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第三章

第三章. 機率. 3.1 機率和統計的關係. 3.2 樣本空間及事件. 3.3 機率基本概念及性質. 3.4 計數技巧. 3.5 條件機率、獨立事件及貝氏定理. 3.2 樣本空間及事件.

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  1. 第三章 機率

  2. 3.1 機率和統計的關係 3.2 樣本空間及事件 3.3 機率基本概念及性質 3.4 計數技巧 3.5 條件機率、獨立事件及貝氏定理

  3. 3.2 樣本空間及事件 任何一個不能事先確定結果的過程，我們把它統稱為「試驗」。比 如，擲一顆骰子，觀察朝上那面的點數，就叫做一項試驗，因為丟擲的時 候並不能確定結果會出現幾點。但是可以確定的是，骰子丟擲之後出現的 點數，必定是 1、2、3、4、5、6 的其中之一，這些可能點數所構成的集合 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，稱為這個試驗的樣本空間 (sample space)。 樣本空間 一項試驗所有可能發生的結果所構成的集合，叫做該試驗的樣本空間，常用符號S 表示，且該集合中的元素稱為樣本點。

  4. 3.2 樣本空間及事件 例3.2-1 連續丟擲一枚硬幣三次，觀察哪一面朝上，寫出樣本空間。 解3.2-1 每一次的結果都可能是正面(head) 或反面(tail)，如果用 H 代表正面，T 代表反面，則樣本空間為

  5. 3.2 樣本空間及事件 事件 樣本空間的任一子集均稱 為事件，當試驗結果為該 事件當中任一樣本點時， 我們稱該事件發生了。

  6. 3.2 樣本空間及事件 事件可以用集合表達，也可以用描述方式表達。假設我們連續擲一枚硬幣三次，並關心正面是否至少出現兩次這件事，可以用兩種方式表達：

  7. 3.2 樣本空間及事件

  8. 3.2 樣本空間及事件 例3.2-3 • 擲一顆骰子，觀察朝上一面的點數，則樣本空間 S = {1, 2, 3, 4, 5,6}；令 A = {1, 2}，即擲出點數小於 3 的事件。 • 如果 A 沒有發生，表示擲出的點數大於或等於 3。 • 也就是

  9. 3.2 樣本空間及事件

  10. 3.2 樣本空間及事件 例3.2-4 • 連續擲一枚硬幣三次，令 A 代表「正面至少出現兩次」的事件，B 代 表「三次結果都相同」的事件。 • 試寫出「A 和 B 都發生」的事件和 「A 和 B 至少有一件發生」的事件。

  11. 3.2 樣本空間及事件 例3.2-4解 令 H 代表正面、T 代表反面，則 A = {HHH, HHT, HTH, THH} B = {HHH, TTT}

  12. 3.2 樣本空間及事件 例3.2-5 • 連續擲一枚硬幣三次，令 A 代表「正面至少出現兩次」的事件，B 代 表「反面至少出現兩次」的事件，則 A 和 B 是否為互斥事件？ 例3.2-5解 A = {HHH, HHT, HTH, THH} B = {TTT, TTH, THT, HTT}

  13. 3.2 樣本空間及事件 例3.2-5解 • 其實從題目對 A 和 B 事件的描述就知道答案了。 • 因為擲一枚硬幣三次的時候，「正面至少出現兩次」和「反面至少出現兩次」這兩件事，不可能同時發生。

  14. 3.3 機率基本概念及性質 古典機率 (classical probability，也稱傳統機率 ) • 假設某一試驗的可能結果有 n 種，其中每一種發生的機率都相同，若 事件 A 中包含了 n 種結果中的 k 個，則事件 A 的機率等於k 除以 n，記為

  15. 3.3 機率基本概念及性質 古典機率 (classical probability，也稱傳統機率 ) • 其中符號 n(．) 中的 n 代表總數(number)，n(A) 就代表事件 A 中的結果總數。 • 各種撲克牌和擲骰子遊戲都適用這種機率。例如，擲一顆骰子時，通常都可假設骰子很均勻，因此出現每種點數的機率都相同，都等於六分之 一。

  16. 3.3 機率基本概念及性質 相對次數機率 (relative frequency probability) • 假設在 n 次試驗當中，事件 A 發生了 k 次，則事件 A 的相對次數機率為：

