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第七章

第七章. 點估計及區間估計. 7.1 不偏估計及均方誤. 7 .2 區間估計概念. 7 .3 常態分布母體平均數的區間估計. 7.4 母體平均數的大樣本區間估計. 7 .5 母體比例的區間估計. 7.6 樣本大小如何決定. 7.7 信賴區間的意義及應用：民調結果解讀. 7.8 模擬抽樣調查. 7.1 不 偏估計及均方 誤. 估計 方式 若 有 時會高估、有時會低估，但是重複 許許多多 次的結果平均起來，卻恰好等於我們要估計的那個參數，這叫做 不 偏 性質 。. 7.1 不 偏估計及均方 誤. 不 偏 性質 定義.

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Presentation Transcript

  1. 第七章 點估計及區間估計

  2. 7.1 不偏估計及均方誤 7.2 區間估計概念 7.3 常態分布母體平均數的區間估計 7.4 母體平均數的大樣本區間估計 7.5 母體比例的區間估計 7.6 樣本大小如何決定 7.7 信賴區間的意義及應用：民調結果解讀 7.8 模擬抽樣調查

  3. 7.1 不偏估計及均方誤 估計方式若有時會高估、有時會低估，但是重複許許多多次的結果平均起來，卻恰好等於我們要估計的那個參數，這叫做不偏性質。

  4. 7.1 不偏估計及均方誤 不偏性質定義

  5. 7.1 不偏估計及均方誤 例7.1-1 例7.1-1解

  6. 7.1 不偏估計及均方誤 例7.1-2

  7. 7.1 不偏估計及均方誤 例7.1-2解

  8. 7.1 不偏估計及均方誤 設 X1, X2, …, Xn為抽自某一母體的隨機樣本，則樣本平均數

  9. 7.1 不偏估計及均方誤 例7.1-3

  10. 7.1 不偏估計及均方誤 例7.1-3解

  11. 7.1 不偏估計及均方誤 例7.1-3解

  12. 7.1 不偏估計及均方誤 如果一個估計量 T1 符合不偏性質，另一個估計量 T2 雖不符合不偏性質，然而，其變異數卻比 T1 的變異數要小，這樣要如何在二者之間做取捨呢？ 有一個方法可以解決這個問題，就是計算均方誤，定義如下： 定義：

  13. 7.1 不偏估計及均方誤 均方誤公式：

  14. 7.1 不偏估計及均方誤 例7.1-4

  15. 7.1 不偏估計及均方誤 例7.1-4 解

  16. 7.1 不偏估計及均方誤 例7.1-4 解

  17. 7.1 不偏估計及均方誤 例7.1-4 解

  18. 7.2 區間估計概念 若利用的抽樣分 布，造一個區間當作的可能範圍，並且計算這個區間包含的機率是 多少；這樣的估計方式，叫做區間估計。 定義：

  19. 7.3 常態分布母體平均數的區間估計

  20. 7.3 常態分布母體平均數的區間估計 例7.3-1 根據長期觀察，某校某大班通識課程的期末考成績符合常態分布，標 準差為 12 分。假設授課老師為了增進教學效果，對授課方式做了某些調整。 調整之後，一個包括 50 位學生的隨機樣本的期末考試平均成績為 73.6 分；若假設分數分布的標準差沒有改變，求調整之後所 有學生期末考試平均成績 的 95% 信賴區間。

  21. 7.3 常態分布母體平均數的區間估計 例7.3-1解

  22. 7.3 常態分布母體平均數的區間估計 例7.3-1解 這個結果大致可以這樣說： 我們有 95% 信心，調整之後所有學生期末考的平均成績，會介於 70.27 分和 76.93 分之間。

  23. 7.3 常態分布母體平均數的區間估計

  24. 7.3 常態分布母體平均數的區間估計 例7.3-2

  25. 7.3 常態分布母體平均數的區間估計 例7.3-2解

  26. 7.3 常態分布母體平均數的區間估計 例7.3-2解 此 信 賴 區 間 長 度 為 9.31 - 7.09 = 2.22， 而 95% 信 賴 區 間 長 度為 9.13 - 7.27 = 1.86， 所以 98%信 賴 區 間 的 長 度 較 長。

  27. 7.3 常態分布母體平均數的區間估計 若 X1,X2, ….,Xn為抽自常態分布 N(μ,) 的隨機樣本， 則的抽樣分布為自由度 n - 1 的 t 分布。利用這個 結果，就可以得到

  28. 7.3 常態分布母體平均數的區間估計 把此式和 (7.3-1) 比較一下就可看出：未知時，除了用 S 取代之外，因為分布改變了，原來要查 N(0, 1) 的表，現在改成查 t 分布的表。再經過完全相同 的移項整理等程序，就可以得到

  29. 7.3 常態分布母體平均數的區間估計 常態分布母體平均數μ的區間估計 設 X1, X2, …, Xn為抽自某一常態分布母體的隨機樣本，當

  30. 7.3 常態分布母體平均數的區間估計 例7.3-3 某大學數學系想要了解全系同學平均 IQ 有多少，於是隨機抽了 25位 同學，請他們做 IQ 測驗。 假設 25位同學的平均分數等於102、標準 差等於 8，而全系的 IQ 分數分布可視為常態分布，求全系同學平均 IQ 的 • (a) 90% 信賴區間 • (b) 98%信賴區間

