复习：树

复习：树 • 树的基本概念和术语 • 二叉树的概念及性质 • 二叉树的存储结构 • 顺序存储 • 链式存储 • 遍历二叉树 • 递归算法 • 非递归算法 • 线索二叉树 • 树的应用：哈夫曼树

第8章图

重点内容 图的定义和术语 • 图与线性表、树形结构的关系 • 图的表示 • 术语：基本术语，[特别注意：弧尾，弧头，有序，无序] • 三种关系：图与网，顶点与边的数目，图与树、森林图的存储结构 • 顺序存储：数组表示法 • 链表存储：邻接表，多重链表表示法，十字链表，邻接多重表 • 掌握： • 存储结构的存储方式，各种操作的实现思想 • 各种存储结构的特点和优势 • 图的遍历：深度优先，广度优先

8.1 图的基本概念 • 图的定义（P135） • 图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为： G=(V，E)其中：G表示一个图，V(vertex)是图G中顶点的集合，E(edge)是图G中顶点之间边的集合。即：V = { x | x 某个数据对象}是顶点的有穷非空集合； E = {(x, y) | x, y V } 是顶点之间关系的有穷集合，也叫做边(edge)集合。例如:E={ <A,B>,<C,D>,<A.D>,<B,C>}

V2 V1 V3 V5 V4 V1 V2 V4 V3 8.1 图的逻辑结构若顶点vi和vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边，表示为(vi,vj)。如果图的任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图undigraph。若从顶点vi到vj的边有方向，则称这条边为有向边，表示为<vi,vj>。如果图的任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图digraph。

V2 V1 V2 V1 V4 V3 V3 8.1 图的逻辑结构 • 图的基本术语（P136-137） • 无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。 • 有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图。

图的分类 • 着眼点：存储结构的选择。

8.1 图的逻辑结构 • 图的基本术语（续） • 顶点的度：在无向图中，顶点v的度是指依附于该顶点的边数，通常记为TD (v)。 • 顶点的入度：在有向图中，顶点v的入度是指以该顶点为弧头的弧的数目，记为ID (v)； • 顶点的出度：在有向图中，顶点v的出度是指以该顶点为弧尾的弧的数目，记为OD (v)。

2 V1 V2 7 5 8 V4 V3 8.1 图的逻辑结构 • 图的基本术语（续） • 权：是指对边赋予的有意义的数值量。 • 网：边上带权的图，也称网图。

V2 V1 V3 V5 V4 8.1 图的逻辑结构 • 图的基本术语（续） • 路径：着眼点：顶点间的联系。 V1 到V4的路径： V1 V4 V1 V2 V3 V4 V1 V2 V5V3 V4 • 一般情况下，图中的路径不惟一。

V2 V1 V3 V5 V4 8.1 图的逻辑结构 • 图的基本术语（续） • 路径长度： • 非带权图——路径上边的个数 • 带权图——路径上各边的权之和 V1 V4：长度为1 V1 V2 V3 V4 ：长度为3 V1 V2 V5V3 V4 ：长度为4

V2 V1 V3 2 V5 V4 3 5 8 2 6 8.1 图的逻辑结构 • 图的基本术语（续） • 路径长度： • 非带权图——路径上边的个数 • 带权图——路径上各边的权之和 V1 V4：长度为8 V1 V2 V3 V4 ：长度为7 V1 V2 V5V3 V4 ：长度为15

V2 V1 V3 V5 V4 V1 V2 V4 V3 8.1 图的逻辑结构 • 图的基本术语（续） • 回路（环）：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。 • 简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。 • 简单回路（简单环）：除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路。

V2 V2 V1 V1 V3 V5 V4 V3 V1 V4 V5 V3 V4 8.1 图的逻辑结构 • 图的基本术语（续） • 子图：若图G=（V，E），G'=（V'，E'），如果V'V且E'E ，则称图G'是G的子图。

8.1 图的逻辑结构 • 图的基本术语（续） • 连通图：在无向图中，如果从一个顶点vi到另一个顶点vj(i≠j)有路径，则称顶点vi和vj是连通的。如果图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图。 • 连通分量：非连通图的极大连通子图称为连通分量。 1.含有极大顶点数； 2. 依附于这些顶点的所有边。

8.1 图的逻辑结构 • 图的基本术语（续） • 强连通图：在有向图中，对图中任意一对顶点vi和vj(i≠j)，若从顶点vi到顶点vj和从顶点vj到顶点vi均有路径，则称该有向图是强连通图。 • 强连通分量：非强连通图的极大强连通子图。

