解： l 处取 d l ， d  = ( v  B ) · d l = - vB d l = - Bω l d l  OA =  O L - Bω l d l

1. v + + + + + + A ω + + + v + B × B + + + + d l O + + l L + + + + + + 例9-1试求 棒 OA 绕 O点以角速度ω逆时针转动时，棒 OA 的动生电动势。 解：l 处取 dl， d = (vB) ·dl = - vB dl = - Bωl dl OA = OL - Bωl dl = - BωL2 / 2 < 0 OA方向： A  O

2. 例9-2一直导线CD在一无限长直电流磁场中作切割磁力线运动。求：动生电动势。例9-2一直导线CD在一无限长直电流磁场中作切割磁力线运动。求：动生电动势。 . ε ) v ( B d d d l l = × μ I v 0 0 l 180 sin cos d = 90 0 π 2 l v μ v I v = d d l l 0 B × π 2 l I l v d l μ ε d d l l a I + b  0 = π l 2 a b a v μ a b I + 0 ln ) ( = a π 2

3. × × × × e B × × × × × e t × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × B R × × a b l 例9-3如图所示，在半径为 R 的圆柱形体积内，充满磁感应强度为 B的均匀磁场，磁场的方向垂直向里。有一长为 l 的金属棒 ab 放在磁场中，棒的两端和圆周相接，设  B / t 为大于零的常数，试求： (1)空间的感生电场； (2)棒中的感生电动势。 解：(1) 根据对称性， 感生电场的电力 线为垂直对称轴 的同心圆。

4. e B e t × × × × L × × n × × × × × R × × × × × × × × r × × × × × E × B × × × × 感 × × × × × 当 r < R 时，在管内作一同心圆为闭合回路L ∮LE感 · dl = 2 r E感 -∫S (  B / t ) · dS = -  r2  B / t  E感 =- r (  B / t ) / 2 “-”表示 E感 与假设 顺时针方向相反，即 E感 为逆时针方向。

5. e B e t × n × × × × E L × 感 × × × × r × × × × R × × × × B r E R O 感 当 r > R 时，在管内作一同心圆为闭合回路L ∮LE感 · dl = 2 r E感 -∫S (  B / t ) · dS = -  R2  B / t  E感 =- R2(  B / t ) / 2 r “-”表示 E感 逆时针方向。

6. × × × × × L e B × × × × × × e t × × × × × × E B 感 × × × × × r θ h θ × × × a b × × l d l L (2) l 处取 dl 棒： d = E感 · dl =E感cos dl E感 =- r (  B / t ) / 2 cos = h / r d = h(  B / t )dl / 2 ab = ab d = ab h(  B / t )dl / 2 = h(  B / t ) l / 2 = ( R2 - l 2/4 )1/2(  B / t ) l / 2 > 0 ab 方向：a  b

7. A a r  B v O 60o b B 例9-4 直导线 OA，OB 夹角为 60o，以 O 为圆心的虚线范围内磁感应强度 B，从 t = 0 开始以不变速率 B /  t 增加。半环形导线以速度 v沿半径方向向圆心匀速运动(在两直导线上滑动)，设半环形导线的半径为 r，并且在时刻 t，该半环的圆心正好与 O 点重合，求此闭合导线回路中的感应电动势。 解：oabo=  动 +  感  动 = ∮L (vB ) · dl = oa+  弧ab+ bo = 0 +  弧ab+ 0 =  棒ab= vBLab= vBr

8. A a r  B v O 60o b B  感 = - S ( B/t ) · dS = - S ( B/t ) dS = - ( B/t ) S扇oab = - ( B/t )  r2 /6  感 的方向为逆时针，即 b → a。 所以闭合回路 oabo 的感应电动势为： oabo = v B r - ( B/t )  r2 / 6 当 oabo > 0 时， oabo 方向为顺时针； 当 oabo < 0 时， oabo 方向为逆时针。

9. R2 R1 I I l r r d 例9-5 设传输线为两个共轴长圆筒组成，半径分别为 R1、R2。电流由内筒的一端流入，由外筒的另一端流回，求此传输线一段长度为 l 的自感。( 设内外筒间充满磁导率为  的磁介质 ) 解：设电流强度为 I，两圆筒 之间的磁感应强度为： B =  I / 2r m =  B· dS = R1R2 B l dr = R1R2 (I/ 2r) l dr = (I l / 2 )ln(R2 / R1) L =Φm/ I = ( l / 2) ln(R2 / R1)

10. R2 R1 I I dr r l 例9-6 用磁场能量的方法，求例9-5中长度为 l 传输线的自感。 解：磁场分布 H = 0 ( r < R1 ,r > R2 ) H = I / 2r ( R1 < r < R2 ) 筒间磁场能量密度为： wm =  H2/ 2 =  I2 / 82r2 以半径为 r，厚度为 dr及 高为 l 的为体积元时，dV=2r l dr， Em =  wmdV= R1R2 ( I2/82r2) 2r l dr = R1R2 I2 l /4r) dr =  I2 lln(R2 / R1) /4 L = 2Em / I2 = l ln(R2 / R1) / 2

11. R r B 1 2 d 例9-7 两个共轴圆形线圈相距为 d，半径分别为R和 r，设大线圈中有电流时，在小线圈处的磁场可以看作均匀的，试求： ( 1 ) 两线圈的互感系数。 ( 2 ) 当大线圈中电流 I = I0 sinωt时，小 线圈中的感应电动势。 I 解：(1)设大线圈中电流为 I，小线圈所在处 的磁感应强度为： B =μ0 I R2/2( R2 + d2 )3/2

12. B =μ0 I R2/2( R2 + d2 )3/2 因 B方向垂直小线圈平面，所以通过小线圈的磁通量为： Φ21 = B S2 =μ0 I R2πr2 /2( R2 + d2 )3/2 两线圈的互感系数 M为： M =Φ21 / I =μ0 R2πr2 /2( R2 + d2 )3/2 (2) 小线圈内的感应电动势为： ε21 = - M dI /dt = -μ0I0R2ωπr2cosωt / 2( R2 + d2 )3/2

13. [例]求一环形螺线管的自感。 R R R N 已知： h 、 、 、 。 1 2 1 R 2 . = N  I dl H l . d S r π 2 = H N I N I R = H 1 r π 2 h R 2 μ N I = B r π 2 d r r . μ N I d r Φ h B d S d = = r π 2

14. . μ N I d r Φ h B d S d = = r π 2 μ r N h I d R d 2 Φ Φ   = = r π 2 R 1 μ R N h I ( ) ln = 2 π 2 R 1 R μ 2 N h I ( ) ln = = Ψ N 2 Φ π 2 R 1 R μ 2 N h Ψ ( ) ln 2 L = = π 2 R I 1