Inventory Management (Deterministic Model): EOQ Models and Extensions

1. Inventory Management (Deterministic Model):EOQ Models and Extensions Prof. Dr. Jinxing Xie Department of Mathematical Sciences Tsinghua University, Beijing 100084, China http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/~jxie Email: jxie@math.tsinghua.edu.cn Voice: (86-10)62787812 Fax: (86-10)62785847 Office: Rm. 1202, New Science Building

2. Inventory • Cycle inventory • Exists in a supply chain because different stages exploit economics of scale to lower the total cost • Safety inventory • Is carried because demand forecasts are uncertain and a product shortage may result if actual demand exceeds the actual demand • Other inventory • Deals with price fluctuations, etc.

3. 库存费用在不同的领域中所占的比重 • 要解决的问题 • 什么时候发出订货？ • 每次应订多少货？

4. 库存系统特征(库存模型分类） • 系统结构 • Single stage • Multi-stage (echelon): serial, in-tree, out-tree • 需求（demand） • 确定性 • 不确定性 • 计划期（planning horizon) • Single period • Finite periods • Infinite periods • 供货提前期（leadtime) • 确定性 • 不确定性 • 库存监控方式(monitoring) • 连续盘点(continuous review) • 周期盘点(periodic review) • 缺货(shortage/stockout)处理方式 • Backlogging (backorder) • Lost sales • 其他

5. 相关成本 持货费用(inventory holding / carrying cost): 与库存量成正比。 c：每件物品的价值 Ｉ：年利率或其他因素 h：每件物品的年持货费用 则下述关系成立

6. 相关成本 持货费用: 一个有趣的问题： 当库存量随着时间而变时，如何计算持货费用？

7. 相关成本 订购成本(ordering cost)： 该项成本包含两部分： 固定费用 　换订成本 (setup cost) 可变部分  与订购量成正比(purchasing cost)

8. 相关成本 订购成本：

9. 相关成本 惩罚成本(penalty cost)： • 惩罚成本是由于缺货而不能满足顾客需求所造成的成本； • 此项成本视缺货时的处理方式（等待和不等待）而有不同的内涵； • 它应包含“信誉”方面的成本； • 用符号 p 表示单位缺货所带来的惩罚成本。

10. 经济订货批量模型Economic Order Quantity（ＥＯＱ）（sometimes called EPQ, EMQ) 基本模型： 假设条件： • 无穷长的计划时间 • 单位时间对物品的需求率为已知且为常数（Constant） • 不允许有缺货 • 无订货提前期 • 成本包括 • 每次订货时的换订成本为Ｋ • 每单件进货成本为 c • 单件物品的年持货成本为h

11. 经济订货批量（ＥＯＱ）模型 基本模型：

12. 经济订货批量（ＥＯＱ）模型 基本模型： 每一周期的进货成本 平均库存量 单位时间库存成本

13. 经济订货批量（ＥＯＱ）模型 基本模型： 经济订货批量 (EOQ) (Harris, 1913)

14. 经济订货批量（ＥＯＱ）模型 基本模型： 从上述图中可见，最小总成本恰巧是两个分项成本的交叉点。 注意在经济订货批量Ｑ* 的计算公式中，没有进货价格 c。

15. 经济订货批量（ＥＯＱ）模型 例１： 单位时间的需求率 保管费用 换产成本 经济订货批量 EOQ

16. 经济订货批量（ＥＯＱ）模型 包含订货提前期时：

17. 经济订货批量（ＥＯＱ）模型 包含订货提前期时：

18. 经济订货批量（ＥＯＱ）模型 包含订货提前期时： 当 　时，应用如下方法: • 计算比例 • 将上述比例的余数乘以周期长度 • 将上述结果乘以需求率得出再订货点

19. 有限生产率(limited production rate)

20. 有限生产率

21. 有限生产率 单位时间的总成本 经济订货批量ＥＯＱ (here also called EPQ or EMQ)

