6 장 순환 디지털 필터의 설계

1. 6 장 순환 디지털 필터의 설계

2. 순환 디지털 필터 • 순환 디지털 필터 - 하나 혹은 그 이상의 이전 출력 값에 의존한다 (출력의 feedback) - 무한한 임펄스 응답 (IIR) 장점 : 이전 출력 값을 이용하여 계산의 양을 줄인다. 단점 : 피드백 계수가 잘못 선택되어지면 불안정해진다. 비선형 위상 응답 (Causal (h(n)=0 for n<0) => 우함수가 아니므로 대칭적이지 않다) 전달함수의 일반형 • 순환 필터 • => 강력한 이점 : H(z)의 분자와 분모를 분리해서 조절할 수 있다. • 분모의 크기를 특정 주파수가 작아지도록 조절 -> 첨예한 최고점의 응답 • 극점이 단위원 가까이 이동하면 최대이득 증가, 대역폭 감소

3. z 평면에서 극점과 영점을 이용한 간단한 설계 • 순환 필터를 설계하는 방법은 z평면에서 극점과 영점을 먼저 선택 => 이산 방정식 => 주파수 응답 계산 • 단위원 위에 있는 여러 극점과 영점에서 임의의 한 점까지의 벡터의 크기를 계산함으로써 선형 시불변 프로세서의 주파수 응답을 나타냄 • 극점이 단위원에 가까울수록 첨예한 최고점을 갖는 응답 • 영점이 단위원에 가까울수록 깊은 골 • 극점이 z평면 실수축의 어느 위치에 놓이느냐에 따라 저역 필터 또는 고역 필터, 공액 복소 극점쌍의 위치에 따라 대역 필터 • 주파수 응답 H()는 {exp(j )-zn} 형태의 분자 요소들의 곱을 • {exp(j )-pn} 형태의 분모 요소들의 곱으로 나눈 형태 • Z = 에서 극점이 있으면 • - H()의 분모는 • - 진폭의 크기는 • Z = 에서 영점이 있으면 • - | H() |의 분자를 나타낸다는 것이 차이

4. z 평면에서 극점과 영점을 이용한 간단한 설계 • 공액 복소 극점쌍 또는 영점쌍의 경우 극좌표가 (r, )를 가진 극점쌍 - H()의 분모는 - 진폭의 크기는

5. 스펙트럼 진폭 함수 실수 극점 z = 0.9  저역통과 필터 실수 영점 z = - 0.8 저역통과 필터 복소수 극점 쌍 r = 0.975,  = 150  대역통과 필터 복소수 영점 쌍 r = 1,  = 50  대역저지 필터

6. 스펙트럼 진폭 함수 (a) – (d)를 조합 z = 0.9에서의 실수 극점을 갖는 1차 시스템 z = - 0.8에서의 실수 영점을 갖는 2차 시스템 r = 0.975,  = 150°에 공액 복소 극점쌍 r = 1,  = 50 °에 공액 복소 영점쌍

7. 예제 6.1 최대진폭 응답과 관련 순환 디지털 대역 필터의 설계 (필터의 이산 방정식을 구하라) (a) 대역 중심 :  = /2, -3dB 사이에서 대역폭 :  /40, 최대 이득 : 1 (b)  = 0,  = 에서 안정상태로 차단된 필터 원점 - BC가 직선에 근접하다 가정 (PAB가 직각 삼각형) - d = 1 - r (r > 0.9인 경우 이러한 가정은 합당) - 2d = 2 (1-r) - 2 (1-r) [rad] = /40 = 3.14/40, r = 0.961 -  = 0과  =  에서 주파수 값이 차단되므로 두 개의 영점이 z = +1, -1에 위치

8. 프로그램에서 계산 • 최대이득 : 26.15(28.35dB) • 방정식에서 K = (26.15)-1 = 0.03824 • 응답하는 차분방정식 : y[n+2] + 0.9235y[n] = 0.03824{x[n+2] - x[n]} y[n] = -0.9235y[n-2] + 0.03824{x[n] - x[n-2]}

