第 12 讲可测函数的性质与逼近定理

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 目的：熟练掌握可测函数的性质，理解Egoroff定理的科学意义，掌握其证明。 • 重点与难点：Egoroff定理的科学意义与证明。

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 基本内容： • 一．可测函数的性质（续） • （1）可测函数乘积的性质 • 问题1：如何将集合E{x|f(x)g(x)<α}用形如E{x|f(x)<α}、E{x|g(x)<α}、E{x|f(x)≥α}、E{x|g(x)≥α}的集合表示？

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 性质3 若都是E上的可测函数则 • 在E上乎处处有意义时， • 在E上可测。(iii) • 证明 (iii)。令

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 则

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 显然E1,E2都是可测集。在E1，E2上都可测。由性质2，只需证明在E1，E2 上都可测。注意到在E3上，都有意义，从而可测，于是由(i),(ii)知

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 是可测集,进而都可测,这说明 • 也是E3上的可测函数。

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • （2）可测函数商的可测性 • 问题2：可否直接应用乘积的可测性证明商的可测性？

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 性质3 若都是E上的可测函数则 • 当在E上几乎处处有意义时， • 在E上可测。 (iv) • 证明（iv）。由（iii），仅需证明是可测函数就可以了。

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 对任意

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 由可测性立得可测，即是E上的可测函数，证毕。 • （3）可测函数序列的上、下极限之可测性 • 问题3：假设h(x)=limfn(x),如何用形如E{x|fn(x)<α}、E{x|fn(x)≥α}的集合表示集合E{x|h(x)<α}?

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 问题4：如果h(x)是fn(x)的上极限，情形又如何？ • 一个很重要的问题是：可测函数序列的极限是否是可测函数？到目前为止，至少有三种意义下的极限概念，其一是“一致收敛”、其二是“处处收敛”（即在给定的集上逐点收敛），其三是“几乎处处收敛”（即在给定的集上，除去一个零测

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 集后逐点收敛）。显然，如果我们证明了一个几乎处处收敛的可测函数序列的极限是可测函数，则上述任何意义下的极限函数都是可测的。为此，先证明一个引理。 • 引理1 假设是上的可测函数序列，则

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 都是上的可测函数。 • 都是上的可测函数。 • 证明：对任意实数，显然有 • 故由的可测性立知f可测。而

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 所以也是上的可测函数，记 • 则由（i）知都是上的可测函数，

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 由此立得，都可测。证毕。

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • （4）几乎处处收敛与几乎处处相等 • 定义3 设是E上的函数列， • 是E上的函数，若存在，使 • 且对任意，有

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • ，则称在上几乎处处收敛到f，记作 • 性质4 如果是E上的可测函数序列，且几乎处处收敛到，即

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 则在E上可测。 • 证明：由于几乎处处收敛到，故存在零测集，使得在上处处收敛到 ,由引理1知是 • 上的可测函数，从而也是E上的可测函数。证毕。 • 我们已经看到，任何非负可测函数都可以

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 让单调递增的简单函数逐点逼近，那么一般的可测函数情形如何呢？为此，我们可以将上可测函数分成正部和负部如下： • 显然

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 问题5：f(x) 的可测性与f+(x)、f-(x)的可测性是否等价？ • 问题6：|f(x)|的可测性与f+(x)、f-(x)的可测性是否等价？ • 问题7：f(x) 的可测性与|f(x)|的可测性是否相同？ • 由引理1的（i），知都是

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 非负可测函数，于是存在单调简单函数列，使（任意），（任意）所以不难看到，两个简单函数的差仍是简单函数，事实上，若

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 则 • 且 • 这说明是简单函数列 • 的极限。 • 从及 • 很容易得到下面的 • 性质5 在E上可测当且仅当，都

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 在E上可测。当在上可测时，也在E上可测。 • 也许有人会问，的可测性与的可测性是否等价？这很容易从下面的例子中找到答案。 • 例设是不可测集，定义[0,1]上函数如下：