  31. 7.3 常態分布母體平均數的區間估計 例7.3-3解

  32. 7.3 常態分布母體平均數的區間估計 例7.3-3解

  33. 7.4 母體平均數的大樣本區間估計 大樣本時的抽樣分布

  34. 7.4 母體平均數的大樣本區間估計 大樣本時母體平均 μ 的信賴區間

  35. 7.4 母體平均數的大樣本區間估計 例7.4-1 某連鎖超市經過長期蒐集資料，發現所有顧客的平均購物時間大約是34 分鐘，標準差 15 分鐘。為了讓消費者購物更方便，動線更順暢， 超市經營者對貨物的位置安排重新規劃調整，希望能幫助消費者節省購物時間。 調整之後為了評估效果，對已結帳的顧客隨機抽一些訪 問，共訪問了 45 位；若 45 位的平均購物時間為 30 分鐘，而根據長期觀察，母體標準差一向很穩定，因此仍然可假設是 15 分鐘，求調整後所有顧客平均購物時間的 95% 信賴區間。

  36. 7.4 母體平均數的大樣本區間估計 例7.4-1解 雖然題目並沒有提到所有顧客購物時間的分布狀況是否符合常態，但因為 n = 45、屬於大樣本，所以可以利用大樣本的公式； 而題目假設 δ = 15，所以應該用公式 (7.4-3)：

  37. 7.4 母體平均數的大樣本區間估計 例7.4-2 從某大型連鎖超商隨機抽出共 n 位已消費顧客，訪問之後得知，n 位的平均消費金額為 351 元，標準差為 110 元， 如果 n = 50，求該超商所有顧客平均消費金額 μ之近似 95% 信 賴區間。 (b) 如果 n = 100，求該超商所有顧客平均消費金額 μ之近似 95% 信賴區間。

  38. 7.4 母體平均數的大樣本區間估計 例7.4-2解 (a) n = 50 屬於大樣本，而題目給的標準差 110 元是樣本標準差，所以應該用公式 (7.4-4)： μ的近似 95% 信賴區間為

  39. 7.4 母體平均數的大樣本區間估計 例7.4-2解 (b) 除了 n = 100 以外，其他條件都和 (a) 小題相同，因此 μ的近似 95% 信賴區間為 比較以上結果會發現，在其他條件完全相同的情況下，較大樣本得到的信賴區間範圍較窄，而範圍較窄代表有關 μ的訊息比較明確。

  40. 7.5 母體比例的區間估計 如果把 的抽樣分布之變異數當中的 p 用 取代， 仍然會近似常態分布，也就是說，仍然會接近標 準常態分布，而根據這個結果可得機率式 經過移項整理就可得信賴區間了。

  41. 7.5 母體比例的區間估計 母體比例 p 之大樣本信賴區間

  42. 7.5 母體比例的區間估計 例7.5-1 在民國 97 年的時候，政府為了想要了解 20 歲以上的成年人當中，有 多少百分比會用電腦以及一些相關資訊，曾在 9 月 16 日及 17 日兩 天，用隨機抽電話號碼的方式，訪問到了 1083 位成年人，問了以下題目：「請問您會不會使用電腦？」 這是一項「民眾對電子化政府相關議題的看法」民意調查問卷當中的題目之一，結果公布在行政院研考會網站上：受訪民眾當中，有 65% 回答「會」。若被訪民眾可視為 抽自全台灣成年人的隨機樣本，求全台灣成年人當中會用電腦的百分比 p 之 95% 信賴區間。

  43. 7.5 母體比例的區間估計 例7.5-1解 政府可以說有 95% 的信心，全台灣成年人當中會用電腦的百分比，落在 62.2% 和 67.8% 之間。

  44. 7.6 樣本大小如何決定

  45. 7.6 樣本大小如何決定 對以上公式有兩點補充說明： 樣本大小 n 必須是整數，當計算出來的答案不是整數時，應無條件進位，使之成為整數。 既然要決定樣本大小是多少，當然是還沒有抽樣， 但 (7.6-2) 式當中卻需要用到 S 來估計未知的 δ； 此時可以先預抽一個隨機樣本來求 S 的值，代入 (7.6-2) 式當中求出 n 之後，再重新抽樣來求信賴 區間。

  46. 7.6 樣本大小如何決定 例7.6-1 ( 參考例 7.3-1) 某校某大班通識課程的期末考成績符合常態分布，標準差為 12 分。假設授課老師為了增進教學效果，對授課方式做了某些調整。 假設成績的標準差沒有改變，若希望用 95% 信賴區間來估計調整之後的平均成績 μ，並希望抽樣誤差不超過 2，則樣本大小 n 應等於多少？

  47. 7.6 樣本大小如何決定 例7.6-1 解

  48. 7.6 樣本大小如何決定 例7.6-1 解 進位之後得到 n = 139。這是對應 e = 2 得到的答案，題目要求「抽樣誤差不超過 2」，如果 e 比 2 還小的話，n 需要比 139 還大，所以完整答案是： n 至少要等於 139，即 n ≥ 139

  49. 7.6 樣本大小如何決定 例7.6-2 ( 參考例 7.3-3) 某大學數學系想要了解全系同學平均智商μ是多少， 希望用 98% 信賴區間來估計，於是隨機抽了 25 位同學，請他們做 IQ 測驗。 假設全系的 IQ 分數分布可視為常態分布，而 25 位同學的平均分數等於 102，標準差等於 8，則總共需要抽多大的樣本，才能使估計的誤差不超過 3 ？

  50. 7.6 樣本大小如何決定 例7.6-2 解 因此答案是： 總共需要抽至少 39 位同學，估計誤差就不會超過 3

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