9. 예제 6.2 (풀이) - fs = 1.2 kHz - fmax 는 최대 600Hz - 2 : 1200 = o: 60 - o (60Hz) = 0.1  심전도 신호를 1.2kHz에서 샘플링할 때의 60Hz 전원 잡음을 차단하기 위한 -3dB 점에서 10Hz의 저지 대역폭을 가지며 아래 그림의 극점과 영점으로 구성된 대역 저지 필터 설계 (필터의 이산 방정식, 주파수 응답 진폭 특성) y[n+2] - 1.8523 y[n+1] + 0.94833 y[n] = x[n+2] - 1.9021 x[n+1] + x[n] y[n] = 1.8523 y[n-1] - 0.94833 y[n-2] + x[n] - 1.9021 x[n-1] + x[n-2]

10. 아날로그 설계에 의한 필터 아날로그 필터의 전달함수 (Laplace 변환) 쌍 1차 변환 (bilinear transformation) H(s) H(z) 일 때

11. 저역 필터의 주파수 응답 vs 진폭 크기

12. Butterworth, Chebyshev, Elliptic 필터 • 버터워스 필터 1) 가장 평탄한 통과 대역 2) Cutoff 주파수 3) 만약 필터의 차수가 증가한다면 - 통과대역, 정지대역  기능향상 - 천이  날카롭게 된다. • 쳬비셰프 1) 통과대역에서의 리플 2) 1.0사이에서의 떨림 3) 차수의 증가  리플의 증가 4) 큰 리플  더 나은 정지대역 5) 버터워스보다 더 날카로운 천이대역을 가진다. • 엘립틱 필터 1) 리플  정지대역 통과대역 둘 다 있음 2) 좁은 천이대역

13. Butterworth, Chebyshev, Elliptic 필터 아날로그 디지털 버터워스 체비셰프 엘립틱 맥류의 양

14. 아날로그 필터 analog filter 입력이 일 때 filtering 된 출력을 구하라 Stable 특성방정식 이므로

15. Bilinear Transformation 필터 설계에서 쌍 1차 변환이 중요한 이유 - 주파수 축이 압축될 때 필터의 진폭 특성인 최대 평탄과 등맥류 특성은 보존 - aliasing이 없으므로 저역 필터의 응답은  = 에서 0이 되며 실제 응용에 많이 사용

16. n차 Butterworth 저역 필터 - 원주 위에 n개의 극점 (ideal) - z = -1에 n차의 영점 - 극점들은 단위원 안쪽에 있는 Pm값에 의해 주어짐 - Pm의 실수부와 허수부는 별개 극점의 실수, 허수 크기

17. n차 Chebyshev 저역 필터 - 원주 위에 놓이지 않는 n개의 극점 - z = -1에 n차의 영점

18. 예제 6.3 차단 주파수 1= 0.2이며 주파수 응답이  = 0.4에서 30 dB 이하가 되도록 하는 (a) 필터의 최소 차수 계산 (b) z평면의 극점과 영점을 21번 프로그램을 사용하여 구하고 극점과 영점을 표현 (c) 필터의 이산 방정식 (d) 21번 프로그램을 사용하여 주파수 응답을 데시벨로 표현 풀이 (a)

19. (b) 5차의 필터가 z = -1에서 5차의 실수 영점 r  0.50953 0 0.83221 34.644 0.59619 23.125

20. (c) - 1차와 2차 필터를 직렬로 연결 - 1차 필터는 단일 실수 극점과 영점 - 2차 필터는 복소 극점쌍과 2차의 영점 포함 - 5개 극점과 5개의 영점 - 중간 출력 v[n], w[n] v[n] = v[n-1] + x[n] + x[n-1] - 2차 필터의 전달함수 w[n] = 2r cos w[n-1] - r2w[n-2] + v[n] + 2v[n-1] + v[n-2] v[n] = 0.50953v[n-1] + x[n] + x[n-1] w[n] = 1.3693w[n-1] - 0.69257w[n-2] + v[n] + 2v[n-1] + v[n-2] y[n] = 1.0966y[n-1] - 0.35544y[n-2] + w[n] + 2w[n-1] + w[n-2]

21. ((그림 6.7)) (d)