  17. 3.3 機率基本概念及性質 主觀機率 (subjective probability，也稱個人機率 ) • 個人主觀認定的機率，就叫做主觀機率。 • 根據主觀機率的定義，明顯可知這種機率很不可靠；但有時我們需要做判斷，面對的狀況又不適合用第一種或第二種機率描述時，還是會用到主觀機率，這時應盡量多蒐集資訊之後才來決定機率。

  18. 3.3 機率基本概念及性質 • 不論用哪種方式定義，機率必定符合以下性質： 設 S 為一試驗之樣本空間，則以下性質必成立

  19. 3.3 機率基本概念及性質 由此可得以下性質：

  20. 3.3 機率基本概念及性質 例3.3-2 • 擲兩顆均勻骰子，每一顆都可能出現 1 到 6 點，所以樣本空間包括36 個可能結果，機率都相同。點數和 ≤ 10 的情況太多了，這種狀況，應該考慮事件的補集。 同時擲兩顆均勻骰子，試求出現點數的和 ≤ 10 之機率。 例3.3-2 解

  21. 3.3 機率基本概念及性質 例3.3-2 解 • 令 A 代表點數和 ≤ 10 的事件，則 Ac 代表點數和 >10 的事件。因此

  22. 3.3 機率基本概念及性質 • 性質 3 若應用在兩個事件上，可以表示為： 但一般情形下，兩事件未必符合互斥條件，則有以下性質：

  23. 3.3 機率基本概念及性質 例3.3-4 • 令 A 代表號碼為偶數之事件，B 代表號碼大於 4 之事件，則所求為 若箱子中有七個材質及大小相同的球，分別標以 1、2、3、4、5、6、7 等號碼。今自箱子中取出一球，試求其號碼為偶數或大於 4 的 機率。 例3.3-4 解 因為事件 A ∩ B 代表號碼既為偶數、又大於 4，符合條件的號碼只有6 一個。

  24. 3.3 機率基本概念及性質 性質 5 推廣到三個事件，則有： 6. 對任三事件 A、B 及 C

  25. 3.3 機率基本概念及性質 例3.3-5 假設某一運動網站討論區的會員中，喜歡看職棒的有 65%，喜歡看 職籃的有 60%，喜歡看網球的有 40%，喜歡看職棒及職籃的有 45%， 喜歡看職棒及網球的有 25%，喜歡看職籃及網球的有 15%，職棒、 職籃和網球都愛看的有 5%。如果從這些會員當中隨意抽出一人，則 在職棒、職籃和網球三種比賽當中，他至少喜歡看其中一種的機率是多少？

  26. 3.3 機率基本概念及性質 例3.3-5 解 • 令 A、B、C 分別代表喜歡看職棒、喜歡看職籃、喜歡看網球的事件，則題目所求為。

  27. 3.4 計數技巧 • 當某一試驗的可能結果有 n 種，且其中每一種發生的機率都相同時，若要計算事件A 的機率，只要數一下 A 裡面包含幾種結果就可以得到答案。 • 常用的計數公式包括乘法原理、排列 和組合。 乘法原理　 (multiplication principle) 直線排列　 (permutation) 假設一件事要分 k 個階段完成，第一階段有 n1 種做法，第二階段有 n2 種 做法，…，第 k 階段有 nk 種做法，則整件事共有 n1．n2．…．nk 種方法可 以完成。

  28. 3.4 計數技巧 組合(combination)

  29. 3.4 計數技巧 例3.4-1 老師有兩張別人送的偶像團體演唱會門票想轉送給同學，一張在最貴 的 A 區，一張在最便宜的 C 區。為公平起見，採用抽籤方式決定。 若全班共有 45 位同學，則總共有多少種可能結果？

  30. 3.4 計數技巧 例3.4-1 解 這是排列問題。可能結果有 如果題目改成兩張票都在同一區，且位置差別不大，這時只要從 45人中抽出 2 人，不需再排列，就變成組合問題了。

  31. 3.4 計數技巧 例3.4-3 從一副 52 張的撲克牌中隨意發出 13 張，試求 13 張恰屬於兩種花色 的機率。

  32. 3.4 計數技巧 例3.4-3 解 經過繁複的計算，可得此機率略低於萬分之一。

  33. 3.4 計數技巧 例3.4-4 ( 生日問題 ) 假設某一通識課程共有 50 位同學選修，試問同學中至少有兩人同一天生日的機率是多少 ( 閏年生日不列入考慮 ) ？

