НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2. §1. Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти ее производную Интегральное исчисление решает обратную задачу: если известна ее найти функцию производная

3. Определение 1.Функция называется первообразнойфункции заданной на некотором множестве если для выполняется равенство

4. Пример.Пусть Тогда первообразной для данной функции является функция так как

5. Очевидно, что первообразными будут также любые функции где поскольку

6. Таким образом, если и − две первообразные одной и той же функции то

7. Определение 2.Множество всех первообразных функции на множестве называетсянеопределенным интегралом и обозначается

8. Здесь − знак интеграла, − подынтегральная функция, − подынтегральное выражение, − переменная интегрирования.

9. Нахождение первообразной для данной функции называетсяинтегрированиемфункции Теорема.Для всякой непрерывной на функции существует на этом промежутке первообразная, а, значит, и неопределенный интеграл.

10. Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых, зависящих от одного параметра которые получаются одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси

11. Перечислим основныесвойства неопределенного интеграла: 1) 2) 3)

12. 4) 5)Если то где − произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

13. то 6)Если для

14. Приведемтаблицу основных неопределенных интегралов: 1) 2) 3)

15. 4) 5) 6) 7)

16. 8) 9) 10) 11)

17. 12) 13) 14) 15)

18. Приведенные в данной таблице интегралы называюттабличными.

19. §2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. 2.1. Метод непосредственного интегрирования. Непосредственныминтегрированиемназывают интегрирование с помощью свойств 3, 4 и 6, тождественных преобразований подынтегральной функции и таблицы основных интегралов.

20. Примеры. 1)

21. 2)

22. 3)

23. 4)

24. 5)

26. 6)

27. 7)

28. 8)

30. 2.2. Метод поднесения под знак дифференциала и замены переменной. На практике часто встречаются интегралы вида или интегралы, которые сводятся к такому виду

31. Подведем в этом интеграле множитель под знак дифференциала: а затем произведем подстановку В результате получим формулу подстановки в неопределенном интеграле:

33. Следовательно, задача свелась к нахождению интеграла который либо уже табличный, либо легко сводится к табличному, и обратной подстановке

34. Примеры поднесения под знак дифференциала:

41. Примеры. 1)

42. 2)

43. 3)

44. 4)

45. 5)

46. 6)

47. 7)

48. 8)

49. 9)