22. 예제 6.4 (a) 3dB의 통과 대역 맥류와 0.2(36)에서 차단 주파수를 가진 3차의 Chebyshev 저역 필터의 주파수 응답을 구하라. 이 필터는 예제 6.3의 차단 특성과 같은가? (b) 0.7 의 차단 주파수를 가진 6차 Butterworth 고역 필터의 극점과 영점의 분포와 주파수 응답의 진폭 함수를 그려라. 풀이 (a) 영점 : z = -1에서 3개 극점: r  0.82343 0 0.91467 32.794 (b) 영점 : z = 1에서 6개 극점 : r  0.80853 126.95 0.52174 135.78 0.35026 160.39

23. Chebyshev 대역 필터 • Chebyshev 대역 필터 (2 : 하위 차단 주파수, 3 : 상위 차단 주파수) - 차단주파수 1 = ( 3 - 2 )인 저역 필터의 극점, 영점 계산 - 에 위치한 극점 또는 영점은 2개의 극점 또는 영점을 나타낸다 (두 배의 극점과 영점) where - 2dB 대역 맥류 리플 - 차단주파수 : 0.2778(500), 0.5222(940) 저역 필터의 영점은 항상 z = -1에 존재 고역 필터의 영점은 항상 z = +1에 존재

24. 임펄스-불변 필터 • 아날로그 필터로부터 디지털 필터를 유도하는 또 다른 방법 • 아날로그 필터의 impulse 응답이 샘플된 형태 aliasing에 의한 최종 결과 샘플링 간격이 작을 때 주파수 중첩 현상

25. 임펄스-불변 필터 단점 : 샘플된 임펄스 응답이 비순환 필터의 계수로 사용된다(비효율적) 아날로그 필터는 전달함수로 표현되므로 디지털의 극점, 영점으로 변환해야 한다 아날로그 필터의 전달함수 임펄스-불변 디지털 필터

26. 임펄스-불변 필터 • 각각의 아날로그 부필터의 임펄스 응답은 단순한 지수함수의 형태를 가짐 • i번째 부필터의 경우 z 평면의 원점에서영점 에서 극점

27. 예제 6.5  : 시정수(time constant) (a)  = 1 일 때 주파수 응답의 진폭 크기, 임펄스 응답 (b) 0.05초의 샘플링 간격을 가진 임펄스 불변 디지털 필터의 전달함수와 이산방정식 (c) 샘플링 간격이 0.5초인 경우의 이산방정식 (d) 두 디지털 필터의 진폭 크기 응답 그래프 아날로그 선형 시불변 프로세서에서 가장 기본적인 형태는 전달함수가 1차인 저역 필터 • 풀이 • (a) τ = 1, s = jω를 대입하면 • 단일-극점 필터이므로 i = 1 일 때만 존재 • ｜H(ω)｜와 h(t)는 ω = 1일 때 (-3dB) ｜H(ω)｜=1/√2

28. (b) 전달함수는 이산 방정식은 (c) T = 0.5초인 경우, 이산 방정식은 - T = 0.05초일 때, 주파수 Ω = π에 대응하는 각 주파수는 ω = π/T = 62.8 rad/sec - T = 0.5초에서 주파수 Ω = π에 대응하는 각주파수는 ω = 6.28 rad/sec --3dB 차단 특성은 아날로그 필터와 같이 1 라디안/초에 가깝게 발생하지만 aliasing 효과는 낮은 샘플링율에서 보다 심각하게 발생 - 샘플링율이 비례적으로 변한다면 상대적으로 차단주파수도 변한다

29. 예제 6.6 1 라디안/초의 차단주파수를 가진 3차의 Butterworth저역 필터의 전달 함수는 (a) 샘플링 간격 0.5초인 임펄스 불변 디지털 필터를 설계하고 이산 방정식을 구하라. (b) 쌍 1차 변환 방법에 의해 설계된 설계된 3차의 Butterworth필터의 주파수 응답과 비교 (c) 임펄스-불변 필터의 극점과 영점을 구하고 임펄스응답을 그려라. 풀이 (a) 병렬 형태의 H(s)를 표현하기 위해 부분 분수법을 사용하면, T = 0.5초일 때의 디지털 전달함수는

30. z = 0.6065, z = rexp(±jθ)에 세 개의 극점 (r = 0.7788, θ = 0.433 rad(24.8°)) 1차와 2차 부 시스템들이 병렬로 연결된 형태를 직렬 형태로 따라서, 임펄스 불변 필터의 이산방정식은

