Стереометрия

1. Стереометрия • ТЕМА: 2.4 • ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. • СЕЧЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЕИППЕДА. • АК ВГУЭС • Преподаватель • БОЙКО ВЕРА ИВАНОВНА

2. специальности: • 08011051 «Банковское дело» • 10110151 «Гостиничный сервис» • 080110151 «Сервис домашнего и • коммунального хозяйства» • 10080151 «Товароведение и • экспертиза качества потребительских • товаров»

3. Требования к знаниям, умениям и навыкам В результате изучения лекции студент должен знать: * Определение параллелепипеда и его изображение . * Элементы параллелепипеда. Свойства элементов. * Виды сечений. * Формулы площадей боковой и полной поверхностей, объема параллелепипеда. В результате изучения лекции студент должен уметь: • Изображать параллелепипед. • Решать задачи на построение сечений параллелепипеда. • Решать задачи на нахождение площадей и объемов параллелепипеда. 3

4. Содержание: 1. Определение параллелепипеда, его элементов. 2 Свойства параллелепипеда. 3.Изображение параллелепипеда. 4.Сечения параллелепипеда . 5. Формулы площадей боковой и полной поверхностей, объема параллелепипеда.

5. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД Параллелепипед (от греч. παράλλος — параллельный и греч. επιπεδον — плоскость) — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм

6. Рассмотрим поверхность состоящую из двух равных параллелограммов АВСDиA’B’C’D’ расположенных в параллельных плоскостяхтак, что отрезки AA’ ,BB’ ,CC’ ,DD’ будут параллельны, а четырехугольники BB’C’C,CC’D’D, DD’A’A, AA’B’Bявляются параллелограммами B’ C’ A’ D’ B C Данная поверхность называется ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОМ и обозначается : ABCDA’B’C’D’ A D

7. Типы параллелепипеда Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники.

8. Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину ширину высота высоту ширина длина

9. Стороны граней (прямоугольников) называют ребрами прямоугольного параллелепипеда. A Всего12 ребер, по 4 равных (на чертеже отмечены одним цветом). B C D Вершины прямоугольников называют вершинами прямоугольного параллелепипеда. K M H P

10. Стороны параллелограммов,из которых составлен параллелепипед-ребра параллелепипеда. Боковые рёбра АА’ ВB’ СC’ DD’ Ребра АВ,ВС,СD,АD и А’В’,В’С’, С’Д’, А’Д’ B’ C’ A’ D’ B C A D

11. Основные элементы Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями. Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными.

12. Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники.

13. Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

14. Куб — это прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба — равные квадраты.

15. Свойства - Параллелепипедсимметричен относительно середины его диагонали. - Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в однойточке и делятся ею пополам.

16. Свойства параллелепипеда Свойство 1 Противоположные грани параллелепипеда АВСD и А’В’С’D’ АА’D’D и ВВ’С’С АА’В’В и DD’С’С параллельны и равны B’ C’ A’ D’ B C A D

17. Свойство 2 Диагонали параллелепипеда На рисунке изображены диагонали В’D А’С АС’ ВD’ Пересекаются в одной точке(точка О) И делятся этой точкой пополам! B’ C’ A’ D’ 0 B C A D

18. Свойства - Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. - Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

19. L Секущей плоскостью параллелепипеда называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда.

20. Секущая плоскость пересекает грани параллелепипеда по отрезкам. L Многоугольник, сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением параллелепипеда.

21. Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. 2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. 3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

22. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M,A,D. В1 D1 E М A1 С1 В D А С 1. AD 2. MD 3. ME//AD,т.к. (ABC)//(A1B1C1) 4. AE 5. AEMD – сечение.

23. Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В1, М, N В1 D1 С1 A1 P К В Е D А N С M 6. КМ O 7. Продолжим MN и BD. 1. MN 3.MN ∩ BA=O 8. MN ∩ BD=E 2.Продолжим MN,ВА 4. В1О 9. В1E 5. В1О ∩ А1А=К 10. B1Е ∩ D1D=P , PN

24. Задание 1. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, N, P. P P N M M N Вариант 1 N M P N P M Вариант 2

25. Решения задач из задания P N P M Вариант 1 N M

26. P N M N M P Вариант 2

27. Задание 1. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью BKL, где K – середина ребра AA1, а L – середина ребра СС1.Доказать, что построенное сечение – параллелограмм.

28. Решение. Соединяем точки B и L,K и B. Проводим KD1 // BL и LD1 // KB. Сечение KD1LB – параллелограмм. Доказательство следует из равенства треу-гольников:DKA1D1=DBLC, DAKB =DD1C1L. B1 C1 D1 A1 L K B C D A

29. Задание 2. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через диагональ АС основания параллельно диагонали BD1. Доказать, что построенное сечение – равнобедренный треугольник, если основание параллелепипеда – ромб и углы ABB1и CBB1 прямые.

30. Решение. Соединяем точки B и D1. Проводим диаго-нали AC и BD. Прово- дим OE // BD1. Соединяем точки А и Е, Е и С. Получили сечение DАЕС. DADE = DDCE по двум равнымкатетам AD и DC. Следовательно, DАЕС – равнобедренный. C1 D1 A1 B1 E D C О A B

31. Задание 3. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки В1 и D1и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение – трапеция.

32. Решение. Соединяем точки B1и D1. Отмечаем т. М – середину DC. Проводим MN // D1B1. Соединяем т. M и D1, N и B1. Получили сечение MD1B1N. Данный четырехугольник является трапецией потому, что MN//D1B1. A1 B1 D1 C1 A B N D C М

33. b a b b а c c с b а 7 Площадь поверхностипрямоугольного параллелепипеда-это сумма площадей его граней. Равные прямоугольники имеют равные площади, поэтому площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна c a b 2ab + 2ac + 2bc Развертка прямоугольного параллелепипеда

34. Основные формулы

35. Вопросы для самопроверки • Что такое параллелепипед, его поверхность. • Назвать основные элементы параллелепипеда. • Назвать формулы площадей боковой и полной поверхностей, объем параллелепипеда. • Где в жизни встречается параллелепипед?

36. Задания для самопроверки . Какая плоскость называется секущей плоскостью параллелепипеда? . Что называется сечением параллелепипеда? . Какие многоугольники могут получиться в сечении параллелепипеда? . Каким образом строится сечение параллелепипеда?

37. Используемая литература: 1.Геометрия: Учебник для средней школы. 10–11 классы./ Под ред. Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева и др. – М.: Просвещение, 2010. 2. Геометрия. 10 класс. Поурочные планы / Авт.-сост. Г.И. Ковалева – Волгоград: Учитель, 2011 3. Геометрия.10-11 классы И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. Москва: Мнемозина, 2003