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 则是[0,1]上的不可测函数，但 • 可测。

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 一．Egoroff定理 • （1）近一致收敛定义 • （2）处处收敛与一致收敛的关系 • 问题8：区间上处处收敛的函数序列可否通过挖去长度充分小的区间使其在剩下的集合中一致收敛？

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 问题9：一般情况下，一个几乎处处收敛的函数序列能否经适当的限制使其一致收敛？ • 问题10：如何表示函数序列不收敛的点集？ • 问题11：能否利用问题10构造一个测度很小的集合，使函数序列在其余集上一致收敛？

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 函数逼近是分析及计算中十分重要的问题，它的本质就是用“好”的或“简单”的函数去逼近“坏”的或“复杂”的函数，无论是用多项式逼近连续函数的Weirstrass 定理，还有用三角级数逼近可测函数的Fourier分析都可归类为逼近问题。由于收敛概念有多种，所以函数逼近相应的

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 也有多种含义；即“一致逼近”、“逐点逼近”、“几乎处处逼近”，后面我们还要介绍另一种收敛概念：“依测度收敛”，因此，又有“依测度逼近”的概念。很自然地，有两个问题是必须考虑的： • 1、什么样的函数可以用“好”的函数按某种收敛意义逼近？

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 2、几种收敛性关系如何？ • 这正是本节要讨论析内容。关于第二个问题，前面已作过初步讨论，显然“一致收敛”强于“处处收敛”、“处处收敛”强于“几乎处处收敛”。本节则是要考察反方向的结论。几乎处处收敛能否推出一致收敛？当然，一般情况下，这是做不到的。即使是定义于某个区

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 间上的连续函数序列，且逐点收敛到连续函数，也不一定一致收敛到例如，在(0,1)上处处收敛到0，但不一致收敛到0。然而，假如我们将1的一个小邻域挖掉，即考虑区间 • ，不管多么小，在 • 上总是一致收敛到0的。这就是说，我们

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 可以将(0,1)挖去长度充分小的区间，使 • 在剩下的集合上一致收敛。对中一般可测集上的可测函数，相应的结论是否仍然正确呢？下面的Egoroff定理给出了一个肯定的回答。 • （3）Egoroff定理的叙述 • *定理1（叶果洛夫（Egoroff））设 • 是可测集，且是E上

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 的几乎处处有限的可测函数序列， • 是E上几乎处处有限的可测函数，则下列各数言等价。 • (ii) 对任意存在可测子集，使 • 而在上，一致收敛 • 于

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 证明： .设对任意，存在 • ，使，且在上一致收 • 敛于，取，则存在， • ，且，令 • ，则，且 • ，故

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 。往证在上几乎处处 • 收敛到，事实上，对任意。存 • 在，使，由立得 • 。 • 。假设，我 • 们来看看使不收敛的点集是什么。若

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • ，则存在，使得无论 • 取何值，都有，使 • ，这就是说，对任意N， • ，从而 • ，但对不

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 同的，对应的可能不同，因此，取一串 • 正数，使得单调趋于0，则对任意 • ，总存在，使，从而当 • 时，一定也有 • ，由此立知

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 反之，若 • ，则存在，使 • 于是对任意N，有 • 进而存在，使

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 显然，故 • 由(i)的条件，， • 均为零测集，于是

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 是零测集，，在显然是处处有限的。 • 任给，我们要找，使 • ，且对任，存在N，使当时，对 • 任意，有。由于前述

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 的单调下降于0，故仅需就证明就 • 可以了。即然要求 • 所以集合当 • 然应该去掉，(此处待定)，记 • 则在上，必然一致收敛到。这是 • 因为对任意，可取，则当

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 时，只要，总有，所以 • 剩下的问题是如何保证可以充分小。 • 注意到是零测集，由(*) • 式知对每个，

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 由于是单调递减的， • 故 • 因此，对每个k，我们可取充分大，使

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 因此，对每个k，我们可取充分 • 大，使的测 • 度小于，记，这样， • 。而在上， • 一致收敛到。证毕。

第12讲可测函数的性质与逼近定理 • 问题12：在Egoroff定理中，能否取Eε为闭集？为什么？ • 作业：P77 10，11，12

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