8.1 图的逻辑结构 • 图的基本术语（续） • 生成树：n个顶点的连通图G的生成树是包含G中全部顶点的一个极小连通子图。 • 生成森林：在非连通图中，由每个连通分量都可以得到一棵生成树，这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。多——构成回路少——不连通含有n-1条边

8.1 图的逻辑结构

考研真题一 1．图中有关路径的定义是（）。【北方交通大学 2001 一、24 （2分）】 A．由顶点和相邻顶点序偶构成的边所形成的序列 B．由不同顶点所形成的序列 C．由不同边所形成的序列 D．上述定义都不是 2．设无向图的顶点个数为n，则该图最多有（）条边。 A．n-1 B．n(n-1)/2 C． n(n+1)/2 D．0 E．n2 【清华大学 1998 一、5 （2分）】【西安电子科技大 1998 一、6 （2分）】【北京航空航天大学 1999 一、7 （2分）】 3．一个n个顶点的连通无向图，其边的个数至少为（）【浙江大学 99 四、4 (4分)】 A．n-1 B．n C．n+1 D．nlogn；

考研真题一 4．要连通具有n个顶点的有向图，至少需要（）条边。【北航 2000 一、6(2分）】 A．n-l B．n C．n+l D．2n 5．n个结点的完全有向图含有边的数目（　　　）。【中山大学 1998 二、9 （2分）】 A．n*n Ｂ．n（n＋１） C．n／2 D．n*（n－l） 6．一个有n个结点的图，最少有（）个连通分量，最多有（）个连通分量。【北邮 2000 二、5 （20/8分）】 A．0 B．1 C．n-1 D．N 7．在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（）倍，在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点出度之和的（）倍。【哈工大01 （2分）】 A．1/2 B．2 C．1 D．4

考研真题一 • 1.判断一个无向图是一棵树的条件是______。 • 2．有向图G的强连通分量是指______。【北京科技大学 1997 一、7】 • 3．一个连通图的______是一个极小连通子图。【重庆大学 2000 一、1】 • 4．具有10个顶点的无向图，边的总数最多为______。【华中理工大学 2000 一、7 （1分）】 • 5．若用n表示图中顶点数目，则有_______条边的无向图成为完全图。【燕山大学1998 一、6（1分）】

考研真题一 证明：具有n个顶点n-1条边的无向连通图是自由树，即没有确定根结点的树，每个结点均可当根。若边数多于n-1条，因一条边要连接两个结点，则必因加上这一条边而使两个结点多了一条通路，即形成回路。形成回路的连通图不再是树（在图论中树定义为无回路的连通图）。 1.（1）．如果G1是一个具有n个顶点的连通无向图，那么G1最多有多少条边？G1最少有多少条边？（2）．如果G2是一个具有n个顶点的强连通有向图，那么G2最多有多少条边？G2最少有多少条边？（3）．如果G3是一个具有n个顶点的弱连通有向图，那么G3最多有多少条边？G3最少有多少条边？【复旦大学 1997 一（9分）】 4．证明：具有n个顶点和多于n-1条边的无向连通图G一定不是树。【东南大学 1993 四（10分）】

8.2 图的存储结构及实现 • 是否可以采用顺序存储结构存储图? • 图的特点：顶点之间的关系是m:n，即任何两个顶点之间都可能存在关系（边），无法通过存储位置表示这种任意的逻辑关系，所以，图没有顺序映象的存储结构。但可以借助数组的数据类型表示元素之间的关系。 • 如何存储图? • 考虑图的定义，图是由顶点和边组成的，分别考虑如何存储顶点、如何存储边。

1 若(vi, vj)∈E（或<vi, vj>∈E） 0 其它 edges[i][j]＝ 8.2 图的存储结构及实现——邻接矩阵 • 1. 邻接矩阵（数组表示法） • 基本思想：用一个一维数组存储图中顶点的信息，用一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中各顶点之间的邻接关系（图的顺序存储） • 假设图G＝(V，E)有n个顶点，则邻接矩阵是一个n×n的方阵，定义为：

