法可得 M m +

  38. M FQ q B A L FQ x 例4-4悬臂梁AB, 受分布荷载作用,试绘出此梁的剪力图和弯矩 解：1）列剪力方程和弯矩方程 将坐标 x的原点取在A端，由直接法可得 - q L qL2/8 qL2/2 - M L/2

  39. 例4-6 简支梁AB受集中力Fp作用如图6.15所示,试作出此梁的剪力图和弯矩图 Fp a b (a) B A C L 图6.15

  40. M Fp (a) a b FQ A C B X FBY FAY L 图6.15 AC段: FQ(x)= Fp左=FAY=bFp /L (0<x<a) (a) Mc(x)= Mc(Fp左)= FAY x=bFpx/L (0<x<a) (b) 解:1)求支座反力由梁的平衡可解得 • FAY=bFp /L ( ) • FBY=aFp /L ( ) 2)列剪力方程和弯矩方程 将坐标x的原点取在A端,由直接法得:

  41. Fp 由于梁在C处有集中力作用,故AC段和CB段的剪力方程和弯矩方程不相同,要分段列出: M FQ a b B A C X CB段: • FQ(x) = Fp右=- FBY =-aFp /L, (a<x<L) (c) M(x)= MZ(Fp右) = FBY (L-x) =aFp /L (L-x), (a<x<L) (d) L FBY FAY 图6.15 FBY=aFp /L ( )

  42. Fp • 由式(a),式(c)可知,AC段和BC段的剪力图均为平行于x轴的直线,分别位于x轴的上侧和下侧。 a b (a) B A C X L FBY FAY Fpb/L + 图6.15 FQ图 - 3)作剪力图和弯矩图 FQ(x)= Fp左=FAY=bFp /L (0<x<a) (a) FQ(x) = Fp右=- FBY =-aFp /L,(a<x<l) (c)

  43. Mc(x)= Mc(Fp左)= FAY x=bFpx/L (0<x<a) (b) M(x)= MZ(Fp右) = FBY (L-x) =aFp (L-x) /L, (a<x<L) (d) + Fpab/L • 由式(b) ， (d)和式可知，AC段和BC段的弯矩均为直线，分别由二控制点确定： M • CB段: • 在x=a处, M(a)= MC =abFp /l, • 在x=0处, M(l)=MB=0, • AC段: • 在x= 0,处,M(0)=MA= 0 • 在x= a处,M(a)=MC=abFp /l,

  44. Fpb/L + FQ图 - 当a<b时,则在AC段的任一截面上的剪力值最大,|FQ|max=bFp /L 在x=a处, Mmax =M(a)= MC =abFp /L M + Fpab/L

  45. Plotting Shearing Force and Bending Moment Diagrams (shearing force equation) (bending moment equation)

  46. Example 1. A simple beam subjected to an uniformly distributed load. x RA RB (4) Solution: (1) the reactions at the supports. • shearing force and bending • moment equations. (0 < x < l) (0 ≤x ≤l) • shearing force and bending • moment diagram

  47. P B A l x Q M x x Example 2. A cantilever beam AB subjected to a concentrated force P at point A. • Solution: • shearing force and bending moment equations (b) Shearing force and bending moment diagrams P ( c) (At point B) Pl

  48. P a b C A B x1 x2 RA RB l Q M x x Example 3. A simple beam AB subjected to a concentrated load P at point C. Solution: (1)The reactions at the supports (2)segment AC : Pb/l segmentCB: Pa/l Pab/l (3) Plotting their diagrams

  49. P a b C A B x1 x2 RA RB l Pb/l M Q Pa/l x x Pab/l (4) Determinate maximum values

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