22. 按量折扣(discount)模型 两种可能性： • 所订购的所有物品均具有相同的折扣 • 所订购的所有物品中，每超过一个基准量其超过部分物品按一个新的折扣价计算 第一种模式（称其为一致折扣）更加普遍些 称第二种模式为分段折扣

23. 按量折扣模型 例２： 书包的折扣价

24. 按量折扣模型 例２：从图中可以看出，一致折扣模式似乎存在不合理的地方，例如，499个书包的总成本是149.70元，而500个书包的总成本却是145.0

25. 按量折扣模型 一致折扣模式下的最优订货策略： 针对各个折扣价格计算对应的ＥＯＱ值

26. 按量折扣模型 一致折扣模式下的最优订货策略：

27. 按量折扣模型 一致折扣模式下的最优订货策略：

28. 按量折扣模型 一致折扣模式下的最优订货策略： 有三个值可以作为最优解的候选者：400, 500 和 1000。 单位时间的成本函数如下

29. 按量折扣模型 一致折扣模式下的最优订货策略：

30. 按量折扣模型 一致折扣模式下的最优订货策略： 小结： • 确定最大的有效的 EOQ 值 • 比较此最大 EOQ 处的成本值与大于此 EOQ 值的各折扣价格点处的成本值，确定最优解。

31. 按量折扣模型 分段 折扣

32. 按量折扣模型 分段折扣模型： 单位时间平均成本函数

33. 按量折扣模型 分段折扣模型：

34. 按量折扣模型 分段折扣模型：

35. 按量折扣模型 分段折扣模型：

36. 按量折扣模型 分段折扣模型：

37. 按量折扣模型 分段折扣模型： 和 　均为有效值;因为 　 　　，所以 　　为无效值。 最优解可通过比较 　 和 　　 的大小而获得。

38. 按量折扣模型 分段折扣模型： 小结 • 对于每个价格区间，确定其对应的成本代数表达式 • 将 　　 的表达式代入 　　表达式中 • 从上一步中确定最小的有效值（即落在正确的区间中）

39. 按量折扣模型 其它折扣模式：

40. 资源受限时多品种库存系统 例３： 商店在进货方面的总投入(仅考虑可变成本)不超过：30000元　（包括固定成本不超过 33000 元） 假设I = 0.25, 即　hj=0.25cj

41. 资源受限时多品种库存系统 解：

42. 资源受限时多品种库存系统 解： 所需最大进货投入为 35835 元(仅考虑可变成本)。 可是总投入要求不超过　30000　元，所得的EOQ解违反了该约束。 因此必须减少这些批量。如何做？

43. 资源受限时多品种库存系统 解： 我们只需将各EOQ值乘以比率 30000 / 35835 = 0.8372 即可。

44. 资源受限时多品种库存系统 一般地，假定 n类品目其单位成本为 c1, …, cn, 总的可利用投入为Ｃ。

45. 资源受限时多品种库存系统 两种可能性： １）如果所得的EOQ解有效，则 ２）如果所得的EOQ解违反约束条件，则 最优解必然在等号处取得

46. 资源受限时多品种库存系统 如果下列条件成立，即 可用Lagrangean relaxation method 则可容易地获得最优解

47. 资源受限时多品种库存系统 假定约束条件为库存空间约束 则该问题更复杂些（wi/hi一般不是常数）． 当约束中等号成立时，可证明最优解是如下形式 （Lagrangean relaxation method)

48. 资源受限时多品种库存系统 式中：　（Lagrangean Multiplier）值的选择应使下式成立 其具体值可通过解非线性方程得到，实际应用中也用试错法（try-and-error）来确定(尤其是当要求订货量为非负整数时)。

49. 资源受限时多品种库存系统 例４： 考虑例３中的情形。 假定可利用的存货空间为 2000 平方米。 三种货品中，每单件物品所占用的空间分别为 9 平方米, 12平方米, 和 18 平方米。

50. 资源受限时多品种库存系统 例４： 首先，检查对应的EOQ 是否可被满足 由此可知，可利用的空间不能满足EOQ 的量。