邻接矩阵的结构型定义 引用： Mgraph g; a=g.n Typedef struct { Int no; //顶点编号 Char info; //顶点其他信息 }vertextype; //一维数组存储图中顶点的信息 Typedef struct { Int edge[maxsize][maxsize]; //二维数组存储各顶点之间的邻接关系，边的关系用顶点的有序对表示 Int n,e; // n顶点数和 e边数 Vertextype vex[maxsize]; //存放结点信息 }MGraph;//边、结点共同表示出图的结构

V1 V2 V3 V4 vexs= V4 V1 V1 V2 V3 V4 V1 V2 V3 V4 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 edges= V3 V2 无向图的邻接矩阵的特点？ 8.2 图的存储结构及实现——邻接矩阵无向图的邻接矩阵主对角线为 0 且一定是对称矩阵。

V1 V2 V3 V4 vexs= V1 V2 V3 V4 V1 V2 V3 V4 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 edges= 如何求顶点i的度？ 8.2 图的存储结构及实现——邻接矩阵无向图的邻接矩阵 V4 V1 V3 V2 邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素的个数。

V1 V2 V3 V4 vexs= V1 V2 V3 V4 V1 V2 V3 V4 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 edges= 如何判断顶点 i 和 j 之间是否存在边？ 8.2 图的存储结构及实现——邻接矩阵无向图的邻接矩阵 V4 V1 V3 V2 测试邻接矩阵中相应位置的元素edges[i][j]是否为1。

V1 V2 V3 V4 vexs= V1 V2 V3 V4 V1 V2 V3 V4 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 edges= 如何求顶点 i 的所有邻接点？ 8.2 图的存储结构及实现——邻接矩阵无向图的邻接矩阵 V4 V1 V3 V2 将数组中第 i行元素扫描一遍，若edges[i][j]为1，则顶点 j为顶点 i 的邻接点。

V1 V2 V3 V4 vexs= V1 V2 V3 V4 V1 V2 V1 V2 V3 V4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 edges= 有向图的邻接矩阵一定不对称吗？ V4 V3 8.2 图的存储结构及实现——邻接矩阵有向图的邻接矩阵不一定，例如有向完全图。

V1 V2 V3 V4 vexs= V1 V2 V3 V4 V1 V2 V1 V2 V3 V4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 edges= 如何求顶点 i 的出度？ V4 V3 8.2 图的存储结构及实现——邻接矩阵有向图的邻接矩阵邻接矩阵的第 i 行元素之和。

V1 V2 V3 V4 vexs= V1 V2 V3 V4 V1 V2 V1 V2 V3 V4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 edges= 如何求顶点 i 的入度？ V4 V3 8.2 图的存储结构及实现——邻接矩阵有向图的邻接矩阵邻接矩阵的第 i 列元素之和。

V1 V2 V3 V4 vexs= V1 V2 V3 V4 V1 V2 V1 V2 V3 V4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 edges= 如何判断从顶点 i 到顶点 j 是否存在边？ V4 V3 8.2 图的存储结构及实现——邻接矩阵有向图的邻接矩阵测试邻接矩阵中相应位置的元素edges[i][j]是否为1。

wij若(vi, vj)∈E（或<vi, vj>∈E） 0 若i=j ∞ 其他 edges[i][j]＝ 2 0 2 5 ∞ ∞ 0 ∞∞ ∞ ∞ 0 8 7 ∞ ∞ 0 V1 V2 7 5 edges= 8 V4 V3 8.2 图的存储结构及实现——邻接矩阵网图的邻接矩阵可定义为：

邻接矩阵的结构型定义 引用： Mgraph g; a=g.n Typedef struct { Int no; //顶点编号 Char info; //顶点其他信息 }vertextype; //一维数组存储图中顶点的信息 Typedef struct { Int edge[maxsize][maxsize]; //二维数组存储各顶点之间的邻接关系，边的关系用顶点的有序对表示 Int n,e; // n顶点数和 e边数 Vertextype vex[maxsize]; //存放结点信息 }MGraph;//边、结点共同表示出图的结构

8.2 图的存储结构及实现——邻接表 • 2. 邻接表 • 邻接表存储的基本思想：对于图的每个顶点vi，将所有邻接于vi的顶点链成一个单链表，称为顶点vi的边表（对于有向图则称为出边表），所有边表的头指针和存储顶点信息的一维数组构成了顶点表。

data firstedge adjvex nextedge 8.2 图的存储结构及实现——邻接表邻接表有两种结点结构：顶点表结点和边表结点。顶点表边表 data：数据域，存放顶点信息。 firstedge：指针域，指向边表中第一个结点。 adjvex：邻接点域，边的终点在顶点表中的下标。 nextedge：指针域，指向边表中的下一个结点。