31. (b) - 차단주파수는 Ω = ωT = 0.5 rad(28.65°) - z = 0.5932에서 실수극점, r = 0.7831,  = ±25.32°에서 복소 극점쌍 - z = -1에서 3차의 영점 Ω = π에 대응하는 각 주파수는 ω = π/T = 6.28 rad/sec - 주파수 응답은 낮은 주파수에서 유사 - 임펄스 불변필터의 차단경사는 aliasing때문에 고주파수에서 덜 가파름 (c) 이산방정식의 계수 순환: 2.0203, -1.464, 0.3678 비순환: 0,0.08701, 0.06365

32. 주파수 샘플링 필터 • 아날로그 필터의 이론과 직접 관련되지 않음 • 필터 진폭 크기 특성의 선택이 유동적 • 선형 위상 응답을 갖는 유한 임펄스 응답 필터를 만들 수 있음 • 디지털 공진기 : 단위원상에 복소수의 극점쌍, 원점에 2차의 영점 • 극점의 위치에 대응하는 주파수에서 계속된 진동 임펄스 응답은 무한대로 갈수록 극점 위치에 대응하는 주파수에서 연속적으로 진동 Fig. 6.16 (a)

33. 주파수 샘플링 필터 – comb 필터 • comb 필터의 주파수 응답은 하나의 양수 출력 임펄스와 하나의 음수 출력 임펄스이며, m 샘플링 간격들로 분리되어 있음 • comb 필터의 전달함수 Comb 필터의 주파수 응답 m=24인 경우 : y[n] = y[n-1] - y[n-2] + x[n] - x[n-24] • zm - 1 = 0  m개의 영점들은 단위원 주변에 등간격으로 분포 (comb 필터) • z2 - z + 1 = 0  정확히 두개의 comb 필터의 영점들에서 상쇄됨 • 전체 필터에서 공진기의 극점은 comb 필터의 영점에 의해 없어지고, z 평면에는 영점들만 가짐 공진기의 극점과 영점 전체 주파수 응답 대역 통과 특성, m   주 대역 

34. 주파수 샘플링 필터 샘플링 주파수에 따른 sinc 함수의 집합이 중첩 주파수 함수를 샘플링 경제성을 높이기 위해 한 개의 comb 필터만 사용 인접한 공진기들의 출력들간에 위상 역전이 있으므로 +, - 가중치들이 반전

35. 예제 6.7 그림 6.18(a)의 주파수 응답에 근접하는 주파수 샘플링 필터를 설계 (이산 방정식) 75°에서 93°사이(Ω = 1.309에서 1.623 라디안)에서 3°간격으로 주파수영역에서 샘플링 하고, z-평면의 r = 0.999에 극점들과 영점들을 위치 풀이 7개의 샘플에 대하여 7개의 공진기가 필요 그림(c) : 주파수-샘플링 필터 3°간격으로 샘플을 구하기 때문에 z-평면에서 360/3 = 120 개의 영점을 가져야 하며 반지름 0.999에 영점을 놓으면 전달함수는 주어진 이산 방정식은

36. 단위원보다 작은 반지름에 놓인 극점에 대해 수정된 공진기 : 식(6.37) 각각의 7개의 공진기들은 고유각 θ를 가지며, 샘플의 가중치는 이득인자이고 그림 6.18(c)에서 주어진 신호 특성과 r = 0.999을 사용하면, 7개의 공진기 식을 얻는다 완벽한 필터를 구현하기 위해서, 이미 주어진 컴 필터 수식을 사용하고, 마지막 출력은 공진기의 수직을 중첩해서 나타내며 9개의 전체식은 프로그램의 루프와 연결되어 짐

38. 단위원에 극점을 가진 공진기 m개의 샘플 지연을 갖는 comb 필터와 연결된 이산 방정식 정수형 이산 방정식

39. 디지털 적분기 • 연속합 • 사다리꼴 이상 연속합 • 심슨의 법칙 사다리꼴 심슨

40. 디지털 적분기

41. 디지털 적분기

42. HW #5 1분반 : due 11/27, Wednesday 5분반 : due 11/26, Tuesday CHAPTER 6 Problems Q6.4 Q6.5 Q6.8 Q6.10 Q6.15 Q6.18 Q6.21