  34. 3.4 計數技巧 例3.4-4 解 經過繁複的計算，得到的答案大約是 0.97

  35. 3.5 條件機率、獨立事件及貝氏定理 條件機率公式如下：

  36. 3.5 條件機率、獨立事件及貝氏定理 例3.5-1 同時擲兩顆平衡骰子，觀察所出現的點數。試求以下條件機率： (a) 已知兩顆骰子點數相同，求點數和小於 4 的機率。 (b) 已知點數和小於 4，求兩顆骰子點數相同的機率。

  37. 3.5 條件機率、獨立事件及貝氏定理 例3.5-1 解 令 A 代表點數和小於 4 的事件， B 代表兩顆骰子點數相同的事件，則 A = {(1,1) , (1, 2) , (2,1)} B = {(1,1) , (2, 2) , (3, 3) , (4, 4) , (5, 5) , (6, 6)} A ∩B = {(1, 1)}。

  38. 3.5 條件機率、獨立事件及貝氏定理 例3.5-1 解

  39. 3.5 條件機率、獨立事件及貝氏定理 例3.5-2 假設大學某系一年級同學共有 100 位，其中女生 60 人、男生 40 人。 大一英文依能力分 A、B 兩班，A 班程度較高。 假設男生有 10 人分 到 A 班、30 人分到 B 班，女生有 20 人分到 A 班、40 人分到 B 班。 從 100 位一年級的同學當中隨意抽出一人 (a) 該生為男生的機率是多少？ (b) 若已知該生屬於 A 班，則該生為男生的機率是多少？

  40. 3.5 條件機率、獨立事件及貝氏定理 例3.5-2 解 令 M 代表男生的事件，A 代表屬於 A 班的事件，則

  41. 3.5 條件機率、獨立事件及貝氏定理 A 和 B 為獨立事件

  42. 3.5 條件機率、獨立事件及貝氏定理 例3.5-4 • 擲一顆均勻骰子兩次，令 A 代表點數和為偶數的事件、B 代表兩個點 數相等的事件，試判斷事件 A 和 B 是否獨立。 方法一 首先計算各事件的機率：點數和為偶數，代表兩個點數同為奇數或同 為偶數。若同為奇數，表示第一次擲出 1、3 或 5 點，第二次也是， 共有3．3 = 9 種可能；同為偶數也是有 9 種可能，因此

  43. 3.5 條件機率、獨立事件及貝氏定理 方法一 兩個點數相等共有 6 種可能，所以 A ∩B 代表點數和為偶數且兩個點數相等的事件，所以 事件 A 和 B 並不獨立

  44. 3.5 條件機率、獨立事件及貝氏定理 其實這題有更簡便的方法可以求解 方法二

  45. 3.5 條件機率、獨立事件及貝氏定理

  46. 3.5 條件機率、獨立事件及貝氏定理 例3.5-5 • 假設一容器中裝著 3 白球、2 紅球。現在從容器中依序取出 2 球 ( 第 一球取出後不放回 )，試求取出的第一球為白球、第二球為紅球的機率。 解： 令 A 代表第一次取出白球的事件，B 代表第二次取出紅球的事件，則所求機率P(A∩B)，根據乘法規則可得

  47. 3.5 條件機率、獨立事件及貝氏定理 這個乘法規則也可以推廣到三個事件上：

  48. 3.5 條件機率、獨立事件及貝氏定理 例3.5-6 • 考慮例 3.5-5 的相同問題。容器中裝著 3 白球、2 紅球，只是現在要 依序取出 3 球，每一階段取出的球都不放回，求取出的第一球為白 球、第二球及第三球均為紅球的機率。 解： 令 A 代表第一次取出白球的事件，B 代表第二次取出紅球的事件，C代表第三次取出紅球的事件，則所求機率為 P(A∩B∩C) 。根據乘法規則可得

  49. 3.5 條件機率、獨立事件及貝氏定理 樣本空間 S 的分割

  50. 3.5 條件機率、獨立事件及貝氏定理 樣本空間 S 的一組分割，以 k = 5 為例

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