8.2 图的存储结构及实现——邻接表 Typedef struct arcNode { Int adjvex; // 边指向的结点的位置 Struct ArcNode *nextarc; // 指向下一条边的指针 Int info; //边的相关信息，如权重 }ArcNode; // 边表，以链表的形式存储 Typedef struct VNode{ Char data; // 顶点的信息 arcNode *firstarc; //指向第一条边的指针 }VNode; // 顶点表，通常以顺序结构的形式存储 Typedef struct { VNode adjlist[maxsize]; // 邻接表 Int n,e; // 图中顶点数n 和边数 e }AGraph; // 图的邻接表类型

V4 V1 V3 V2 data firstedge 0 1 2 3 V1 1 3 ∧ V2 0 2 3 ∧ 边表中的结点表示什么？ V3 1 ∧ V4 0 1 ∧ 无向图的邻接表每个结点对应图中的一条边，邻接表的空间复杂度为O(n+e)。

V4 V1 V3 V2 data firstedge 0 1 2 3 V1 1 3 ∧ V2 0 2 3 ∧ 如何求顶点 i 的度？ V3 1 ∧ V4 0 1 ∧ 无向图的邻接表顶点i的边表中结点的个数。

如何判断顶点 i 和顶点 j 之间是否存在边? V4 V1 V3 V2 data firstedge 0 1 2 3 V1 1 3 ∧ V2 0 2 3 ∧ V3 1 ∧ V4 0 1 ∧ 无向图的邻接表测试顶点 i 的边表中是否存在终点为 j 的结点。

V1 V2 data firstedge 0 1 2 3 V1 1 2 ∧ V2 ∧ 如何求顶点 i 的出度？ V3 3 ∧ V4 V3 V4 0 ∧ 有向图的邻接表顶点 i 的出边表中结点的个数。

V1 V2 data firstedge 0 1 2 3 V1 1 2 ∧ V2 ∧ 如何求顶点 i 的入度？ V3 3 ∧ V4 V3 V4 0 ∧ 有向图的邻接表各顶点的出边表中以顶点 i 为终点的结点个数。

V1 V2 data firstedge 0 1 2 3 V1 1 2 ∧ V2 ∧ 如何求顶点 i 的所有邻接点？ V3 3 ∧ V4 V3 V4 0 ∧ 有向图的邻接表遍历顶点 i 的边表，该边表中的所有终点都是顶点 i 的邻接点。

data firstedge 0 1 2 3 2 1 V1 5 2 ∧ V2 ∧ 2 V3 8 3 ∧ V4 V1 V2 7 0 ∧ 7 5 8 V4 V3 网图的邻接表

V1 V2 v1 0 1 2 3 1 2 ∧ v2 邻接表 ∧ v3 3 ∧ v4 0 1 ∧ V4 V3 v1 0 1 2 3 3 ∧ v2 0 3 ∧ v3 逆邻接表 0 ∧ v4 2 ∧ 8.2 图的存储结构及实现——邻接表为了便于确定顶点的入度或以顶点vi为头的弧，可以建立一个有向图的逆邻接表。对每个顶点建立一个链接以vi为头的弧的表。

考研真题二： 12．从邻接阵矩可以看出，该图共有（①）个顶点；如果是有向图该图共有（②）条弧；如果是无向图，则共有（③）条边。【中科院软件所 1999 六、2（3分）】 • ①．A．9 B．3 C．6 D．1 E．以上答案均不正确 • ②．A．5 B．4 C．3 D．2 E．以上答案均不正确 • ③．A．5 B．4 C．3 D．2 E．以上答案均不正确 13．当一个有N个顶点的图用邻接矩阵A表示时，顶点Vi的度是（）。【南京理工大学1998一、4(2分）】

作业四、考研真题二 • 9．有向图的邻接表存储如下：（1）．画出其邻接矩阵存储；（2）．写出图的所有强连通分量；（3）．写出顶点a到顶点i的全部简单路径。【东北大学 1997 一、5 (5分)】

十字链表 • 2.4.1 结构图：将邻接表、逆邻接表合二为一。主要用于表示有向图。 • 和稀疏矩阵的十字链表结构相比：本质一样。 • 细节差别在于：行头表和列头表合并为了顶点表。

A E D C B 十字链表 • 等价结构：

复习：树

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