2.1.2 　指数函数及其性质

2.1.2　指数函数及其性质 第1课时　指数函数的图象及性质

【课标要求】 • 1．理解指数函数的概念和意义． • 2．能借助计算器或计算机画出指数函数的图象． • 3．初步掌握指数函数的有关性质． • 【核心扫描】 • 1．指数函数的概念及有关性质．(重点) • 2．指数函数的图象．(难点) • 3．指数函数的值域及图象过特殊点．(易错点)

1．指数函数的定义 • 函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. • 温馨提示：指数函数解析式的特征：ax的系数是1，a为常量，x为自变量，并且规定底数a满足条件a>0且a≠1. y＝ax(a>0且a≠1) R

2．指数函数的图象与性质

0，＋∞ R y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 增函数减函数

解析　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数．解析　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数． • 答案　B

[规律方法]1.指数函数的解析式必须具有三个特征：[规律方法]1.指数函数的解析式必须具有三个特征： • (1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. • 2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件．

类型二　指数函数的图象 • 【例2】如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是 ()． A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c

[思路探索]根据指数函数的底数大小与图象的关系判断．[思路探索]根据指数函数的底数大小与图象的关系判断． • 解析　法一　在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大． • 由指数函数图象的升降，知c>d>1，b<a<1. • ∴b<a<1<d<c.

法二　作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b<a<1<d<c.故选B.法二　作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b<a<1<d<c.故选B. 答案　B

[规律方法]1.无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．[规律方法]1.无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大． • 2．处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0,1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响．

【活学活用2】 (1)函数y＝2－|x|的大致图象是()． • (2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．

类型三　指数型函数的定义域、值域 • 【例3】求下列函数的定义域与值域： • [思路探索]先求定义域，确定指数的取值范围，利用单调性求值．

[规律方法]1.求含有指数型的函数定义域时，要注意考虑偶次根式的被开方数大于等于0，分母不为0等限制条件．[规律方法]1.求含有指数型的函数定义域时，要注意考虑偶次根式的被开方数大于等于0，分母不为0等限制条件． • 2．求含有指数式的复合函数的值域时，要结合指数函数的单调性和定义域来考虑，不要遗漏了指数函数的值域大于0.

3．函数y＝ax－5＋1(a≠0)的图象必经过点________．3．函数y＝ax－5＋1(a≠0)的图象必经过点________． • 解析　指数函数的图象必过点(0,1)，即a0＝1，由此变形得a5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)． • 答案　(5,2)

5．求下列函数的定义域和值域： • (1)y＝；(2)y＝5－x－1.

课堂小结 • 1．指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f(0)＝1. • 2．当a>1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．当0<a<1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快．

2.1.2 指数函数及其性质