§3 可积条件

1. 第九章 定 积 分 §1定积分概念 §2 牛顿—莱布尼茨公式 §3 可积条件 §4 定积分的性质 §5 微积分学基本定理 §6 定积分的计算

2. 一、内容简介 • 本章主要讲述函数定积分的概念、定积分的几何意义，可积的充要条件，可积函数类、定积分性质、微积分学基本定理、换元和分部积分法以及定积分在几何与物理上的应用。 • 本章是数学分析积分理论的基础，其中关于定积分的概念和可积条件的描述，对于入学不久，习惯于中学数学思维方式的大学新生来讲，会感到很抽象、很繁琐，学习的难度会更大一些． • 二、学习要求 • （1）了解大和与小和的性质、泰勒公式的积分型余项以及定积分在几何与物理上的应用； • （2）正确理解函数定积分的概念及可积条件； • （3）掌握微积分学基本定理以及换元积分法，分部积分法 • 三、学习的重点和难点 • 重点：微积分学基本定理 • 难点：定积分的概念、可积的充要条件及函数可积性的证明．

3. §9.1 定积分概念 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义

4. 定积分的演示 　　我们可以用大大小小的矩形将图形不断填充，但闪烁部分永远不可能恰好为矩形，这些“边角余料”无外乎是右图所示的“典型图形”（必要时可旋转） 背景来源——面积的计算 ？一般图形的面积是什么 ！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积 “典型图形”面积的计算问题就产生了定积分

5. 一、问题提出 设 y = f (x)为区间[a, b] 上连续函数，且f (x)≥ 0，由曲线 y = f (x)，直线 x = a， x = b y = 0 所围成的图形称为曲边梯形。 1. 曲边梯形的面积 下面讨论曲边梯形的面积

6. 对于多边形的面积，我们在中学就已经会计算了，例如对于多边形的面积，我们在中学就已经会计算了，例如 矩形的面积 = 底×高 显然，曲边梯形的面积不能用这个公式来计算。 直与曲 不变与变

7. 砖是直边的长方体 烟囱的截面是弯曲的圆 “直的砖”砌成了“弯的圆” 局部以直代曲

8. y y a a o o b b x x 虽然曲边梯形的准确面积我们不会计算，但是我们可以用一些小矩形来近似算出它的面积。 （四个小矩形） （九个小矩形） 从中可以得到一个什么样的启示？

9. 小曲边梯形的底： 小曲边梯形的高： 小曲边梯形的面积：

10. 用任意的一组分点： （化整为零） ⑴ 分割 把 [ a, b ] 分成 n个小区间 [ xi-1, xi ] i=1, 2, …, n 相应地把曲边梯形分为 n个小曲边梯形，其面积分别记为ΔSi i=1, 2, …, n

11. 其中 （曲转化为直） ⑵ 近似代替 在每个小区间[ xi-1, xi ] 上任取一点ξi， 于是小曲边梯形的面积

12. （积零为整） ⑶ 求和 大曲边梯形的面积

13. 令 若极限 存在， ⑷ 取极限 （直转化为曲） 让每个小区间的长度趋于零 则定义此极限值为曲边梯形的面积 再演示一下这个过程

14. 定积分的演示 1、分割 将[a，b]分割为n个小区间 2、取介点在每个小区间上任取一点xi 3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(xi)代替 y 4、作和：S∆= │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ x 0

15. 5、取极限 1、分割 将[a，b]分割为n个小区间 定积分的演示 2、取介点在每个小区间上任取一点xi 3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(xi)代替 y 4、作和：S∆= a b x

16. 求曲边梯形的面积体现了曲转化为直、直转化为曲的辩证思想。这个计算过程，就是一个先微分后积分的过程。也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这些小“矩形”面积的和近似地表示原来大曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲转化为局部的直，即“以直代曲”。求曲边梯形的面积体现了曲转化为直、直转化为曲的辩证思想。这个计算过程，就是一个先微分后积分的过程。也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这些小“矩形”面积的和近似地表示原来大曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲转化为局部的直，即“以直代曲”。

17. 然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩形面积的和，转化为原来大曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来转化为整体的曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、积零为整的思想方法，是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法。然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩形面积的和，转化为原来大曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来转化为整体的曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、积零为整的思想方法，是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法。

18. F(x) 再看一个变力做功的问题。 设 质点 m 受力 的作用，在变力F的作用下，沿直线由 A 点运动到 B 点，求变力作的功 B A F 虽然是变力，但在很短一段间隔内，F的变化不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，

19. 用任意的一组分点： 把 [ a, b ] 分成 n个小区间 [ ti-1, ti ] i=1, 2, …, n 在 [ ti-1, ti ] 上任取一点ξi，于是在该小区间上的力 ⑴ 分割 ⑵ 近似代替 作的功

20. 总功 令 若极限 存在， ⑶ 求和 ⑷ 取极限 则定义此极限值为力所做的功

21. 从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如 的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义

22. 二、定积分的定义 记 Δxi = xi – xi-1，并称 为分割 T的模 定义: 在 [a, b] 内任取一组分点 将 [a, b] 分成 n个子区间Δi= [xi-1, xi] i=1, 2, … , n 这些分点构成[a, b] 的一个分割，记为 T = { x0, x1, …, xn} = { Δ1, Δ2, … , Δn }

23. 定义: 设函数 f (x) 在 [a, b] 上有定义, 对[a, b]的一个分割T = { Δ1, Δ2, … , Δn } ，任取点 i Δi , i=1, 2, … , n ，作和 称此和式为 f在 [a, b] 上的一个积分和，也称为黎曼（Riemann）和

24. 定义: 设函数 f (x) 在 [a, b] 上有定义, 若任给的ε > 0 ，总存在 δ > 0 ，使得 对[a, b]的任何分割T = { Δ1, Δ2, … , Δn } ，任意的i Δi , i=1, 2, … , n ，只要 ||T|| < δ , 就有 则称函数 f (x) 在 [a, b] 上可积；数 J称为 f在 [a, b] 上的定积分. 记作

25. 被积函数 积分变量 被积表达式 也可用极限符号来表达定积分 积分和 积分上限 积分下限

26. 注 1： 积分和的极限与函数的极限有很大的区别 积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多. 注 2：定积分数值只与被积函数及积分区间 [a, b] 有关, 与积分变量记号无关 规定当 a= b 时, 规定当 a > b 时,

27. 曲线 y = f (x) ≥ 0，直线 x = a， x = b，y = 0 所围成的曲边梯形面积可用定积分表示为 变力作功问题可表示为

28. 例 1 求在区间 [ 0, 1 ] 上，以抛物线 y = x2 为曲边的曲边三角形的面积 解 由定积分的几何意义，有 因为定积分存在，对区间 [ 0, 1 ] 取特殊的分割

29. 每个小区间的长度 取 将区间 [0, 1] 等分成 n 等份, 分点为 则有

31. y=f (x) y A S x o a b 三 定积分的几何意义. 当 f (x) ≥ 0，定积分 的几何意义就是曲线 y = f (x) 直线 x = a， x = b，y = 0 所 围成的曲边梯形的面积

32. y a b x o S y=f (x) 当函数 f (x)  0 ， x[a, b] 时 定积分 就是位于 x轴下方的曲边梯形面积的相反数. 即

33. 几何意义：

34. 例2利用定义计算定积分 解

36. 四、小结 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 3.定积分的几何意义及简单应用

37. 思考题 将和式极限： 表示成定积分.

38. 思考题解答 原式