Měření úhlů

r = 1 x φ Jednotková kružnice Měření úhlů • Úhly lze měřit ve dvou různých jednotkách Stupňová míra Oblouková míra Stupňová míra rozděluje celý úhel (kruh) na 360 jednotek – stupňů. Jeden stupeň dále dělí na 60 minut a 360 vteřin: Oblouková míra využívá délky oblouku, který úhel vytíná na jednot-kové kružnici (x). Jelikož obvod jed-notkové kružnice je O = 2πr = 2π, velikost plného kruhu je v obloukové míře roven 2π. Jednotka obloukové míry se nazývá radián (rad) a je rovna takovému úhlu, pro který platí x = 1. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

Příklad Měření úhlů • Obecně lze mezi stupni a radiány převádět pomocí trojčlenky:

r = 1 x sin x sin φ φ protilehlá odvěsna přepona cos x cos φ přilehlá odvěsna přepona Jednotková kružnice Goniometrické funkce • Základní definice goniometrických funkcí vychází z jednotkové kružnice V argumentu goniometrických funkcí je tedy úhel. Protože pravoúhlé troj-úhelníky o shodných vrcholových úh-lech jsou podobné, lze říci, že

1 r = 1 x sin x sin φ 2π φ -2π -π -π/2 π/2 π -1 Goniometrické funkce Funkce sinus • Lichá : sin (-x) = - sin (x) • Periodická : minimální perioda T = 2π • Omezená : -1 ≤ sin (x) ≤ 1 • Je prostá na intervalu a obdobných, ne však na celém Df • Není monotónnína celém Df

1 r = 1 x φ -2π -π π/2 π -π/2 cos x -1 Goniometrické funkce Graf lze nakreslit stejně jako pro sinus, otočíme-li kružnici o devadesát stupňů. Funkce cosinus • Sudá : cos (-x) = cos (x) • Periodická : minimální perioda T = 2π • Omezená : -1 ≤ cos (x) ≤ 1 • Je prostá na intervalu a obdobných, ne však na celém Df • Není monotónnína celém Df

Lichá : tan (-x) = tan (x) • Periodická : min. p. T = π • Není omezená • Je prostá na • Rostoucí na Goniometrické funkce Funkce tangens

Goniometrické funkce Funkce cotangens • Lichá : cot (-x) = cot (x) • Periodická : min. p. T = π • Není omezená • Je prostá na • Klesající na

x sin x cos x tan x n.def. n.def. cot x n.def. n.def. n.def. Hodnoty goniometrických funkcí V následující tabulce jsou funkční hodnoty goniometrických funkcí pro nejčastěji používané úhly. Tyto hodnoty plynou z jednoduchých geomet-rických vztahů na jednotkové kružnici – ověřte si doma.

Součtové vzorce

Součtové vzorce Pozn.: vzorce pro extrémní případy (např. sin x + sin x) musí také platit! To je dobré pro ověřování, zda jste si na tvar vzorce vzpomněli správně . Obdobných vzorců lze odvodit značné množství. Lze je nalézt v libovolném přehledu matematiky.

Příklad Goniometrické rovnice • Goniometrickou rovnicí nazveme každou rovnost, ve které se neznámá • vyskytuje v argumentu goniometrické funkce. Nejjednodušší případy jsou kde -1 ≤ a ≤ +1. Tyto rovnice mají nekonečně mnoho řešení (kořenů) v dů- sledku periodičnosti funkcí sinus a cosinus. Pokud |a| > 1, nemá rovnice žádné řešení (kořen). Postup řešení: • Zjistíme kořeny v intervalu . K tomu užijeme zobrazení na jednotko- • vé kružnici, tabulku nebo kalkulačku. Kořeny jsou dva, resp. pro |a|=1 jeden. • Všechny další kořeny pak díky známé nejmenší periodě určíme jako Řešte rovnice sin x = 1, cos x = -1, sin x = 1/√2, cos x = ½ .

Goniometrické rovnice • Rovnice ve tvaru řešíme obdobně: • Zjistíme kořeny v intervalu . K tomu užijeme tabulku nebo kalkulačku. • Všechny další kořeny pak díky známé nejmenší periodě určíme jako • Při řešení rovnice ve tvaru vyjdeme z faktu, že:

y2 Příklad y1 sin y = - ½ Goniometrické rovnice • Složitější rovnice řešíme kombinacemi substitucí a součtových vzorců Vyřešte rovnici Zavedeme substituci y = 2x

Příklad cos x = - ½ y2 x1 Goniometrické rovnice • Složitější rovnice řešíme kombinacemi substitucí a součtových vzorců Vyřešte rovnici Zavedeme substituci y = cos x Dořešte doma…

Příklad Goniometrické rovnice • Složitější rovnice řešíme kombinacemi substitucí a součtových vzorců Vyřešte rovnici Musíme rovnici upravit na takový tvar, ve kterém by se vyskytoval buď pouze sinus, nebo pou-ze cosinus. K tomu využijeme vzorce sin2 x + cos2 x = 1.

Příklad Goniometrické rovnice • Složitější rovnice řešíme kombinacemi substitucí a součtových vzorců Vyřešte rovnici Podle součtového vzorce pro sinus platí sin ( x + x0 ) = sin x cos x0 + cos x sin x0. Protože čísla a,b jsou obecně různá, je třeba je zahrnout do nějaké konstanty A spolu se sin x0, cos x0: Takovou parametrizaci lze zvolit vždy nehledě na velikost a, b, neboť a tangens má obor hodnot všechna reálná čísla a navíc je na intervalu (-π/2,+ π/2) prostý. Levou stranu rovnice lze tedy po dosazení za a a b přepsat jako:

DÚ Goniometrické rovnice Za pomoci součtového vzorce A.sin ( x + x0 ) = A.sin x cos x0 + A.cos x sin x0 potom : dále pak řešíme substitucí y = x + x0 . Řešení existuje ovšem pouze v tom případě, že c ≤ A. Rovnice tohoto jsou ve fyzice velmi časté. Vyřešte rovnici

3 2 1 2π -2π -π π -1 -2 Harmonické funkce • Harmonickou nazveme funkci ve tvaru Tyto funkce mají ve fyzice velkou důležitost. Koeficient a ovlivňuje „výšku“ grafu, parametr b minimální periodu a společně s parametrem c posun grafu podél osy x.

1 2π -2π -π π -1 1 2π -2π -π π -1 Harmonické funkce

1 2π -2π -π π -1 Harmonické funkce

Funkce inverzní k sin x na • intervalu (-π/2, π/2) • Omezená • Prostá • Rostoucí Cyklometrické funkce Funkce arcussinus

Funkce inverzní k cos x na • intervalu (0, π) • Omezená • Prostá • Klesající Cyklometrické funkce Funkce arcuscosinus

Omezená • Prostá na • Rostoucí Cyklometrické funkce Funkce arcustangens

Omezená • Prostá na • Klesající Cyklometrické funkce Funkce arcuscotangens

Vzorce pro cyklometrické funkce Pozn.: obdobných vzorců je spousta, lze je nalézt v libovolné matematické příručce (netřeba je znát zpaměti  ).

Shrnutí • Stupňová x oblouková míra • Jednotková kružnice • Funkce sin x, cos x • Funkce tan x, cotan x • Součtové vzorce • Řešení goniometrických rovnic • Harmonické funkce • Cyklometrické funkce arcsin x, arccos x • Cyklometrické funkce arctan x, arccot x • Součtové vzorce pro cyklometrické funkce

Měření úhlů

Měření úhlů

Presentation Transcript